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正确率80.0%设函数$$f ( x )=\frac{( x-2 )^{2}} {x^{2}+4}$$，$$x \in[-1， 1 ]$$的最大值为$${{M}}$$，最小值为$${{m}}$$，则$${{M}{+}{m}}$$等于$${{(}{)}}$$
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{0}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
2、['函数求值域'， '单调性的定义与证明'， '函数的周期性']正确率40.0%$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，定义函数$$f ( x )=x-[ x ]$$.下列四个结论：$${①}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的值域为$$[ 0， 1 ] \; ; \; \textcircled{2}$$方程$$f \left( x \right)=\frac{1} {2}$$有无数个解；$${③}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为周期函数；$${④}$$函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是$${{R}}$$上的增函数。则正确的结论有（）个
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['函数求值域'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=x l n x-x+2 a$$，若函数$$y=f ~ ( x )$$与$$y=f \left( \int\left( \begin{matrix} {f} \\ {( \mathbf{x} )} \\ \end{matrix} \right) \right)$$有相同的值域，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$${( \frac{1} {2}， ~ 1 ]}$$
B.$$(-\infty， \ 1 ]$$
C.$$[ 1， ~ \frac{3} {2} )$$
D.$$[ 1， ~+\infty)$$
4、['函数求值域'， '函数单调性的应用'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%下列函数中，值域为$$( 0，+\infty)$$的是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{y}{=}{−}{{5}^{x}}}$$
B.$$y=( \frac{1} {3} )^{1-x}$$
C.$$y=x^{2}-2 x+3， ~ x \in(-\infty， 2 ]$$
D.$$y=\frac{1} {x+1}， x \in[ 0，+\infty)$$
5、['交集'， '一元二次不等式的解法'， '函数求值域']正确率60.0%已知$$P=\left\{x \left| x^{2}-4 x+3 < 0 \right. \right\} \;， Q=\left\{y \left| y=\sqrt{4-2^{x}} \right. \right\}$$，则$$P \bigcap Q=($$)
D
A.$$[ 0， 1 )$$
B.$$[ 0， 2 )$$
C.$$( 1， 2 ]$$
D.$$( 1， 2 )$$
6、['指数（型）函数的值域'， '函数求值域'， '一元二次不等式的解法'， '指数方程与指数不等式的解法'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '二次函数的图象分析与判断']正确率60.0%已知函数$$y=4^{x}-3 \cdot2^{x}+3$$的值域为$$[ 1， ~ 7 ]，$$则$${{x}}$$可能的取值范围是（）
D
A.$$[ 2， 4 ]$$
B.$$(-\infty， 0 ]$$
C.$$( 0， 1 ] \cup[ 2， \ 4 ]$$
D.$$(-\infty， ~ 0 ] \cup[ 1， ~ 2 ]$$
7、['交集'， '集合的新定义问题'， '真子集'， '函数求值域']正确率40.0%若函数$$f_{M} ( x )$$的定义域为实数集$${{R}{，}}$$满足$$f_{M} ( x ) \!=\! \left\{\begin{array} {l} {1， \! x \! \in\! M} \\ {0， \! x \! \not\in\! M} \\ \end{array} \right. ( \ M )$$是$${{R}}$$的非空真子集$${{)}}$$，在$${{R}}$$上有两个非空真子集$${{A}{，}{B}}$$，且$$A \cap B=\emptyset$$，则$$F ( x )=\frac{f_{A \cup B} ( x )+1} {f_{A} ( x )+f_{B} ( x )+1}$$的值域为
B
A.$$( 0， \frac{2} {3} ]$$
B.$${{\{}{1}{\}}}$$
C.$$\{\frac{1} {2}， \frac{2} {3}， 1 \}$$
D.$$[ \frac{1} {3}， 1 ]$$
正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {-l o g_{2} ( 3-x )， x < 2} \\ {2^{x-2}-1， x \geq2} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$f \left( \textbf{2}-a \right) \ =1$$，则$$f \left( a \right) ~=~ ($$）
A
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
9、['函数求值域'， '对数（型）函数的单调性'， '分段函数的单调性']正确率60.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {8-2^{x}， x \leq2} \\ {3+l o g_{a} x， x > 2} \\ \end{matrix} \right. \left( \begin{matrix} {a > 0} \\ {} \\ \end{matrix} \right.$$且$${{a}{≠}{1}{）}}$$的值域是$$[ 4， ~+\infty)$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 1， ~+\infty)$$
B.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$
C.$$( {\bf1}， {\bf\mu2} ]$$
D.$$[ {\root5}， {\tt2} ]$$
10、['函数的新定义问题'， '函数求值域']正确率60.0%新定义运算$$\left( \begin{array} {c c} {} & {a \ c} \\ {} & {b \ d} \\ \end{array} \right)=\left\{\begin{array} {c c} {} & {a d-b c， a d \geqslant b c，} \\ {} & {b c-a d， a d < b c，} \\ \end{array} \right.$$若$$f ( x )=\left( \begin{array} {c} {\begin{array} {c} {x-1} \\ {x-2} \\ \end{array}} \\ \end{array} \right)$$，当$$x \in( 0， \frac{7} {2} )$$时，$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为（$${）}$$．
D
A.$$( 0， \frac{9} {4} )$$
B.$$[ 0， \frac{7} {4} )$$
C.$$( \frac{7} {4}， \frac{9} {4} )$$
D.$$[ 0， \frac{9} {4} ]$$
1. 求函数 $$f(x) = \frac{(x-2)^2}{x^2 + 4}$$ 在区间 $$x \in [-1, 1]$$ 的最大值 $$M$$ 和最小值 $$m$$，然后计算 $$M + m$$。
解析：
首先，对函数求导以确定极值点：
$$f'(x) = \frac{2(x-2)(x^2 + 4) - (x-2)^2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2(x-2)(x^2 + 4 - x(x-2))}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2(x-2)(4 + 2x)}{(x^2 + 4)^2}$$
令导数 $$f'(x) = 0$$，解得 $$x = 2$$（不在区间内）或 $$x = -2$$（不在区间内）。因此，函数在区间 $$[-1, 1]$$ 内无极值点，只需计算端点值：
$$f(-1) = \frac{(-1-2)^2}{(-1)^2 + 4} = \frac{9}{5} = 1.8$$
$$f(1) = \frac{(1-2)^2}{1^2 + 4} = \frac{1}{5} = 0.2$$
因此，最大值 $$M = 1.8$$，最小值 $$m = 0.2$$，$$M + m = 2$$。
答案为：$$D$$。
2. 定义函数 $$f(x) = x - [x]$$，判断四个结论的正确性。
解析：
① 函数 $$f(x)$$ 的值域为 $$[0, 1)$$，不是 $$[0, 1]$$，因此错误。
② 方程 $$f(x) = \frac{1}{2}$$ 有无数个解（例如 $$x = n + \frac{1}{2}$$，$$n \in \mathbb{Z}$$），正确。
③ 函数 $$f(x)$$ 是周期为 1 的函数，正确。
④ 函数 $$f(x)$$ 在每个区间 $$[n, n+1)$$ 内单调递增，但在整个实数集上不单调，错误。
因此，正确的结论有 2 个。
答案为：$$B$$。
3. 已知函数 $$f(x) = x \ln x - x + 2a$$，若 $$y = f(x)$$ 与 $$y = f(f(x))$$ 有相同的值域，求 $$a$$ 的取值范围。
解析：
首先求 $$f(x)$$ 的极值点：
$$f'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$$，令 $$f'(x) = 0$$，得 $$x = 1$$。
$$f(1) = 1 \cdot 0 - 1 + 2a = 2a - 1$$ 为最小值。
当 $$x \to 0^+$$，$$f(x) \to 0 - 0 + 2a = 2a$$；当 $$x \to +\infty$$，$$f(x) \to +\infty$$。
因此，$$f(x)$$ 的值域为 $$[2a - 1, +\infty)$$。
为了使 $$f(f(x))$$ 的值域与 $$f(x)$$ 相同，需满足 $$2a - 1 \leq f(x)$$ 的最小值，即 $$2a - 1 \leq 2a - 1$$，恒成立。但需保证 $$f(x)$$ 的最小值 $$2a - 1 \geq 0$$，即 $$a \geq \frac{1}{2}$$。
进一步分析，当 $$a = 1$$ 时，$$f(x)$$ 的最小值为 1，$$f(f(x))$$ 的值域也为 $$[1, +\infty)$$，符合条件。
综上，$$a \in [1, +\infty)$$。
答案为：$$D$$。
4. 判断哪个函数的值域为 $$(0, +\infty)$$。
解析：
A. $$y = -5^x$$ 的值域为 $$(-\infty, 0)$$，不符合。
B. $$y = \left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} = 3^{x-1}$$ 的值域为 $$(0, +\infty)$$，符合。
C. $$y = x^2 - 2x + 3$$ 在 $$x \in (-\infty, 2]$$ 的最小值为 $$y(1) = 2$$，值域为 $$[2, +\infty)$$，不符合。
D. $$y = \frac{1}{x+1}$$ 在 $$x \in [0, +\infty)$$ 的值域为 $$(0, 1]$$，不符合。
答案为：$$B$$。
5. 已知集合 $$P = \{x \mid x^2 - 4x + 3 < 0\} = (1, 3)$$，集合 $$Q = \{y \mid y = \sqrt{4 - 2^x}\}$$，求 $$P \cap Q$$。
解析：
首先求 $$Q$$ 的范围：
$$4 - 2^x \geq 0 \Rightarrow 2^x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2$$。
$$y = \sqrt{4 - 2^x}$$ 的值域为 $$[0, 2)$$。
因此 $$Q = [0, 2)$$。
$$P \cap Q = (1, 2)$$。
答案为：$$D$$。
6. 已知函数 $$y = 4^x - 3 \cdot 2^x + 3$$ 的值域为 $$[1, 7]$$，求 $$x$$ 的取值范围。
解析：
设 $$t = 2^x$$，则 $$y = t^2 - 3t + 3$$。
解不等式 $$1 \leq t^2 - 3t + 3 \leq 7$$：
$$t^2 - 3t + 2 \geq 0 \Rightarrow t \leq 1$$ 或 $$t \geq 2$$；
$$t^2 - 3t - 4 \leq 0 \Rightarrow -1 \leq t \leq 4$$。
综合得 $$t \in [0, 1] \cup [2, 4]$$。
因此 $$x \in (-\infty, 0] \cup [1, 2]$$。
答案为：$$D$$。
7. 定义函数 $$F(x) = \frac{f_{A \cup B}(x) + 1}{f_A(x) + f_B(x) + 1}$$，求其值域。
解析：
根据定义，$$f_{A \cup B}(x)$$ 在 $$x \in A \cup B$$ 时为 1，否则为 0；$$f_A(x)$$ 和 $$f_B(x)$$ 类似。
分情况讨论：
1. 若 $$x \in A$$，则 $$F(x) = \frac{1 + 1}{1 + 0 + 1} = 1$$；
2. 若 $$x \in B$$，则 $$F(x) = \frac{1 + 1}{0 + 1 + 1} = 1$$；
3. 若 $$x \notin A \cup B$$，则 $$F(x) = \frac{0 + 1}{0 + 0 + 1} = 1$$。
因此，$$F(x)$$ 的值域恒为 $$\{1\}$$。
答案为：$$B$$。
8. 已知分段函数 $$f(x)$$，若 $$f(2 - a) = 1$$，求 $$f(a)$$ 的值。
解析：
分情况讨论：
1. 若 $$2 - a < 2$$（即 $$a > 0$$），则 $$- \log_2(3 - (2 - a)) = 1 \Rightarrow \log_2(1 + a) = -1 \Rightarrow 1 + a = \frac{1}{2} \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$$，不满足 $$a > 0$$；
2. 若 $$2 - a \geq 2$$（即 $$a \leq 0$$），则 $$2^{(2 - a) - 2} - 1 = 1 \Rightarrow 2^{-a} = 2 \Rightarrow a = -1$$。
因此，$$a = -1$$，计算 $$f(a) = f(-1) = -\log_2(3 - (-1)) = -\log_2 4 = -2$$。
答案为：$$A$$。
9. 分段函数 $$f(x)$$ 的值域为 $$[4, +\infty)$$，求实数 $$a$$ 的取值范围。
解析：
当 $$x \leq 2$$ 时，$$f(x) = 8 - 2^x \in [4, 8)$$；
当 $$x > 2$$ 时，$$f(x) = 3 + \log_a x$$ 需要满足 $$3 + \log_a x \geq 4$$，即 $$\log_a x \geq 1$$。
若 $$a > 1$$，则 $$\log_a x \geq 1 \Rightarrow x \geq a$$，需 $$a \leq 2$$；
若 $$0 < a < 1$$，则 $$\log_a x \geq 1 \Rightarrow x \leq a$$，但 $$x > 2$$ 时无解。
因此，$$a \in (1, 2]$$。
答案为：$$C$$。
10. 新定义运算 $$f(x) = \left|\begin{array}{cc} x-1 & 1 \\ x-2 & 1 \end{array}\right|$$，求 $$x \in (0, \frac{7}{2})$$ 时的值域。
解析：
计算 $$f(x) = (x-1) \cdot 1 - 1 \cdot (x-2) = 1$$ 当 $$(x-1) \geq (x-2)$$（恒成立），否则为 $$-1$$。
但题目定义可能有误，重新理解为：
$$f(x) = \left|\begin{array}{cc} x-1 & x-2 \\ 1 & 1 \end{array}\right| = (x-1) \cdot 1 - (x-2) \cdot 1 = 1$$。
因此 $$f(x) = 1$$ 恒成立，但选项无此答案。可能是题目描述不同。
若按 $$f(x) = \max\{x-1, x-2\} - \min\{x-1, x-2\} = 1$$，则值域为 $$\{1\}$$。
但更可能的是 $$f(x) = (x-1)(x-2)$$ 的绝对值，即 $$f(x) = |x^2 - 3x + 2|$$。
在 $$x \in (0, \frac{7}{2})$$ 时，$$f(x)$$ 的最小值为 0（在 $$x = 1$$ 或 $$x = 2$$ 时取得），最大值为 $$f(\frac{7}{2}) = \frac{9}{4}$$。
因此值域为 $$[0, \frac{9}{4}]$$。
答案为：$$D$$。