.jpg)
正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {\mathrm{e}^{x}-3， \ x > 0，} \\ {2-( x+1 )^{2}， \ x \leqslant0，} \\ \end{aligned} \right.$$则函数$$y=f [ f ( x ) ]-1$$的零点个数为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
2、['分段函数与方程、不等式问题'， '对数的性质'， '已知函数值（值域）求自变量或参数'， '对数的运算性质']正确率60.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {a \cdot2^{x}， x \leq2} \\ {l o g_{2} x， x > 2} \\ \end{array} \right. ( a \in R )$$，若$$f \left( f \left( 4 \right) \right) ~=~ 1$$，则$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
3、['分段函数与方程、不等式问题']正确率40.0%已知函数定义在$$[ 1， ~+\infty)$$上的函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {4-| 8 x-1 2 |， \ 1 \leqslant x \leqslant2} \\ {\frac{1} {2} f ( \frac{x} {2} )， \ x > 2} \\ \end{matrix} \right.$$，则下列说法中正确的个数有（）
$${①}$$关于$${{x}}$$的方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)-\frac{1} {2^{n}}=0， \ \ ( \begin{matrix} {n \in N} \\ \end{matrix} )$$有$${{2}{n}{+}{4}}$$个不同的零点
$${②}$$对于实数$$x \in[ 1， ~+\infty)$$，不等式$$x f ~ ( \textbf{x} ) ~ \leq6$$恒成立
$${③}$$在$$[ 1， ~ 6 )$$上，方程$$6 f ~ ( x ) ~-x=0$$有$${{5}}$$个零点
$${④}$$当$$x \in[ 2^{n-1}， \， \， 2^{n} ]， \quad( \， n \in N^{*} \， )$$时，函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象与$${{x}}$$轴围成的面积为$${{4}}$$
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
4、['分段函数与方程、不等式问题'， '对数（型）函数的单调性'， '不等式的解集与不等式组的解集'， '分段函数求值']正确率40.0%函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {e^{x-1} \left( x < 2 \right)} \\ {-\operatorname{l o g}_{3} \left( x-1 \right) \left( x \gg2 \right)} \\ \end{matrix} \right.$$，则不等式$${{f}{{(}{x}{)}}{>}{1}}$$的解集为$${{(}{)}}$$
A
A.$$( 1， 2 )$$
B.$$(-\infty， \frac{4} {3} )$$
C.$$\left( 1， \frac{4} {3} \right)$$
D.$${{[}{2}{{，}{+}{∞}}{)}}$$
5、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数求值'， '分段函数的定义']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x+1，} & {x \geq0} \\ {x^{2}，} & {x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f [ f ~ ( ~-2 ) ~ ]$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
6、['分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {e^{x}， x \leqslant0，} \\ {\operatorname{l n} x， x > 0，} \\ \end{matrix} \right. g \left( x \right)=f \left( x \right)+x+2 a$$.若$${{g}{{(}{x}{)}}}$$存在$${{2}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[-\frac{1} {2}，+\infty)$$
B.$$[ 0，+\infty)$$
C.$$\left[-\frac{1} {2}， 0 \right)$$
D.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '分段函数与方程、不等式问题'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '分段函数的图象']正确率40.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-( 3 m+1 ) x+3， x \leq0} \\ {m x^{2}+x l n x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$恰有三个极值点，则$${{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( \mathrm{\Pi}-\frac{1} {2}， \mathrm{\Pi}-\frac{1} {3} )$$
B.$$( \mathrm{\it~-~} \frac{1} {2}， \mathrm{\it~ 0} )$$
C.$$( \mathrm{\Phi}-1， \mathrm{\Phi}-\frac{1} {3} )$$
D.$$( \mathrm{\ensuremath{-1}}， \mathrm{\ensuremath{-}} \frac{1} {2} )$$
8、['函数奇偶性的应用'， '分段函数与方程、不等式问题'， '利用函数奇偶性求解析式']正确率40.0%已知$$y=f ( x )$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$${{x}{>}{0}}$$时，$$f ( x )=x-2$$，那么不等式$$f ( x ) < \frac{1} {2}$$的解集是$${{(}{)}}$$
D
A.$$\{x | 0 < x < \frac{5} {2} \}$$
B.$$\{x |-\frac{3} {2} < x < 0 \}$$
C.$$\{x |-\frac{3} {2} < x < 0$$或$$0 < x < \frac{5} {2} \}$$
D.$$\{x | x <-\frac{3} {2}$$或$$0 \leqslant x < \frac{5} {2} \}$$
9、['分段函数与方程、不等式问题'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2 x， x \geqslant0} \\ {x^{2}+1， x < 0} \\ \end{array} \right.$$则$$f ( f (-2 ) )$$的值是（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{−}{{1}{7}}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{7}}$$
10、['分段函数与方程、不等式问题'， '利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\left\{\begin{aligned} {\operatorname{l n} ( 2 x+1 )， x > 0，} \\ {\mathrm{e}^{x}-1， x \leqslant0，} \\ \end{aligned} \right.$$若函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-a \textbf{x}$$恰有$${{2}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( 1， ~+\infty)$$
B.$$[ 1， \ 2 ]$$
C.$$[ 1， \ 2 )$$
D.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$
第一题：
已知函数 $$f(x)=\begin{cases} e^x-3, & x>0 \\ 2-(x+1)^2, & x\leq0 \end{cases}$$
要求函数 $$y=f[f(x)]-1$$ 的零点个数
1. 当 $$x>0$$ 时：
$$f(x)=e^x-3$$，值域为 $$(-2,+\infty)$$
当 $$f(x)>0$$ 时：$$f[f(x)]=e^{f(x)}-3$$
当 $$f(x)\leq0$$ 时：$$f[f(x)]=2-(f(x)+1)^2$$
2. 当 $$x\leq0$$ 时：
$$f(x)=2-(x+1)^2$$，值域为 $$(-\infty,2]$$
当 $$f(x)>0$$ 时：$$f[f(x)]=e^{f(x)}-3$$
当 $$f(x)\leq0$$ 时：$$f[f(x)]=2-(f(x)+1)^2$$
通过分段讨论和图像分析，得到 $$f[f(x)]=1$$ 有 5 个解
答案：B.$$5$$
第二题：
已知函数 $$f(x)=\begin{cases} a\cdot2^x, & x\leq2 \\ \log_2 x, & x>2 \end{cases}$$
且 $$f(f(4))=1$$
1. 计算 $$f(4)$$：
$$4>2$$，所以 $$f(4)=\log_2 4=2$$
2. 计算 $$f(f(4))=f(2)$$
$$2\leq2$$，所以 $$f(2)=a\cdot2^2=4a$$
3. 由题意：$$4a=1$$，解得 $$a=\frac{1}{4}$$
答案：D.$$\frac{1}{4}$$
第三题：
函数定义在 $$[1,+\infty)$$ 上：
$$f(x)=\begin{cases} 4-|8x-12|, & 1\leq x\leq2 \\ \frac{1}{2}f(\frac{x}{2}), & x>2 \end{cases}$$
分析四个命题：
① 方程 $$f(x)-\frac{1}{2^n}=0$$ 有 $$2n+4$$ 个不同的零点：正确
② 不等式 $$xf(x)\leq6$$ 恒成立：正确
③ 在 $$[1,6)$$ 上，方程 $$6f(x)-x=0$$ 有 5 个零点：正确
④ 当 $$x\in[2^{n-1},2^n]$$ 时，函数图像与 x 轴围成的面积为 4：错误
有三个正确命题
答案：D.$$3$$
第四题：
函数 $$f(x)=\begin{cases} e^{x-1}, & x<2 \\ -\log_3(x-1), & x\geq2 \end{cases}$$
解不等式 $$f(x)>1$$
1. 当 $$x<2$$ 时：$$e^{x-1}>1$$
$$e^{x-1}>e^0$$，所以 $$x-1>0$$，即 $$x>1$$
结合 $$x<2$$，得 $$1 2. 当 $$x\geq2$$ 时：$$-\log_3(x-1)>1$$ $$\log_3(x-1)<-1$$，所以 $$x-1<3^{-1}=\frac{1}{3}$$ 即 $$x<\frac{4}{3}$$，与 $$x\geq2$$ 矛盾 综上，解集为 $$(1,2)$$ 答案：A.$$(1,2)$$
第五题：
函数 $$f(x)=\begin{cases} x+1, & x\geq0 \\ x^2, & x<0 \end{cases}$$
计算 $$f[f(-2)]$$
1. $$f(-2)=(-2)^2=4$$
2. $$f[f(-2)]=f(4)=4+1=5$$
答案：D.$$5$$
第六题：
函数 $$f(x)=\begin{cases} e^x, & x\leq0 \\ \ln x, & x>0 \end{cases}$$
$$g(x)=f(x)+x+2a$$ 存在 2 个零点
分析函数性质：
当 $$x\leq0$$ 时：$$g(x)=e^x+x+2a$$
当 $$x>0$$ 时：$$g(x)=\ln x+x+2a$$
通过导数分析单调性和极值，得到 $$a\geq-\frac{1}{2}$$
答案：A.$$[-\frac{1}{2},+\infty)$$
第七题：
函数 $$f(x)=\begin{cases} x^2-(3m+1)x+3, & x\leq0 \\ mx^2+x\ln x, & x>0 \end{cases}$$
恰有三个极值点
分析导数：
当 $$x\leq0$$ 时：$$f'(x)=2x-(3m+1)$$
当 $$x>0$$ 时：$$f'(x)=2mx+1+\ln x$$
通过分析导数零点个数，得到 $$m\in(-1,-\frac{1}{2})$$
答案：D.$$(-1,-\frac{1}{2})$$
第八题：
$$y=f(x)$$ 是定义在 $$R$$ 上的奇函数
当 $$x>0$$ 时：$$f(x)=x-2$$
解不等式 $$f(x)<\frac{1}{2}$$
1. 当 $$x>0$$ 时：$$x-2<\frac{1}{2}$$，得 $$x<\frac{5}{2}$$
所以 $$0 2. 当 $$x<0$$ 时：由奇函数性质，$$f(x)=-f(-x)$$ 设 $$t=-x>0$$，则 $$f(x)=-f(t)=-(t-2)=2-t$$ $$2-t<\frac{1}{2}$$，得 $$t>\frac{3}{2}$$，即 $$x<-\frac{3}{2}$$ 3. 当 $$x=0$$ 时：$$f(0)=0<\frac{1}{2}$$，成立 综上，解集为 $$\{x|x<-\frac{3}{2}$$ 或 $$0\leq x<\frac{5}{2}\}$$ 答案：D.$$\{x|x<-\frac{3}{2}$$ 或 $$0\leq x<\frac{5}{2}\}$$
第九题：
函数 $$f(x)=\begin{cases} 2x, & x\geq0 \\ x^2+1, & x<0 \end{cases}$$
计算 $$f(f(-2))$$
1. $$f(-2)=(-2)^2+1=4+1=5$$
2. $$f(f(-2))=f(5)=2\times5=10$$
答案：C.$$10$$
第十题：
函数 $$f(x)=\begin{cases} \ln(2x+1), & x>0 \\ e^x-1, & x\leq0 \end{cases}$$
$$g(x)=f(x)-ax$$ 恰有 2 个零点
分析函数性质：
当 $$x>0$$ 时：$$g(x)=\ln(2x+1)-ax$$
当 $$x\leq0$$ 时：$$g(x)=e^x-1-ax$$
通过导数分析和图像讨论，得到 $$a\in[1,2)$$
答案：C.$$[1,2)$$