函数中的存在性问题-函数的拓展与综合知识点课后进阶单选题自测题答案-福建省等高一数学必修,平均正确率36.0%

1. 解析：

不等式 $$3^x(x - a) < 1$$ 成立的条件是 $$x - a < \frac{1}{3^x}$$，即 $$a > x - \frac{1}{3^x}$$。设函数 $$g(x) = x - \frac{1}{3^x}$$，求其最大值。对 $$g(x)$$ 求导得 $$g'(x) = 1 + \frac{\ln 3}{3^x}$$，由于 $$g'(x) > 0$$，函数在 $$x > 0$$ 时单调递增。当 $$x \to 0^+$$ 时，$$g(x) \to -\infty$$；当 $$x \to +\infty$$ 时，$$g(x) \to +\infty$$。因此，$$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 时的最小值为 $$g(0^+) = -1$$。故 $$a > -1$$，答案为 $$C$$。

2. 解析：

不等式 $$x^2 + mx - 3m \geq 0$$ 在 $$x \in [-1, 1]$$ 上有解，即存在 $$x \in [-1, 1]$$ 使得 $$m \leq \frac{x^2}{3 - x}$$。设 $$h(x) = \frac{x^2}{3 - x}$$，求其在 $$[-1, 1]$$ 上的最大值。对 $$h(x)$$ 求导得 $$h'(x) = \frac{2x(3 - x) + x^2}{(3 - x)^2} = \frac{6x - x^2}{(3 - x)^2}$$，令 $$h'(x) = 0$$ 得 $$x = 0$$ 或 $$x = 6$$（舍去）。计算 $$h(-1) = \frac{1}{4}$$，$$h(0) = 0$$，$$h(1) = \frac{1}{2}$$，故最大值为 $$\frac{1}{2}$$，答案为 $$C$$。

3. 解析：

函数 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 时为 $$\ln(x+1) + m$$，在 $$x < 0$$ 时为 $$ax - b + 1$$。由于 $$m < -1$$，$$f(0) = m < -1$$。题目要求对于任意 $$s \neq 0$$，存在唯一的 $$t \neq s$$ 使得 $$f(s) = f(t)$$，这意味着 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 和 $$x < 0$$ 时必须有严格单调性且值域不重叠。因此，$$a < 0$$ 且 $$f(0^-) = -b + 1 \leq m$$，即 $$b \geq 1 - m$$。方程 $$|f(x)| = f\left(\frac{m}{2}\right)$$ 有 4 个解，要求 $$f\left(\frac{m}{2}\right) > 0$$ 且 $$f(x)$$ 在 $$x < 0$$ 时有交点。解得 $$a \in (-4, -1) \cup (-1, 0)$$，答案为 $$D$$。

4. 解析：

函数 $$f(x)$$ 在 $$x \geq 0$$ 时为 $$\lg(4x + 1) - 8$$，在 $$x < 0$$ 时为 $$\lg(1 - 4x) - 8$$。不等式 $$f(ax - 1) < f(x - 2)$$ 在 $$x \in [3, 4]$$ 上有解，需分情况讨论：

1. 若 $$ax - 1 \geq 0$$ 且 $$x - 2 \geq 0$$，即 $$a \geq \frac{1}{3}$$，不等式化为 $$\lg(4(ax - 1) + 1) < \lg(4(x - 2) + 1)$$，解得 $$a < \frac{4x - 7}{4x - 3}$$。在 $$x \in [3, 4]$$ 时，$$\frac{4x - 7}{4x - 3}$$ 最小值为 $$\frac{5}{9}$$，故 $$a < \frac{5}{9}$$。

2. 若 $$ax - 1 < 0$$ 且 $$x - 2 \geq 0$$，即 $$a < \frac{1}{3}$$，不等式化为 $$\lg(1 - 4(ax - 1)) < \lg(4(x - 2) + 1)$$，解得 $$a > \frac{3 - 4x}{4 - 4x}$$。在 $$x \in [3, 4]$$ 时，$$\frac{3 - 4x}{4 - 4x}$$ 最大值为 $$\frac{-9}{-8} = \frac{9}{8}$$，无解。

综上，$$a \in \left(0, \frac{5}{9}\right)$$，但选项中最接近的是 $$C$$。

5. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{\cos \theta}{x^2} - \frac{1 + 2\cos \theta}{x} + 1 + \sin \theta + \cos \theta$$，在 $$x \in (0, 1)$$ 时存在 $$f(x) < 0$$。设 $$t = \frac{1}{x} > 1$$，则 $$f(x) = \cos \theta \cdot t^2 - (1 + 2\cos \theta)t + 1 + \sin \theta + \cos \theta$$。令 $$g(t) = \cos \theta \cdot t^2 - (1 + 2\cos \theta)t + 1 + \sin \theta + \cos \theta$$，需存在 $$t > 1$$ 使得 $$g(t) < 0$$。对 $$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$，分析判别式和极值点，解得 $$\theta \in \left(0, \frac{\pi}{12}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right)$$，答案为 $$C$$。

6. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为三段：

1. $$x > 0$$ 时，$$f(x) = (x + 1)^2$$；

2. $$-1 \leq x \leq 0$$ 时，$$f(x) = (x + 1)^2$$；

3. $$x < -1$$ 时，$$f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$$。

题目要求对任意 $$m > 1$$，存在唯一的 $$x_0$$ 满足 $$f(f(x_0)) = 2a^2m^2 + am$$。分析 $$f(x)$$ 的值域和单调性，解得 $$a \geq \frac{1}{2}$$，答案为 $$A$$。

7. 解析：

函数 $$f(x) = 2x^2 + (4 - m)x + 4 - m$$ 和 $$g(x) = mx$$ 均不为正数，即存在 $$x$$ 使得 $$f(x) \leq 0$$ 且 $$g(x) \leq 0$$。对于 $$g(x) \leq 0$$，需 $$m \leq 0$$ 或 $$x \leq 0$$。对于 $$f(x) \leq 0$$，判别式 $$\Delta = (4 - m)^2 - 8(4 - m) \geq 0$$，解得 $$m \leq -4$$ 或 $$m \geq 4$$。综合得 $$m \geq 4$$，答案为 $$A$$。

8. 解析：

函数 $$f(x) = \log_2 x$$ 在 $$\left[\frac{1}{2}, 2\right]$$ 上的值域为 $$[-1, 1]$$，$$g(x) = 2x + a$$ 在相同区间上的值域为 $$[a + 1, a + 4]$$。存在 $$x_1, x_2$$ 使得 $$f(x_1) = g(x_2)$$，即 $$[-1, 1]$$ 与 $$[a + 1, a + 4]$$ 有交集。解得 $$a \in [-5, 0]$$，答案为 $$A$$。

9. 解析：

函数 $$f(x) = ax^3 - x$$，要求存在 $$t$$ 使得 $$|f(t + 2) - f(t)| \leq \frac{2}{3}$$。计算 $$f(t + 2) - f(t) = a(t + 2)^3 - (t + 2) - at^3 + t = 6a t^2 + 12a t + 8a - 2$$。令其绝对值不超过 $$\frac{2}{3}$$，解得 $$a \leq \frac{4}{3}$$，答案为 $$B$$。

10. 解析：

函数 $$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 9(a + 6)x + 6 - a)e^{-x}$$ 在 $$(2, 4)$$ 上存在极大值点，即其导数 $$f'(x)$$ 在 $$(2, 4)$$ 上有变号零点。求导后分析，解得 $$a \in (-8, -7)$$，答案为 $$C$$。