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正确率40.0%函数$$y=f ( x )$$图象上不同两点$$A \left( x_{1}， y_{1} \right)， B \left( x_{2}， y_{2} \right)$$处的切线的斜率分别是$${{k}_{A}{，}{{k}_{B}}}$$，定义$$\varphi( A， B )=\frac{| k_{A}-k_{B} |} {| A B |}$$叫做曲线$$y=f ( x )$$在点$${{A}}$$与点$${{B}}$$之间的$${{“}}$$弯曲度$${{”}}$$，给出以下命题：
$${①}$$存在这样的函数，图象上任意两点之间的$${{“}}$$弯曲度$${{”}}$$为常数；
$${②}$$函数$$y=x^{3}-x^{2}$$图象上两点$${{A}}$$与$${{B}}$$的横坐标分别为$${{1}{，}{2}}$$，则$$\varphi( A， B ) > 2 ;$$
$${③}$$设点$${{A}{，}{B}}$$是函数$$y=x^{2}-1$$上不同的两点，则$$\varphi( A， B ) \leqslant2 ;$$
$${④}$$设曲线$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$上不同两点$$A \left( x_{1}， y_{1} \right)， B \left( x_{2}， y_{2} \right)$$，且$$x_{1}-x_{2}=1$$，若$$m \cdot\varphi( A， B ) < 1$$恒成立，则实数$${{m}}$$的取值范围是$$(-\infty， 1 )$$.以上正确命题的序号为（）
A
A.$${①{③}}$$
B.$${①{④}}$$
C.$${②{③}}$$
D.$${③{④}}$$
2、['函数的新定义问题'， '指数型复合函数的应用'， '导数与极值'， '利用导数求参数的取值范围']正确率40.0%对于函数$$y=f ( x )，$$若存在区间$$[ a， b ]，$$当$$x \in[ a， b ]$$时$$， \， \， f ( x ) \in[ k a， k b ] ( k > 0 )，$$则称$$y=f ( x )$$为$${{k}}$$倍值函数.若$$f ( x )=\mathrm{e}^{x}+2 x$$是$${{k}}$$倍值函数，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( \mathrm{e}+1，+\infty)$$
B.$$( \mathrm{e}+2，+\infty)$$
C.$$\left( \mathrm{e}+\frac{1} {\mathrm{e}}，+\infty\right)$$
D.$$\left( \mathrm{e}+\frac{2} {\mathrm{e}}，+\infty\right)$$
3、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数的新定义问题'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} [ \operatorname{c o s} x ]+\operatorname{c o s} [ \operatorname{s i n} x ]$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过实数$${{x}}$$的最大整数，关于$${{f}{(}{x}{)}}$$有下述四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$的一个周期是$${{2}{π}}$$；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$是偶函数；
③$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值大于$${\sqrt {2}}$$；
④$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( 0， \pi)$$单调递减$${{.}}$$
其中所有正确结论的编号是（）
B
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
4、['函数的新定义问题'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '余弦（型）函数的定义域和值域']正确率60.0%定义一种运算$$a \otimes b=\left\{\begin{array} {c l} {a， a \leq b} \\ {b， a > b} \\ \end{array} \right.$$令$$f ( x )=\operatorname{s i n} x \otimes\operatorname{c o s} x ( x \in R )$$，则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$${{0}}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
5、['函数的新定义问题'， '共线向量基本定理'， '导数与最值'， '导数与单调性'， '函数中的恒成立问题']正确率40.0%定义域为$$[ a， b ]$$的函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象的两个端点分别为$$A \left( a， f \left( a \right) \right)， \， \， \， B=\left( b， f \left( b \right) \right)， \， \， \， M \left( x， y \right)$$是$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象上的任意一点，其中$$x=\lambda a+\left( 1-\lambda\right) b \left( 0 < \lambda< 1 \right)$$，向量$$\overrightarrow{B N}=\lambda\overrightarrow{B A}.$$若不等式$$| M N | \leqslant k$$恒成立，则称函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$在$$[ a， b ]$$上为$${{K}}$$函数.已知函数$$y=x^{3}-6 x^{2}+1 1 x-5$$在$$[ 0， 3 ]$$上为$${{K}}$$函数，则实数$${{k}}$$的最小值是（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
6、['函数的新定义问题'， '对数的运算性质']正确率40.0%svg异常
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.大于$${{2}}$$
7、['函数的新定义问题'， '函数求值域']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=x-[ x ]， \， \， \， x \in R$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，如$$[-\frac{3} {2} ]=-2， \ [-3 ]=-3， [ \frac{5} {2} ]=2$$，则$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 0， 1 ]$$
C.$$[ 0， 1 )$$
D.$$[ 0， 1 ]$$
8、['函数的新定义问题'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=[ x ] ( [ x ]$$表示不超过实数$${{x}}$$的最大整数$${{)}}$$，若函数$$g ( x )=e^{x}-e^{-x}-2$$的零点为$${{x}_{0}}$$，则$$g [ f ( x_{0} ) ]=( \textit{} )$$
B
A.$${\frac{1} {e}}-e-2$$
B.$${{-}{2}}$$
C.$$e-\frac{1} {e}-2$$
D.$$e^{2} \!-\! \frac{1} {e^{2}} \!-\! 2$$
9、['函数的新定义问题'， '函数求值域']正确率40.0%高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有$${{“}}$$数学王子$${{”}}$$的称号，用其名字命名的$${{“}}$$高斯函数$${{”}}$$为：设$${{x}{∈}{R}}$$，用$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$${{y}{=}{{[}{x}{]}}}$$称为高斯函数，例如：$$[-2. 1 ]=-3， ~ ~ [ 3. 1 ]=3$$，已知函数$$f \left( x \right)=\frac{2^{x+1}} {1+2^{x}}-\frac{3} {2}$$，则函数$$y=[ f ( x ) ]$$的值域是（）
D
A.$$\{-1， 0 \}$$
B.$$\{-2，-1 \}$$
C.$$\{-3，-2，-1 \}$$
D.$$\{-2，-1， 0 \}$$
10、['函数的新定义问题']正确率60.0%分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为$${{q}}$$，这两个相距$${{R}}$$的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能$${{U}}$$．其计算式子为$${{U}}$$$$= k c q^{2} ( \frac1 R+\frac1 {R+x_{2}-x_{2}}-\frac1 {R+x_{1}}-\frac1 {R-x_{2}} )$$，其中，$${{k}{c}}$$为静电常量，$${{x}_{1}{{x}_{2}}}$$分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知$$R+x_{1}-x_{2}=R ( 1+\frac{x_{1}-x_{2}} {R} )，$$$$R_{1}+x_{1}=R ( 1+\frac{x_{1}} {R} )，$$$$R-x_{2}=R ( 1-\frac{x_{2}} {R} )$$，且$$( 1+x )^{-1} \approx1-x+x^{2}$$，则$${{U}}$$的近似值为（）
D
A.$$\frac{k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
B.$$- \frac{k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
C.$$\frac{2 k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
D.$$- \frac{2 k c q^{2} x_{1} x_{2}} {R^{3}}$$
1. 解析：
① 对于线性函数 $$y = kx + b$$，任意两点处的切线斜率相同，即 $$k_A = k_B$$，因此 $$\varphi(A, B) = 0$$ 为常数，命题正确。
② 函数 $$y = x^3 - x^2$$ 的导数为 $$y' = 3x^2 - 2x$$。当 $$x_1 = 1$$ 时，$$k_A = 1$$；当 $$x_2 = 2$$ 时，$$k_B = 8$$。两点距离 $$|AB| = \sqrt{(2-1)^2 + (8-1)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$。弯曲度 $$\varphi(A, B) = \frac{|1-8|}{5\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} \approx 0.9899 < 2$$，命题错误。
③ 函数 $$y = x^2 - 1$$ 的导数为 $$y' = 2x$$。设两点 $$A(x_1, x_1^2 - 1)$$ 和 $$B(x_2, x_2^2 - 1)$$，则 $$k_A = 2x_1$$，$$k_B = 2x_2$$。弯曲度 $$\varphi(A, B) = \frac{|2x_1 - 2x_2|}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (x_2^2 - x_1^2)^2}} = \frac{2|x_1 - x_2|}{|x_1 - x_2|\sqrt{1 + (x_1 + x_2)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + (x_1 + x_2)^2}} \leq 2$$，命题正确。
④ 函数 $$y = e^x$$ 的导数为 $$y' = e^x$$。设 $$x_1 - x_2 = 1$$，则 $$\varphi(A, B) = \frac{|e^{x_1} - e^{x_2}|}{\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (e^{x_1} - e^{x_2})^2}} = \frac{e^{x_2}(e - 1)}{\sqrt{1 + e^{2x_2}(e - 1)^2}}$$。令 $$t = e^{x_2}$$，则 $$\varphi(A, B) = \frac{t(e - 1)}{\sqrt{1 + t^2(e - 1)^2}}$$。当 $$t \to \infty$$ 时，$$\varphi(A, B) \to 1$$，因此 $$m \cdot 1 < 1$$ 即 $$m < 1$$，命题正确。
综上，正确命题为①③④，但选项中没有完全匹配的，最接近的是 B.①④（题目可能有误，实际应为①③④）。
2. 解析：
函数 $$f(x) = e^x + 2x$$ 是严格递增函数。若 $$f(x)$$ 是 $$k$$ 倍值函数，则存在区间 $$[a, b]$$ 使得 $$f(a) = ka$$ 且 $$f(b) = kb$$。设 $$g(x) = \frac{e^x + 2x}{x}$$，则需 $$g(a) = g(b) = k$$。
求 $$g(x)$$ 的极值：$$g'(x) = \frac{(e^x + 2)x - (e^x + 2x)}{x^2} = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$$。当 $$x = 1$$ 时，$$g(1) = e + 2$$ 为极小值。
因此 $$k$$ 必须大于 $$g(1) = e + 2$$，即 $$k \in (e + 2, +\infty)$$，选项 B 正确。
3. 解析：
① $$f(x + 2\pi) = \sin[\cos(x + 2\pi)] + \cos[\sin(x + 2\pi)] = \sin[\cos x] + \cos[\sin x] = f(x)$$，故 $$2\pi$$ 是周期，正确。
② $$f(-x) = \sin[\cos(-x)] + \cos[\sin(-x)] = \sin[\cos x] + \cos[-\sin x]$$。由于 $$[-\sin x]$$ 不一定等于 $$-[\sin x]$$（例如 $$x = \pi/2$$ 时 $$[-\sin(\pi/2)] = -1$$ 而 $$-[\sin(\pi/2)] = -1$$，但 $$x = 1.5$$ 时 $$[-\sin(1.5)] \approx -1$$ 而 $$-[\sin(1.5)] \approx -0$$），因此 $$f(-x)$$ 不一定等于 $$f(x)$$，错误。
③ 当 $$x = \pi/2$$ 时，$$f(\pi/2) = \sin[0] + \cos[1] \approx 0 + 0.5403 = 0.5403$$；当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = \sin[1] + \cos[0] \approx 0.8415 + 1 = 1.8415 > \sqrt{2}$$，正确。
④ 在 $$(0, \pi)$$ 上，$$\cos x$$ 单调递减，但 $$[\cos x]$$ 是阶梯函数，$$f(x)$$ 不是单调递减的，错误。
综上，正确结论为①③，选项 B 正确。
4. 解析：
运算 $$a \otimes b$$ 表示取 $$a$$ 和 $$b$$ 中的较小值。函数 $$f(x) = \sin x \otimes \cos x$$ 即 $$f(x) = \min(\sin x, \cos x)$$。
当 $$\sin x = \cos x$$ 时，即 $$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$，$$f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 是最大值，选项 B 正确。
5. 解析：
函数 $$y = x^3 - 6x^2 + 11x - 5$$ 在 $$[0, 3]$$ 上的端点为 $$A(0, -5)$$ 和 $$B(3, 1)$$。向量 $$\overrightarrow{BA} = (-3, -6)$$，$$\overrightarrow{BN} = \lambda \overrightarrow{BA} = (-3\lambda, -6\lambda)$$，故 $$N$$ 的坐标为 $$(3 - 3\lambda, 1 - 6\lambda)$$。
点 $$M$$ 的坐标为 $$(\lambda \cdot 0 + (1 - \lambda) \cdot 3, f(3(1 - \lambda))) = (3(1 - \lambda), f(3(1 - \lambda)))$$。
距离 $$|MN| = \sqrt{(3(1 - \lambda) - (3 - 3\lambda))^2 + (f(3(1 - \lambda)) - (1 - 6\lambda))^2} = \sqrt{0 + (f(3(1 - \lambda)) - (1 - 6\lambda))^2}$$。
设 $$x = 3(1 - \lambda)$$，则 $$\lambda = 1 - x/3$$，代入得 $$|MN| = |f(x) - (1 - 6(1 - x/3))| = |f(x) - (2x - 5)|$$。
计算 $$f(x) - (2x - 5) = x^3 - 6x^2 + 9x$$，求极值：导数为 $$3x^2 - 12x + 9$$，临界点为 $$x = 1$$ 和 $$x = 3$$。在 $$x = 1$$ 时，$$f(1) - (2 \cdot 1 - 5) = 4$$；在 $$x = 3$$ 时为 $$0$$。因此最大值为 $$4$$，故 $$k$$ 的最小值为 $$4$$，选项 B 正确。
7. 解析：
函数 $$f(x) = x - [x]$$ 表示 $$x$$ 的小数部分，其值域为 $$[0, 1)$$，选项 C 正确。
8. 解析：
函数 $$g(x) = e^x - e^{-x} - 2$$ 的零点为 $$x_0 = 0$$（因为 $$g(0) = 1 - 1 - 2 = -2$$ 不满足，实际需解 $$e^x - e^{-x} = 2$$，解得 $$x_0 = \ln(1 + \sqrt{2})$$）。
由于 $$x_0 \approx 0.881$$，$$[x_0] = 0$$，因此 $$g[f(x_0)] = g(0) = -2$$，选项 B 正确。
9. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{2^{x+1}}{1 + 2^x} - \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 2^x}{1 + 2^x} - \frac{3}{2}$$。设 $$t = 2^x$$，则 $$f(x) = \frac{2t}{1 + t} - \frac{3}{2}$$。
当 $$t \to 0^+$$ 时，$$f(x) \to -\frac{3}{2}$$；当 $$t \to +\infty$$ 时，$$f(x) \to 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$。因此 $$f(x) \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$$。
高斯函数 $$[f(x)]$$ 的可能取值为 $$-2, -1, 0$$，选项 D 正确。
10. 解析：
利用近似公式 $$(1 + x)^{-1} \approx 1 - x + x^2$$，展开 $$U$$ 的表达式：
$$U = k c q^2 \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R + x_1 - x_2} - \frac{1}{R + x_1} - \frac{1}{R - x_2}\right)$$
$$\approx k c q^2 \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R}\left(1 - \frac{x_1 - x_2}{R} + \left(\frac{x_1 - x_2}{R}\right)^2\right) - \frac{1}{R}\left(1 - \frac{x_1}{R} + \left(\frac{x_1}{R}\right)^2\right) - \frac{1}{R}\left(1 + \frac{x_2}{R} + \left(\frac{x_2}{R}\right)^2\right)\right)$$
化简后得到 $$U \approx -\frac{2 k c q^2 x_1 x_2}{R^3}$$，选项 D 正确。