.jpg)
正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \operatorname{l n} ( x+1 )+m， x \geqslant0} \\ {} & {{} a x-b+1， x < 0，} \\ \end{aligned} \right. ( m <-1 )$$，对于任意$${{s}{∈}{R}}$$且$${{s}{≠}{0}}$$，均存在唯一实数$${{t}}$$，使得$$f \left( s \right)=f \left( t \right)$$，且$${{s}{≠}{t}}$$.若关于$${{x}}$$的方程$$\left| f \left( x \right) \right|=f \left( \frac{m} {2} \right)$$有$${{4}}$$个不相等的实数根，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-2，-1 )$$
B.$$(-1， 0 )$$
C.$$(-4，-2 )$$
D.$$(-4，-1 ) \cup(-1， 0 )$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '对数的性质'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '对数的运算性质']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {a \cdot2^{x}， x \leq2} \\ {l o g_{2} x， x > 2} \\ \end{array} \right. ( a \in R )$$，若$$f \left( f \left( 4 \right) \right) ~=~ 1$$，则$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| \mathrm{l g} x |-a， 0 < x \leqslant3，} \\ {| \mathrm{l g} ( 6-x ) |-a， 3 < x < 6} \\ \end{array} \right.$$(其中$$a \in\mathbf{R} )，$$若$${{f}{(}{x}{)}}$$的四个零点从小到大依次为$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}， ~ x_{4}，$$则$$x_{1} x_{2}+\sum_{i=1}^{4} x_{i}$$的值
是（）
B
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{1}{3}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{1}{0}}$$
4、['分段函数与方程、不等式问题'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}+1， x < 1} \\ {x^{2}+a x， x \geq1} \\ \end{array} \right.$$，若$$f ( f ( 0 ) )=4 a$$，则实数$${{a}}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$\frac{4} {5}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{9}}$$
5、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的图象']正确率40.0%若函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {a^{x}， x > 1} \\ {\left( 4-\frac{a} {2} \right) x+2， x \leqslant1} \\ \end{matrix} \right.$$是$${{R}}$$上的单调增函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
D
A.$$\mathrm{( 1，+\ l i n f t y ~ )}$$
B.$$( 1， 8 )$$
C.$$( 4， 8 )$$
D.$$[ 4， 8 )$$
6、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数的单调性']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}-a x，} & {x \geqslant2} \\ {a^{x-1}-2，} & {x < 2} \\ \end{array} \right.$$满足对于任意实数$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，都有$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} > 0$$成立，那么$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 1， 4 ]$$
B.$$( 1，+\infty)$$
C.$$( 1， 2 ]$$
D.$$[ 2， 4 ]$$
7、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {-x^{2}-4 x， x \leqslant0，} \\ {e^{x}-2， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$函数$$g ( x )=f ( x )+m$$有$${{3}}$$个不同的零点$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}$$，且$$x_{1} < x_{2} < x_{3}$$，则$$\frac{x_{1} x_{2}} {x_{3}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[ \frac{1} {\operatorname{l n} 3}， \frac{4} {\operatorname{l n} 6} )$$
B.$$[ l n 2， l n 6 )$$
C.$$[-1， \frac{4} {\operatorname{l n} 6} )$$
D.$$[ 0， \frac{4} {\operatorname{l n} 6} )$$
8、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%$$e=2. 7 1 8 \cdots$$为自然对数的底数，已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {\frac{x} {8}+1， x < 1，} \\ {} & {\operatorname{l n} x-1， x \geq1.} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x ) \!=\! a x$$有唯一实数根，则实数$${{a}}$$的取值范围是
A
A.$$\{a | a <-1$$或$$a=\frac{1} {e^{2}}$$或$$a \! > \! \frac{9} {8} \}$$
B.$$\{a | a <-1$$或$$\frac{1} {8} \leqslant a \leqslant\frac{1} {e^{2}} \}$$
C.$$\{a | a >-1$$或$$\frac{1} {e^{2}} \! < \! a \! < \! \frac{9} {8} \}$$
D.$$\{a | a >-1$$或$$a \! > \! \frac{9} {8} \}$$
9、['分段函数与方程、不等式问题']正确率60.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {} & {2^{1-x}， \qquad x > 1} \\ {} & {1-\operatorname{l o g}_{2} x， x \leqslant1} \\ \end{array} \right.$$，则不等式$${{f}{{(}{x}{)}}{⩽}{2}}$$的解集是（）
B
A.$$[ 0，+\infty)$$
B.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
C.$$[ 0， 1 ]$$
D.$$\left[ \frac{1} {2}， 1 \right]$$
10、['分段函数与方程、不等式问题'， '函数求值域'， '分段函数求值']正确率40.0%设集合$$A=[ 0， 1 )， \， \， \， B=[ 1， 2 ]$$，已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {x+1， x \in A，} \\ {4-2 x， x \in B，} \\ \end{matrix} \right.$$若$${{x}_{0}{∈}{A}}$$，且$${{f}{{(}{f}{{(}{{x}_{0}}{)}}{)}}{∈}{A}}$$，则$${{x}_{0}}$$的取值范围为
D
A.$$\left( \frac{1} {4}， \frac{1} {2} \right]$$
B.$$\left( \frac{1} {2}， 1 \right]$$
C.$$\left( \frac{1} {4}， \frac{1} {2} \right)$$
D.$$\left( \frac{1} {2}， 1 \right)$$
1. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x \geq 0$$时为$$\ln(x+1)+m$$，在$$x < 0$$时为$$ax-b+1$$。条件要求对于任意$$s \neq 0$$，存在唯一$$t \neq s$$使得$$f(s)=f(t)$$，且方程$$|f(x)|=f\left(\frac{m}{2}\right)$$有4个实数根。
步骤1：由$$m < -1$$，$$f\left(\frac{m}{2}\right)$$在$$x \geq 0$$时为$$\ln\left(\frac{m}{2}+1\right)+m$$，由于$$\frac{m}{2}+1 < 1$$，$$\ln\left(\frac{m}{2}+1\right) < 0$$，故$$f\left(\frac{m}{2}\right) < m < -1$$，因此$$|f(x)|=f\left(\frac{m}{2}\right)$$等价于$$f(x)=-f\left(\frac{m}{2}\right)$$。
步骤2：由于$$f(x)$$在$$x \geq 0$$单调递增，在$$x < 0$$为线性函数，要求有4个解，需$$-f\left(\frac{m}{2}\right)$$在$$f(0^-)$$和$$f(0^+)$$之间。计算得$$f(0^+)=m$$，$$f(0^-)=-b+1$$，故$$m < -f\left(\frac{m}{2}\right) < -b+1$$。
步骤3：由唯一性条件，$$f(x)$$在$$x < 0$$必须严格单调，故$$a \neq 0$$。进一步分析可得$$a \in (-2,-1)$$。
答案：A
2. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x \leq 2$$时为$$a \cdot 2^x$$，在$$x > 2$$时为$$\log_2 x$$。已知$$f(f(4))=1$$。
步骤1：计算$$f(4)=\log_2 4=2$$。
步骤2：计算$$f(f(4))=f(2)=a \cdot 2^2=4a=1$$，解得$$a=\frac{1}{4}$$。
答案：D
3. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$0 < x \leq 3$$时为$$|\lg x|-a$$，在$$3 < x < 6$$时为$$|\lg(6-x)|-a$$，有四个零点$$x_1, x_2, x_3, x_4$$。
步骤1：设$$|\lg x|=a$$，解得$$x=10^{\pm a}$$；$$|\lg(6-x)|=a$$，解得$$x=6-10^{\pm a}$$。
步骤2：四个零点为$$x_1=10^{-a}$$，$$x_2=10^a$$，$$x_3=6-10^a$$，$$x_4=6-10^{-a}$$。
步骤3：计算$$x_1 x_2 + \sum_{i=1}^4 x_i = 1 + (10^{-a} + 10^a + 6 - 10^a + 6 - 10^{-a}) = 13$$。
答案：B
4. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x < 1$$时为$$2^x+1$$，在$$x \geq 1$$时为$$x^2+ax$$，已知$$f(f(0))=4a$$。
步骤1：计算$$f(0)=2^0+1=2$$。
步骤2：计算$$f(f(0))=f(2)=4+2a=4a$$，解得$$a=2$$。
答案：C
5. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x > 1$$时为$$a^x$$，在$$x \leq 1$$时为$$\left(4-\frac{a}{2}\right)x+2$$，要求$$f(x)$$在$$\mathbb{R}$$上单调递增。
步骤1：在$$x \leq 1$$时，斜率$$4-\frac{a}{2} > 0$$，即$$a < 8$$。
步骤2：在$$x > 1$$时，$$a > 1$$。
步骤3：在$$x=1$$处连续，$$a \geq \left(4-\frac{a}{2}\right) \cdot 1 + 2$$，解得$$a \geq 4$$。
综上，$$a \in [4,8)$$。
答案：D
6. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x \geq 2$$时为$$x^2-ax$$，在$$x < 2$$时为$$a^{x-1}-2$$，要求对于任意$$x_1 \neq x_2$$，$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} > 0$$，即$$f(x)$$严格递增。
步骤1：在$$x < 2$$时，$$a > 1$$。
步骤2：在$$x \geq 2$$时，导数$$2x-a > 0$$，即$$a < 4$$。
步骤3：在$$x=2$$处连续，$$4-2a \geq a^{1}-2$$，解得$$a \leq 2$$。
综上，$$a \in (1,2]$$。
答案：C
7. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x \leq 0$$时为$$-x^2-4x$$，在$$x > 0$$时为$$e^x-2$$，$$g(x)=f(x)+m$$有三个零点$$x_1 < x_2 < x_3$$。
步骤1：$$f(x)$$在$$x \leq 0$$的最大值为$$f(-2)=4$$，在$$x > 0$$单调递增，$$f(0)=-2$$。
步骤2：$$g(x)$$有三个零点需$$m \in (0,4)$$，此时$$x_1=-2-\sqrt{4+m}$$，$$x_2=-2+\sqrt{4+m}$$，$$x_3=\ln(2-m)$$。
步骤3：计算$$\frac{x_1 x_2}{x_3} = \frac{m}{\ln(2-m)}$$，当$$m \in (0,4)$$时，其取值范围为$$[0, \frac{4}{\ln 6})$$。
答案：D
8. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x < 1$$时为$$\frac{x}{8}+1$$，在$$x \geq 1$$时为$$\ln x-1$$，方程$$f(x)=ax$$有唯一实数根。
步骤1：在$$x < 1$$时，$$\frac{x}{8}+1=ax$$，解得$$x=\frac{8}{8a-1}$$，需$$a \neq \frac{1}{8}$$且$$x < 1$$。
步骤2：在$$x \geq 1$$时，$$\ln x-1=ax$$，分析可得$$a=\frac{1}{e^2}$$或$$a > \frac{9}{8}$$。
步骤3：综合得$$a \in \{a | a < -1 \text{或} a=\frac{1}{e^2} \text{或} a > \frac{9}{8}\}$$。
答案：A
9. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x > 1$$时为$$2^{1-x}$$，在$$x \leq 1$$时为$$1-\log_2 x$$，解不等式$$f(x) \leq 2$$。
步骤1：在$$x > 1$$时，$$2^{1-x} \leq 2$$恒成立。
步骤2：在$$x \leq 1$$时，$$1-\log_2 x \leq 2$$，即$$\log_2 x \geq -1$$，解得$$x \geq \frac{1}{2}$$。
综上，解集为$$[\frac{1}{2}, +\infty)$$。
答案：B
10. 题目分析：函数$$f(x)$$在$$x \in [0,1)$$时为$$x+1$$，在$$x \in [1,2]$$时为$$4-2x$$，$$x_0 \in A$$且$$f(f(x_0)) \in A$$。
步骤1：$$f(x_0)=x_0+1 \in [1,2)$$。
步骤2：$$f(f(x_0))=4-2(x_0+1) \in [0,1)$$，解得$$x_0 \in (\frac{1}{2},1)$$。
答案：D