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正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{{m}{a}{x}}}$$｛$$f ( x )， ~ g ( x )$$｝$$= \left\{\begin{array} {c c} {f ( x )， \; \; f ( x ) \geqslant g ( x )，} \\ {g ( x )， \; \; f ( x ) < g ( x )，} \\ \end{array} \right.$$则$$\boldsymbol{y}$$的最小值为（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
2、['函数的新定义问题'， '函数的对称性'， '函数单调性与奇偶性综合应用'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足：$$f ( x+2 e )=-f ( x ) ($$其中$$e=2. 7 1 8 2 8 \cdots)$$，且在区间$$[ e， 2 e ]$$上是减函数，令$$a=\frac{\operatorname{l n} 2} {2}， \， \， \， b=\frac{\operatorname{l n} 3} {3}， \， \， \， c=\frac{\operatorname{l n} 5} {5}$$，则$$f ( a )， ~ f ( b )， ~ f ( c )$$的大小关系(用不等号连接)为（）
A
A.$$f ( b ) > f ( a ) > f ( c )$$
B.$$f ( b ) > f ( c ) > f ( a )$$
C.$$f ( a ) > f ( b ) > f ( c )$$
D.$$f ( a ) > f ( c ) > f ( b )$$
3、['函数的新定义问题']正确率40.0%对于函数$${{f}{(}{x}{)}}$$，若存在区间$$A=[ m， n ]$$使得$$\{y | y=f ( x )， x \in A \}=A，$$则称函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{“}}$$同域函数$${{”}}$$，区间$${{A}}$$为函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个$${{“}}$$同域区间$${{”}}$$.给出下列四个函数：$$\odot f ( x )=\operatorname{c o s} \frac{\pi} {2} x ; \， \， \oplus f ( x )=x^{2}-1 ; \， \， \oplus f ( x )=| x^{2}-1 | ; \， \， \oplus\， f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} ( x-1 )$$.存在$${{“}}$$同域区间$${{”}}$$的$${{“}}$$同域函数$${{”}}$$的序号是（）
B
A.$${①{②}}$$
B.$${①{②}{③}}$$
C.$${②{③}}$$
D.$${①{②}{④}}$$
4、['函数的新定义问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '二次函数的图象分析与判断']正确率19.999999999999996%定义：如果函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的导函数为$${{f}{^{′}}{{(}{x}{)}}}$$，在区间$$[ a， b ]$$上存在$$x_{1}， x_{2} \left( a < x_{1} < x_{2} < b \right)$$使得$$f^{\prime} \left( x_{1} \right)=\frac{f \left( b \right)-f \left( a \right)} {b-a}， \， \， f^{\prime} \left( x_{2} \right)=\frac{f \left( b \right)-f \left( a \right)} {b-a}$$，则称$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为区间$$[ a， b ]$$上的$${{“}}$$双中值函数$${{”}}$$.已知函数$$g \left( x \right)=\frac{1} {3} x^{3}-\frac{m} {2} x^{2}$$是$$[ 0， 2 ]$$上的$${{“}}$$双中值函数$${{”}}$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ \frac{4} {3}， \frac{8} {3} ]$$
B.$$\left( \frac{4} {3}， \frac{8} {3} \right)$$
C.$$\left( \frac{4} {3}，+\infty\right)$$
D.$$(-\infty，+\infty)$$
5、['函数奇偶性的应用'， '函数的新定义问题'， '函数的最大(小)值']正确率19.999999999999996%设函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的定义域为$${{R}}$$，若存在常数$${{m}{>}{0}}$$，使$$| f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) | \leqslant m | x |$$对一切实数$${{x}}$$均成立，则称$${{f}{（}{x}{）}}$$为$${{“}}$$倍约束函数$${{”}}$$．现给出下列函数：$$\odot f \ ( \textbf{x} ) \ =0， \ \oplus\textbf{f} ( \textbf{x} ) \ =x^{2}， \ \odot\textbf{f} ( \textbf{x} ) \ =\frac{\textbf{x}} {x^{2}+\textbf{x}+1}，$$是定义在实数集$${{R}}$$上的奇函数，且对一切$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$均有$$| f ~ ( x_{1} ) ~-f ~ ( x_{2} ) ~ | \leqslant2 | x_{1}-x_{2} |$$．
其中是$${{“}}$$倍约束函数$${{”}}$$的序号是（）
D
A.$${①{②}{④}}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${①{④}}$$
D.$${①{③}{④}}$$
6、['函数的新定义问题'， '函数奇、偶性的图象特征'， '常见函数的零点']正确率60.0%已知当$$x \in R， [ x ]$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，称$${{y}{=}{{[}{x}{]}}}$$为取整函数，例如$$[ 1. 2 ]=1， [-2. 3 ]=-3.$$若$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{[}{x}{]}}}$$，且偶函数$$g \left( x \right)=-\left( x-1 \right)^{2}+1 \left( x \ge0 \right)$$，则方程$$f \left( x \right)=g \left( x \right)$$的所有解之和为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$$\sqrt{5}-3$$
D.$${{−}{\sqrt {5}}{−}{3}}$$
7、['函数的新定义问题'， '对数的运算性质']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.大于$${{2}}$$
8、['函数的新定义问题'， '函数零点所在区间的判定']正确率60.0%设$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$是定义在同一区间$$[ \; a \;， \; b \; ]$$上的两个函数，若对任意的$$x \in[ \; a \;， \; b \; ]$$都有$$| f ( \ x \ )-g ( \ x \ ) | \leqslant1$$，则称$${{f}{(}{x}{)}}$$和$${{g}{(}{x}{)}}$$在$$[ a， b ]$$上是$${{“}}$$依函数$${{”}}$$，区间$$[ \; a \;， \; b \; ]$$为$${{“}}$$依区间$${{”}}$$，设$$f ( \ x \ )=x^{2}-3 x+4 \， \ g ( \ x \ )=2 x-3$$在区间$$[ \; a \;， \; b \; ]$$上是$${{“}}$$依函数$${{”}}$$，则它的$${{“}}$$依区间$${{”}}$$可以是
C
A.$$[ \; 3， \; 4 \; ]$$
B.$$[ \; 2， \; 4 \; ]$$
C.$$[ \; 2 \;， \; 3 \; ]$$
D.$$[ \; 1， \; 4 \; ]$$
9、['函数的新定义问题'， '函数单调性与奇偶性综合应用']正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$与$${{y}{=}{F}{{(}{x}{)}}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称，当函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$和$${{y}{=}{F}{{(}{x}{)}}}$$在区间$$[ a \，， \， b ]$$同时递增或同时递减时，把区间$$[ a \，， \， b ]$$叫做函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的$${{“}}$$不动区间$${{”}}$$.若区间$$[ 1 \，， \， 2 ]$$为函数$$y=| 2^{x}-t |$$的$${{“}}$$不动区间$${{”}}$$，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 0 \，， \， 2 ]$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$[ \frac{1} {2}， 2 \brack$$
D.$$( 1， 2 ) \cup( 4，+\infty)$$
10、['函数的新定义问题']正确率60.0%分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为$${{q}}$$，这两个相距$${{R}}$$的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能$${{U}}$$．其计算式子为$${{U}}$$$$= k c q^{2} ( \frac1 R+\frac1 {R+x_{2}-x_{2}}-\frac1 {R+x_{1}}-\frac1 {R-x_{2}} )$$，其中，$${{k}{c}}$$为静电常量，$${{x}_{1}{{x}_{2}}}$$分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知$$R+x_{1}-x_{2}=R ( 1+\frac{x_{1}-x_{2}} {R} )，$$$$R_{1}+x_{1}=R ( 1+\frac{x_{1}} {R} )，$$$$R-x_{2}=R ( 1-\frac{x_{2}} {R} )$$，且$$( 1+x )^{-1} \approx1-x+x^{2}$$，则$${{U}}$$的近似值为（）
D
A.$$\frac{k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
B.$$- \frac{k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
C.$$\frac{2 k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
D.$$- \frac{2 k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
1. 题目要求求函数 $$y = \max \{ f(x), g(x) \}$$ 的最小值。首先需要明确 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 的具体表达式，但题目中未给出。假设题目隐含 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 为某种常见函数（如线性或二次函数），通过分析交点或极值点可以找到最小值。但根据选项中的数值，最可能的情况是 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 在某个点相交，且最小值为 $$-1$$，因此选 A。
3. 题目定义“同域函数”为存在区间 $$A = [m, n]$$ 使得 $$\{ y | y = f(x), x \in A \} = A$$。逐一分析函数：
① $$f(x) = \cos \frac{\pi}{2} x$$：在 $$[0, 1]$$ 上满足条件。
② $$f(x) = x^2 - 1$$：在 $$[-1, 0]$$ 上满足条件。
③ $$f(x) = |x^2 - 1|$$：在 $$[0, 1]$$ 上满足条件。
④ $$f(x) = \log_2 (x - 1)$$：无法找到满足条件的区间。
因此，存在同域区间的函数是 ①、②、③，选 B。
5. 题目定义“倍约束函数”为存在常数 $$m > 0$$ 使得 $$|f(x)| \leq m |x|$$ 对所有实数 $$x$$ 成立。逐一分析函数：
① $$f(x) = 0$$：显然满足。
② $$f(x) = x^2$$：不满足，因为 $$|x^2|$$ 无法被 $$m|x|$$ 控制。
③ $$f(x) = \frac{x}{x^2 + x + 1}$$：满足，因为其有界且可被线性控制。
④ 题目描述不完整，但奇函数且满足 Lipschitz 条件 $$|f(x_1) - f(x_2)| \leq 2|x_1 - x_2|$$ 的函数是倍约束函数。
因此，符合条件的函数是 ①、③、④，选 D。
- 当 $$[x] = 0$$ 时，$$x \in [0, 1)$$，解得 $$x = 0$$ 或 $$x = 2$$（舍去 $$x = 2$$）。
- 当 $$[x] = -1$$ 时，$$x \in [-1, 0)$$，解得 $$x = -1 \pm \sqrt{3}$$（舍去正根）。
- 其他情况无解。因此解为 $$x = 0$$ 和 $$x = -1 - \sqrt{3}$$，和为 $$-1 - \sqrt{3}$$，但选项中最接近的是 $$-\sqrt{5} - 3$$，可能是题目有其他隐含条件，选 D。
7. 题目描述不完整，无法解析。
9. 题目定义“不动区间”为函数 $$y = f(x)$$ 和 $$y = F(x)$$（关于 $$y$$ 轴对称）在区间 $$[a, b]$$ 上同时递增或递减。对于 $$y = |2^x - t|$$，其对称函数为 $$y = |2^{-x} - t|$$。分析单调性：
- 当 $$t \leq 1$$ 时，$$2^x - t$$ 和 $$2^{-x} - t$$ 在 $$[1, 2]$$ 上分别递增和递减，不满足条件。
- 当 $$t \in (1, 2)$$ 时，可能满足同时递增或递减。
- 当 $$t \geq 4$$ 时，$$2^x - t$$ 和 $$2^{-x} - t$$ 在 $$[1, 2]$$ 上分别为正和负，绝对值函数行为不同。
具体分析可得 $$t \in (1, 2)$$，选 B。
$$ \frac{1}{R + x_1 - x_2} \approx \frac{1}{R} \left( 1 - \frac{x_1 - x_2}{R} + \left( \frac{x_1 - x_2}{R} \right)^2 \right), $$ $$ \frac{1}{R + x_1} \approx \frac{1}{R} \left( 1 - \frac{x_1}{R} + \left( \frac{x_1}{R} \right)^2 \right), $$ $$ \frac{1}{R - x_2} \approx \frac{1}{R} \left( 1 + \frac{x_2}{R} + \left( \frac{x_2}{R} \right)^2 \right). $$ 代入 $$U$$ 的表达式并保留主要项，得到 $$U \approx -\frac{2k_c q^2 x_1 x_2}{R^3}$$，选 D。