函数单调性与奇偶性综合应用-函数的拓展与综合知识点教师选题进阶自测题答案-陕西省等高一数学必修,平均正确率46.0%

正确率40.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且对任意的$${{x}{∈}{R}}$$恒有$$f ( x+1 )=f ( 1-x )$$，已知当$$x \in[ 0， 1 ]$$时，$$f ( x )=( \frac{1} {2} )^{1-x}$$，则：
$$\oplus\， f ( x+2 )=f ( x )$$；
$${②}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( 1， 2 )$$上递减，在$$( 2， 3 )$$上递增；
$${③}$$函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的最大值是$${{1}}$$，最小值是$${{0}}$$；
$${④}$$当$$x \in( 3， 4 )$$时，$$f ( x )=( \frac{1} {2} )^{x-3}$$．
其中正确结论的个数是$${{(}{)}}$$

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为$${{R}}$$上的偶函数，且对任意$$x_{1}， ~ x_{2} \in( 0， ~+\infty)，$$均有$$( x_{1}-x_{2} ) [ f ( x_{1} )-f ( x_{2} ) ] < 0$$成立，若$$a=f ( \sqrt{2} )， \， \， b=f \left( \operatorname{l o g}_{2} \frac1 3 \right)，$$$$c=f ( \mathrm{e}^{\frac{1} {3}} )，$$则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）

A

A.$$b < a < c$$

B.$$a < b < c$$

C.$$c < b < a$$

D.$$b < c < a$$

正确率60.0%已知定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$对于$$[ 0，+\infty)$$上任意两个不相等实数$$x_{1}， x_{2}， ~ f ( x )$$都满足$$\frac{f ( x_{1} )-f ( x_{2} )} {x_{1}-x_{2}} < 0，$$若$$a=f ( 0 )， b=f ( \operatorname{l o g}_{0. 2} 3 )， c=f ( \operatorname{l o g}_{2} 5 )$$，则$$a， b， c$$的大小关系为$${{(}{)}}$$

B

A.$$c < a < b$$

B.$$c < b < a$$

C.$$a < c < b$$

D.$$a < b < c$$

正确率60.0%已知偶函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =2 \sin\left( \begin{matrix} {\omega x+\varphi-\frac{\pi} {6}} \\ \end{matrix} \right) \ \ ( \omega> 0， \ \frac{\pi} {2} < \varphi< \pi)$$的图象的相邻两条对称轴间的距离为$$\frac{\pi} {2}，$$则$$f ~ ( \frac{3 \pi} {8} ) ~=~$$（）

B

A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

正确率40.0%已知函数$$y=f ( x+1 )$$的图象关于直线$${{x}{=}{−}{1}}$$对称，且当$${{x}{⩽}{0}}$$时，$$f ( x )=-x^{3}+\operatorname{l n} ( 1-x )$$，设$$a=f ( \operatorname{l o g}_{3} 6 )， b=f ( \operatorname{l o g}_{4} 8 )， c=f ( \operatorname{l o g}_{5} 1 0 )$$，则$$a， b， c$$的大小关系是$${{(}{)}}$$

A

A.$$a > b > c$$

B.$$c > b > a$$

C.$$b > c > a$$

D.$$b > a > c$$

正确率60.0%下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（）

B

A.$$y=x+1$$

B.$${{y}{=}{{x}^{3}}}$$

C.$$y=-\frac{1} {x}$$

D.$$y=l o g_{2} x$$

正确率19.999999999999996%设函数$$f^{`} ( x )$$是奇函数$$f ( x ) ( x \in R )$$的导函数，$$f (-1 )=0$$，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$x f^{'} ( x )-f ( x ) < 0$$，则使得$$f ( x ) > 0$$的$${{x}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A

A.$$(-\infty，-1 ) \cup( 0， 1 )$$

B.$$(-1， 0 ) \cup\， ( 1，+\infty)$$

C.$$(-\infty，-1 ) \cup(-1， 0 )$$

D.$$( 0， 1 ) \cup( 1，+\infty)$$

正确率40.0%设函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ f$$在$${{R}}$$上存在导数$$f^{\prime} ~ ( x ) ~， ~ \forall x \in R$$有$$f ~^{(} ~ \boldsymbol{x} ~ ) ~+f ~^{(} ~ \boldsymbol{-x} ~ \boldsymbol{x} ~ \rq{} ~=2 x^{2}$$，在$$[ 0， \ \ +\infty)$$上$$f^{\prime} \ ( \textbf{x} ) \ < 2 x$$，若$$f ~ ( 4-m ) ~-f ~ ( m ) ~ \geq1 6-8 m$$，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A

A.$$[ 2， ~+\infty)$$

B.$$[ 0， \ \ +\infty)$$

C.$$[-2， ~ 2 ]$$

D.$$( ~-\infty， ~-2 ] \cup[ 2， ~+\infty)$$

正确率40.0%设函数$$f ( x )=| x |-\frac{1} {2 0 1 9+x^{2}}$$，则使得$$f ( x ) > f ( 2 x-1 )$$成立的$${{x}}$$的取值范围是（）

A

A.$$( {\frac{1} {3}}， 1 )$$

B.$$(-\infty， \frac{1} {3} ) \bigcup( 1，+\infty)$$

C.$$(-\frac{1} {3}， \frac{1} {3} )$$

D.$$(-\infty，-\frac{1} {3} ) \bigcup( \frac{1} {3}，+\infty)$$

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于原点对称，且$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0，+\infty)$$上是增函数，则不等式$$f ( x-3 ) \geqslant0$$的解集是

D

A.$$(-\infty， 3 ]$$

B.$$(-\infty，-3 ]$$

C.$$[-3，+\infty)$$

D.$$[ 3，+\infty)$$

函数$$f(x)$$是偶函数，且满足$$f(x+1)=f(1-x)$$。这表明函数关于$$x=1$$对称。结合偶函数的性质，函数也关于$$x=0$$对称。因此，函数是周期性的，周期为2（因为对称性叠加）。

在区间$$[0,1]$$上，$$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}$$。由于函数是偶函数，在$$[-1,0]$$上，$$f(x)=f(-x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1+x}$$。

由于周期为2，函数在其他区间可以通过周期性延拓得到。例如，在$$[1,2]$$上，$$f(x)=f(2-x)$$，而$$2-x \in [0,1]$$，所以$$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-(2-x)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$$。

分析选项：

1. **选项①**：$$f(x+2)=f(x)$$，正确，因为周期为2。

2. **选项②**：在$$(1,2)$$上，$$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$$是递减函数；在$$(2,3)$$上，$$f(x)=f(x-2)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3-x}$$是递增函数，正确。

3. **选项③**：函数的最大值为$$f(0)=f(2)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=0.5$$，最小值为0（但函数值趋近于0，不取到0），因此表述不完全正确。

4. **选项④**：在$$(3,4)$$上，$$f(x)=f(x-2)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}$$，正确。

综上，正确的有①、②、④，共3个。

答案：$$C$$

函数$$f(x)$$是偶函数，且在$$(0,+\infty)$$上单调递减（因为$$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))<0$$）。

比较$$a=f(\sqrt{2})$$，$$b=f\left(\log_2 \frac{1}{3}\right)=f(-\log_2 3)=f(\log_2 3)$$，$$c=f(e^{1/3})$$。

由于$$\log_2 3 \approx 1.585$$，$$\sqrt{2} \approx 1.414$$，$$e^{1/3} \approx 1.396$$，且$$f(x)$$在$$(0,+\infty)$$上递减，所以$$f(e^{1/3}) > f(\sqrt{2}) > f(\log_2 3)$$，即$$c > a > b$$。

答案：$$D$$

函数$$f(x)$$是偶函数，且在$$[0,+\infty)$$上单调递减（因为$$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$$）。

比较$$a=f(0)$$，$$b=f(\log_{0.2} 3)=f\left(-\log_5 3\right)=f(\log_5 3)$$，$$c=f(\log_2 5)$$。

由于$$\log_5 3 \approx 0.6826$$，$$\log_2 5 \approx 2.3219$$，且$$f(x)$$递减，所以$$f(0) > f(\log_5 3) > f(\log_2 5)$$，即$$a > b > c$$。

答案：$$B$$

偶函数$$f(x)=2\sin(\omega x + \varphi - \frac{\pi}{6})$$，相邻对称轴距离为$$\frac{\pi}{2}$$，说明周期为$$\pi$$，因此$$\omega=2$$。

由于是偶函数，$$f(-x)=f(x)$$，即$$2\sin(-2x + \varphi - \frac{\pi}{6}) = 2\sin(2x + \varphi - \frac{\pi}{6})$$，解得$$\varphi - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$，即$$\varphi = \frac{2\pi}{3}$$。

因此，$$f(x)=2\sin(2x + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6})=2\sin(2x + \frac{\pi}{2})=2\cos(2x)$$。

计算$$f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}$$。

答案：$$B$$

函数$$y=f(x+1)$$关于$$x=-1$$对称，说明$$f(x)$$关于$$x=0$$对称，即$$f(x)$$是偶函数。

当$$x \leq 0$$时，$$f(x)=-x^3 + \ln(1-x)$$。由于$$f(x)$$是偶函数，当$$x > 0$$时，$$f(x)=f(-x)=-(-x)^3 + \ln(1+x)=x^3 + \ln(1+x)$$。

比较$$a=f(\log_3 6)$$，$$b=f(\log_4 8)$$，$$c=f(\log_5 10)$$。由于$$\log_3 6 \approx 1.631$$，$$\log_4 8 \approx 1.5$$，$$\log_5 10 \approx 1.431$$，且$$f(x)$$在$$(0,+\infty)$$上递增（因为导数为$$3x^2 + \frac{1}{1+x} > 0$$），所以$$f(\log_5 10) < f(\log_4 8) < f(\log_3 6)$$，即$$c < b < a$$。

答案：$$A$$

选项分析：

A. $$y=x+1$$不是奇函数。

B. $$y=x^3$$是奇函数且增函数，正确。

C. $$y=-\frac{1}{x}$$是奇函数，但在定义域内不单调增。

D. $$y=\log_2 x$$不是奇函数。

答案：$$B$$

设$$g(x)=\frac{f(x)}{x}$$，则$$g'(x)=\frac{x f'(x) - f(x)}{x^2} < 0$$（因为$$x f'(x) - f(x) < 0$$），所以$$g(x)$$在$$(0,+\infty)$$上递减。

由于$$f(x)$$是奇函数且$$f(-1)=0$$，所以$$f(1)=0$$。

当$$x > 1$$时，$$g(x) < g(1)=0$$，即$$f(x) < 0$$；当$$0 < x < 1$$时，$$g(x) > g(1)=0$$，即$$f(x) > 0$$。

由奇函数性质，$$f(x) > 0$$的解集为$$(-\infty,-1) \cup (0,1)$$。

答案：$$A$$

由$$f(x)+f(-x)=2x^2$$，设$$f(x)=x^2 + g(x)$$，其中$$g(x)$$是奇函数。导数为$$f'(x)=2x + g'(x)$$。

在$$[0,+\infty)$$上，$$f'(x) < 2x$$，即$$g'(x) < 0$$，说明$$g(x)$$在$$[0,+\infty)$$上递减。由于$$g(x)$$是奇函数，在$$(-\infty,0]$$上也递减。

不等式$$f(4-m)-f(m) \geq 16-8m$$代入$$f(x)=x^2 + g(x)$$得：

$$(4-m)^2 + g(4-m) - m^2 - g(m) \geq 16-8m$$，化简得$$16-8m + g(4-m) - g(m) \geq 16-8m$$，即$$g(4-m) \geq g(m)$$。

由于$$g(x)$$递减，$$4-m \leq m$$，解得$$m \geq 2$$。

答案：$$A$$

函数$$f(x)=|x| - \frac{1}{2019+x^2}$$是偶函数，且在$$[0,+\infty)$$上递增（因为导数$$f'(x)=1 + \frac{2x}{(2019+x^2)^2} > 0$$）。

不等式$$f(x) > f(2x-1)$$等价于$$|x| > |2x-1|$$，解得$$\frac{1}{3} < x < 1$$。

答案：$$A$$

函数$$f(x)$$关于原点对称且为偶函数，说明$$f(x)=0$$（因为$$f(-x)=-f(x)$$且$$f(-x)=f(x)$$，故$$f(x)=0$$）。但题目描述矛盾，可能应为奇函数。

假设题目描述为奇函数，且在$$[0,+\infty)$$上递增，则不等式$$f(x-3) \geq 0$$等价于$$x-3 \geq 0$$，即$$x \geq 3$$。

答案：$$D$$