函数的新定义问题-函数的拓展与综合知识点考前进阶自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率48.0%

1、['函数的新定义问题'， '充分、必要条件的判定']

正确率60.0%对于任意实数$${{x}{，}}$$用$${{[}{x}{]}}$$表示不大于$${{x}}$$的最大整数，例如：$${{[}{π}{]}{=}{3}{，}{[}{{0}{.}{1}}{]}{=}{0}{，}{[}{−}{{2}{.}{1}}{]}{=}{−}{3}{，}}$$则“$${{[}{x}{]}{>}{{[}{y}{]}}}$$”是“$${{x}{>}{y}}$$”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2、['函数的新定义问题'， '对数的运算性质']

正确率60.0%已知$${{m}{i}{n}}$$｛$${{m}{，}{n}}$$｝表示实数$${{m}{，}{n}}$$中较小的数，若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{m}{i}{n}}}$$｛$$3+\operatorname{l o g}_{\frac{1} {4}} x， ~ \operatorname{l o g}_{2} x$$｝，当$${{0}{<}{a}{<}{b}}$$时，有$${{f}{(}{a}{)}{=}{f}{(}{b}{)}{，}}$$则$${{a}{\sqrt {b}}}$$的值为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{6}}$$

3、['函数的新定义问题'， '正弦函数图象的画法'， '余弦函数图象的画法']

正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{{m}{a}{x}}}$$｛$${{f}{(}{x}{)}{，}{g}{(}{x}{)}}$$｝$$= \left\{\begin{array} {c c} {f ( x )， \; \; f ( x ) \geqslant g ( x )，} \\ {g ( x )， \; \; f ( x ) < g ( x )，} \\ \end{array} \right.$$则$${{y}{=}{{m}{a}{x}}{｛}{{s}{i}{n}}{x}{，}{{c}{o}{s}}{x}{｝}}$$的最小值为（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$$- \frac{\sqrt2} 2$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

4、['函数的新定义问题'， '复合函数的单调性判定'， '指数（型）函数的单调性'， '函数求值域']

正确率40.0%设函数$$f \ ( \textbf{x} ) \ =\frac{2^{x}} {1+2^{x}}-\frac{1} {2}， \ [ \textbf{x} ]$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，如$${{[}{−}{{1}{.}{2}}{]}{=}{−}{2}{，}{[}{{2}{.}{3}}{]}{=}{2}}$$，则函数$${{y}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{]}{+}{[}{f}{(}{−}{x}{)}{]}}$$的值域为（）

A.$${{\{}{0}{\}}}$$

B.$${{\{}{−}{1}{，}{0}{\}}}$$

C.$${{\{}{−}{1}{，}{0}{，}{1}{\}}}$$

D.$${{\{}{−}{2}{，}{0}{\}}}$$

5、['函数的新定义问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']

正确率40.0%现定义一种运算$${{“}{⊕}{”}}$$：对任意实数$$m， \ n， \ m \oplus n=\left\{\begin{array} {l l} {n， m-n \geqslant1，} \\ {m， m-n < 1，} \\ \end{array} \right.$$设$${{f}{（}{x}{）}{=}{（}{{x}^{2}}{−}{x}{）}{⊕}{（}{{x}^{2}}{−}{2}{x}{+}{2}{）}}$$，若函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{k}}$$的图象与$${{x}}$$轴恰有三个公共点，则$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$${（{5}{，}{6}{]}}$$

B.$${{[}{5}{，}{6}{）}}$$

C.$${（{5}{，}{6}{）}}$$

D.$${{[}{5}{，}{6}{]}}$$

6、['函数的新定义问题']

正确率40.0%若直角坐标平面内的两点$${{P}{，}{Q}}$$满足条件：$${①{P}{，}{Q}}$$都在函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的图象上；$${②{P}{，}{Q}}$$关于原点对称，则称点对$${{(}{P}{，}{Q}{)}}$$是函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的一对$${{“}}$$友好点对$${{”}{(}}$$点对$${{(}{P}{，}{Q}{)}}$$与$${{(}{Q}{，}{P}{)}}$$看作同一对$${{“}}$$友好点对$${{”}{)}}$$.已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {\left( \frac{1} {2} \right)^{x}， x > 0} \\ {x+1， x \leq0} \\ \end{matrix} \right.$$，则此函数的$${{“}}$$友好点对$${{”}}$$有

A.$${{3}}$$对

B.$${{2}}$$对

C.$${{1}}$$对

D.$${{0}}$$对

7、['函数的新定义问题'， '导数与单调性']

正确率40.0%已知$$\operatorname* {m a x} \left\{x_{1}， x_{2} \right\}=\left\{\begin{array} {c} {x_{1}， x_{1} \geq x_{2}} \\ {x_{2}， x_{1} < x_{2}} \\ \end{array} \right.，$$若函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{−}{2}{，}{g}{(}{x}{)}{=}{−}{x}}$$，则下列函数中与函数$${{m}{a}{x}{\{}{f}{(}{x}{)}{，}{g}{(}{x}{)}{\}}}$$的单调性完全相同的是（）

A.$${{y}{=}{(}{2}{−}{x}{)}{{e}^{x}}}$$

B.$${{y}{=}{(}{x}{−}{2}{)}{{e}^{x}}}$$

C.$${{y}{=}{{x}^{3}}{−}{3}{x}}$$

D.$${{y}{=}{−}{{x}^{3}}{+}{3}{x}}$$

8、['函数的新定义问题'， '函数与数学文化结合'， '函数求值域'， '指数（型）函数的值域']

正确率40.0%高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有$${{“}}$$数学王子$${{”}}$$的称号，他和阿基米德$${、}$$牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的$${{“}}$$高斯函数$${{”}}$$为：设$${{x}{∈}{R}}$$，用$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$${{y}{=}{[}{x}{]}}$$称为高斯函数，例如：$${{[}{−}{{3}{.}{5}}{]}{=}{−}{4}{，}{[}{{2}{.}{1}}{]}{=}{2}}$$，已知函数$$f ( x )=\frac{\mathrm{e}^{x}} {1+\mathrm{e}^{x}}-\frac{1} {2}$$，则函数$${{y}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{]}}$$的值域是（）

A.$${{\{}{0}{，}{1}{\}}}$$

B.$${{\{}{1}{\}}}$$

C.$${{\{}{−}{1}{，}{0}{，}{1}{\}}}$$

D.$${{\{}{−}{1}{，}{0}{\}}}$$

9、['函数的新定义问题']

正确率60.0%记$$m a x \{a， \， \， b \}=\left\{\begin{array} {c l} {a， a \geq b} \\ {b， a < b} \\ \end{array} \right.$$，函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{m}{a}{x}{\{}{x}{+}{1}{，}{3}{−}{x}{\}}{（}{x}{∈}{R}{）}}$$，则$${{f}{（}{2}{）}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

10、['函数的新定义问题'， '导数与单调性']

正确率40.0%对于函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$与$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}}$$，若存在$${{x}_{0}}$$，使$${{f}{{(}{{x}_{0}}{)}}{=}{g}{{(}{−}{{x}_{0}}{)}}}$$，则称$${{M}{{(}{{x}_{0}}{，}{f}{{(}{{x}_{0}}{)}}{)}}}$$，$${{N}{{(}{−}{{x}_{0}}{，}{g}{{(}{−}{{x}_{0}}{)}}{)}}}$$是函数$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$图象的一对“隐对称点”.已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{m}{(}{x}{+}{1}{)}}$$，$$g ( x )=\frac{\operatorname{l n} x} {x}$$，函数$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）

A.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}}$$

C.$${{(}{0}{，}{1}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}{∪}{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$

以下是各题的详细解析： --- ### 第1题解析

分析条件关系：

1. 若$$[x] > [y]$$，则$$x \geq [x] > [y] \leq y$$，但$$x > y$$不一定成立（例如$$x=1.5, y=1.6$$时，$$[x]=1=[y]$$不满足条件）。 2. 反过来，若$$x > y$$，$$[x] > [y]$$也不一定成立（例如$$x=1.1, y=1.0$$时，$$[x]=[y]=1$$）。因此，“$$[x] > [y]$$”是“$$x > y$$”的既不充分也不必要条件。

答案：D

--- ### 第2题解析

1. 定义函数$$f(x) = \min\{3 + \log_{\frac{1}{4}}x, \log_2 x\}$$。 2. 当$$0 < x \leq 1$$时，$$\log_{\frac{1}{4}}x \geq 0$$，$$3 + \log_{\frac{1}{4}}x \geq 3$$，而$$\log_2 x \leq 0$$，故$$f(x) = \log_2 x$$。 3. 当$$x > 1$$时，$$\log_{\frac{1}{4}}x < 0$$，$$3 + \log_{\frac{1}{4}}x < 3$$，而$$\log_2 x > 0$$，需比较两者大小。 4. 设交点$$3 + \log_{\frac{1}{4}}x = \log_2 x$$，解得$$x=4$$。 5. 当$$1 < x < 4$$时，$$f(x) = 3 + \log_{\frac{1}{4}}x$$；当$$x \geq 4$$时，$$f(x) = \log_2 x$$。 6. 由$$f(a)=f(b)$$且$$0 < a < b$$，可知$$a \leq 1$$且$$b > 4$$，且$$\log_2 a = \log_2 b - 2$$，解得$$b=4a$$。 7. 代入$$a \sqrt{b} = a \cdot 2\sqrt{a} = 2a^{3/2}$$，由$$f(a)=f(b)$$得$$a=1/4$$，故$$a \sqrt{b} = 8$$。

答案：B

--- ### 第3题解析

1. 定义$$y = \max\{\sin x, \cos x\}$$。 2. 分析交点$$\sin x = \cos x$$，即$$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$$。 3. 在区间$$[-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$$内，$$\cos x \geq \sin x$$，$$y = \cos x$$，最小值为$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$。 4. 在区间$$[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$$内，$$\sin x \geq \cos x$$，$$y = \sin x$$，最小值为$$-1$$。 5. 综上，全局最小值为$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$。

答案：C

--- ### 第4题解析

1. 定义$$f(x) = \frac{2^x}{1+2^x} - \frac{1}{2}$$，计算$$f(-x) = \frac{1}{1+2^x} - \frac{1}{2}$$。 2. 注意到$$f(x) + f(-x) = 0$$，即$$f(-x) = -f(x)$$。 3. 当$$x > 0$$时，$$0 < f(x) < \frac{1}{2}$$，故$$[f(x)] = 0$$，$$[f(-x)] = -1$$。 4. 当$$x = 0$$时，$$f(0) = 0$$，$$[f(0)] + [f(-0)] = 0$$。 5. 当$$x < 0$$时，对称性得$$[f(x)] + [f(-x)] = -1$$。 6. 综上，值域为$$\{-1, 0\}$$。

答案：B

--- ### 第5题解析

1. 定义运算$$m \oplus n$$为取$$m$$和$$n$$中较大者，但若$$m - n \geq 1$$则固定取$$n$$。 2. 设$$f(x) = (x^2 - x) \oplus (x^2 - 2x + 2)$$，比较$$x^2 - x$$和$$x^2 - 2x + 2$$的差为$$x - 2$$。 3. 当$$x - 2 \geq 1$$即$$x \geq 3$$时，$$f(x) = x^2 - 2x + 2$$；否则$$f(x) = \max\{x^2 - x, x^2 - 2x + 2\}$$。 4. 在$$x < 3$$时，$$f(x) = x^2 - x$$（因为$$x^2 - x \geq x^2 - 2x + 2$$等价于$$x \geq 2$$）。 5. 函数$$g(x) = f(x) - k$$与$$x$$轴有三个交点，需$$f(x) = k$$在$$x=2$$和$$x=3$$处取值分别为$$2$$和$$5$$，故$$k \in (5, 6]$$。

答案：A

--- ### 第6题解析

1. 定义“友好点对”为$$(P, Q)$$满足$$P$$和$$Q$$关于原点对称且在函数图像上。 2. 对于$$x \leq 0$$，设$$P=(x, x+1)$$，则$$Q=(-x, -x+1)$$需满足$$f(-x) = -x+1$$。 3. 当$$x \leq 0$$时，$$-x \geq 0$$，故$$f(-x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = 2^x$$，解$$2^x = -x + 1$$。 4. 通过图像分析，有两个解$$x=0$$和$$x \approx -1.5$$，故共有2对友好点对。

答案：B

--- ### 第7题解析

1. 定义$$h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$$，即$$h(x) = \max\{x^2 - 2, -x\}$$。 2. 交点$$x^2 - 2 = -x$$解得$$x=1$$或$$x=-2$$。 3. 当$$x \leq -2$$时，$$h(x) = x^2 - 2$$；当$$-2 < x \leq 1$$时，$$h(x) = -x$$；当$$x > 1$$时，$$h(x) = x^2 - 2$$。 4. 分析单调性：$$h(x)$$在$$(-\infty, -2)$$递减，在$$(-2, 0)$$递减，在$$(0, 1)$$递增，在$$(1, +\infty)$$递增。 5. 对比选项，$$y = -x^3 + 3x$$的单调性与$$h(x)$$完全一致。

答案：D

--- ### 第8题解析

1. 定义$$f(x) = \frac{e^x}{1+e^x} - \frac{1}{2}$$，分析其值域： - 当$$x \to +\infty$$，$$f(x) \to \frac{1}{2}$$； - 当$$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -\frac{1}{2}$$； - 在$$x=0$$时，$$f(0) = 0$$。 2. 因此，$$f(x) \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$，故$$[f(x)]$$的取值只能是$$-1$$或$$0$$。

答案：D

--- ### 第9题解析

1. 定义$$f(x) = \max\{x+1, 3-x\}$$。 2. 解$$x+1 = 3-x$$得$$x=1$$。 3. 当$$x < 1$$时，$$f(x) = 3 - x$$；当$$x \geq 1$$时，$$f(x) = x + 1$$。 4. 计算$$f(2) = 2 + 1 = 3$$。

答案：C

--- ### 第10题解析

1. 定义“隐对称点”为存在$$x_0$$使得$$m(x_0 + 1) = \frac{\ln(-x_0)}{-x_0}$$。 2. 设$$t = -x_0$$，则条件化为$$m(1 - t) = \frac{\ln t}{t}$$（$$t > 0$$）。 3. 要求方程$$m = \frac{\ln t}{t(1 - t)}$$有两解，分析函数$$y = \frac{\ln t}{t(1 - t)}$$的图像。 4. 当$$t \in (0, 1)$$时，$$y < 0$$；当$$t > 1$$时，$$y > 0$$。 5. 通过求导可得$$y$$在$$t \in (0, 1)$$的值域为$$(-\infty, -1)$$，在$$t > 1$$的值域为$$(0, +\infty)$$。 6. 因此，$$m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$$，但需排除$$m=1$$（因为$$t=1$$时无定义）。

答案：D

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}