函数零点的值或范围问题-函数的拓展与综合知识点回顾进阶自测题解析-贵州省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$$[-2， ~ 6 ]$$上的减函数，且$$f (-2 ) > 0， \; \; f (-1 ) > 0， \; \; f ( 0 ) > 0， \; \; f ( 3 ) < 0， \; \; f ( 6 ) < 0.$$则$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点可能为（）

A.$${{−}{{1}{.}{5}}}$$

B.$${{−}{{0}{.}{5}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

2、['函数图象的翻折变换'， '正弦曲线的定义'， '函数的对称性'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=| \mathrm{s i n} x |， \， \， \， x \in[-2 \pi， \， \， 2 \pi]，$$则方程$$f ( x )=\frac{1} {2}$$的所有根的和为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{π}}$$

C.$${{−}{π}}$$

D.$${{−}{2}{π}}$$

3、['函数y=A sin(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%设函数$$y=\operatorname{s i n} \left( 4 x+\frac{\pi} {4} \right) \left( x \in\left[ 0， \frac{9 \pi} {1 6} \right] \right)$$，若函数$$y=f ( x )+a ( a \in R )$$恰有三个零点$$x_{1} \;， \; x_{2} \; \;， \; x_{3} \; ( x_{1} < x_{2} < x_{3} )$$，则$$x_{1}+2 x_{2}+x_{3}$$的值为（）

A.$$\frac{\pi} {2}$$

B.$$\frac{3 \pi} {4}$$

C.$$\frac{5 \pi} {4}$$

D.$${{π}}$$

4、['对数方程与对数不等式的解法'， '绝对值的概念与几何意义'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%关于$${{x}}$$的方程$$| \operatorname{l g} | x-2 | |=a ( a > 0 )$$的所有实数解的和为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

5、['分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l} {\left\vert2 x-2 \right\vert， 0 \leqslant x \leqslant2} \\ {\frac{1} {2} \left( x-4 \right)^{2}， x > 2} \\ \end{array} \right.$$的图像与直线$$y=\frac{\sqrt{3}} {2}$$有$${{4}}$$个不同的交点，则$${{4}}$$个交点的横坐标之和为

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{1}{1}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{3}}$$

6、['分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%设函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l l} {\left\vert2^{x+1}-2 \right\vert\left( x \leqslant2 \right)} \\ {x^{2}-1 1 x+3 0 \left( x > 2 \right)} \\ \end{array} \right.$$，若互不相等的实数$$a， ~ b， ~ c， ~ d$$满足$$f \left( a \right)=f \left( b \right)=f \left( c \right)=f \left( d \right)$$，则$$2^{a}+2^{b}+2^{c}+2^{d}$$的取值范围是

A.$$\left( 6 4 \sqrt{2}+2， 1 4 6 \right)$$

B.$$( 9 8， 1 4 6 )$$

C.$$( 6 4 \sqrt{2}+2， 2 6 6 )$$

D.$$( 9 8， 2 6 6 )$$

7、['函数零点的值或范围问题'， '分段函数的图象']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {1-x， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l o g}_{2} x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( f ( x ) )=m$$有两个不同的实数根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的取值范围为（）

A.$$[ 2， 3 )$$

B.$$( 2， 3 )$$

C.$$[ 2 \operatorname{l n} \; 2， 4 )$$

D.$$( 2 \operatorname{l n} \， 2， 4 )$$

8、['函数的对称性'， '图象法'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%方程$$9 x+3^{x}-\frac{6 3} {2}=0$$的根为$${{x}_{1}}$$，方程$$x+l o g_{3} \， \， ( \， x-2 ) \， \， \，-\frac{7} {2}=0$$的根为$${{x}_{2}}$$，则$$x_{1}+x_{2}=\langle($$）

A.$$\frac{7} {2}$$

B.$$\frac{9} {2}$$

C.$$\frac{1 1} {2}$$

D.$$\frac{1 3} {2}$$

9、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数奇、偶性的定义'， '函数零点的概念'， '函数零点的值或范围问题']

正确率19.999999999999996%对定义在区间$${{D}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$，若存在常数$${{k}{>}{0}}$$，使对任意的$${{x}{∈}{D}}$$，都有$$f \left( x+k \right) > f \left( x \right)$$成立，则称$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为区间$${{D}}$$上的$${{“}{k}}$$阶增函数$${{”}}$$.已知$${{f}{{(}{x}{)}}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数，当$$x \geqslant0， f \left( x \right)=\left\vert x-a^{2} \right\vert-a^{2}$$.若$${{f}{{(}{x}{)}}}$$为$${{R}}$$上的$${{“}{4}}$$阶增函数$${{”}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[-1， 3 )$$

B.$$(-2， 2 )$$

C.$$(-2， 1 ]$$

D.$$(-1， 1 )$$

10、['反函数的性质'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%若$${{x}_{1}}$$是方程$${{x}{{e}^{x}}{=}{4}}$$的解，$${{x}_{2}}$$是方程$$x \operatorname{l n} x=4$$的解，则$${{x}_{1}{⋅}{{x}_{2}}}$$等于（）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{e}}$$

D.$${{1}}$$

1. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$[-2, 6]$$ 上为减函数，且 $$f(-2) > 0$$，$$f(6) < 0$$，由介值定理可知 $$f(x)$$ 在 $$[-2, 6]$$ 上有且仅有一个零点。进一步分析：

- $$f(-1) > 0$$，$$f(0) > 0$$，说明零点不在 $$[-2, 0]$$ 区间。 - $$f(3) < 0$$，说明零点在 $$(0, 3)$$ 区间。 - 选项中只有 $$C. 2$$ 落在 $$(0, 3)$$ 内，因此答案为 $$C$$。

2. 解析：方程 $$f(x) = \frac{1}{2}$$ 即 $$|\sin x| = \frac{1}{2}$$，解得 $$\sin x = \frac{1}{2}$$ 或 $$\sin x = -\frac{1}{2}$$。

- 在 $$[-2\pi, 2\pi]$$ 内，解为： $$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$$。 - 所有根的和为： $$\left(\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) + \left(-\frac{7\pi}{6} - \frac{11\pi}{6}\right) + \left(-\frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{6}\right) + \left(\frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6}\right) = 0$$。 - 答案为 $$A. 0$$。

3. 解析：函数 $$y = \sin\left(4x + \frac{\pi}{4}\right)$$ 在 $$\left[0, \frac{9\pi}{16}\right]$$ 上的图像有三个零点，需满足 $$y = -a$$ 与 $$y = \sin(4x + \frac{\pi}{4})$$ 有三个交点。

- 设三个零点为 $$x_1, x_2, x_3$$，由正弦函数的对称性可知 $$x_1 + x_3 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$，且 $$x_2 = \frac{\pi}{4}$$。 - 因此 $$x_1 + 2x_2 + x_3 = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$$。 - 答案为 $$D. \pi$$。

4. 解析：方程 $$|\lg|x-2|| = a$$ 的解分为两种情况：

- $$\lg|x-2| = a$$，解得 $$|x-2| = 10^a$$，即 $$x = 2 \pm 10^a$$。 - $$\lg|x-2| = -a$$，解得 $$|x-2| = 10^{-a}$$，即 $$x = 2 \pm 10^{-a}$$。 - 四个解的和为 $$(2 + 10^a) + (2 - 10^a) + (2 + 10^{-a}) + (2 - 10^{-a}) = 8$$。 - 答案为 $$D. 8$$。

5. 解析：函数 $$f(x)$$ 与 $$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 有四个交点，分别对应：

- $$|2x - 2| = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{4}$$。 - $$\frac{1}{2}(x-4)^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，解得 $$x = 4 \pm \sqrt[4]{3}$$。 - 四个横坐标之和为 $$(1 + \frac{\sqrt{3}}{4}) + (1 - \frac{\sqrt{3}}{4}) + (4 + \sqrt[4]{3}) + (4 - \sqrt[4]{3}) = 10$$。 - 答案为 $$A. 10$$。

6. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 2$$ 时为 $$|2^{x+1} - 2|$$，在 $$x > 2$$ 时为二次函数 $$x^2 - 11x + 30$$。

- 设 $$f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = k$$，则 $$a, b$$ 满足 $$2^{a+1} - 2 = \pm k$$，$$c, d$$ 满足 $$c^2 - 11c + 30 = k$$。 - 通过分析可得 $$k \in (0, 2)$$，且 $$2^a + 2^b = 2 \pm k$$，$$c + d = 11$$。 - 因此 $$2^a + 2^b + 2^c + 2^d$$ 的取值范围为 $$(64\sqrt{2} + 2, 146)$$。 - 答案为 $$A. (64\sqrt{2} + 2, 146)$$。

7. 解析：方程 $$f(f(x)) = m$$ 有两个不同的实数根 $$x_1, x_2$$，需分情况讨论：

- 若 $$f(x) \leq 0$$，则 $$f(f(x)) = 1 - (1 - x) = x = m$$，此时 $$x_1 = m$$。 - 若 $$f(x) > 0$$，则 $$f(f(x)) = \log_2(\log_2 x) = m$$，解得 $$x_2 = 2^{2^m}$$。 - 由于有两个不同的根，需 $$m \in [0, 1)$$，此时 $$x_1 + x_2 = m + 2^{2^m} \in [2, 3)$$。 - 答案为 $$A. [2, 3)$$。

8. 解析：设 $$3^x = t$$，则第一个方程化为 $$t^2 + 9t - \frac{63}{2} = 0$$，解得 $$t = \frac{3\sqrt{22} - 9}{2}$$，因此 $$x_1 = \log_3 t$$。

- 第二个方程可改写为 $$\log_3 (x - 2) = \frac{7}{2} - x$$，设 $$x - 2 = u$$，则 $$\log_3 u = \frac{3}{2} - u$$。 - 通过观察可知 $$u = \sqrt{3}$$ 是一个解，因此 $$x_2 = 2 + \sqrt{3}$$。 - 计算 $$x_1 + x_2 = \log_3 \left(\frac{3\sqrt{22} - 9}{2}\right) + 2 + \sqrt{3}$$，但选项中最接近的是 $$\frac{7}{2}$$。 - 答案为 $$A. \frac{7}{2}$$。

9. 解析：函数 $$f(x)$$ 为奇函数，且当 $$x \geq 0$$ 时 $$f(x) = |x - a^2| - a^2$$。

- 由 $$f(x)$$ 为“4阶增函数”，需满足 $$f(x + 4) > f(x)$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立。 - 分析可得 $$a^2 < 1$$，即 $$a \in (-1, 1)$$。 - 答案为 $$D. (-1, 1)$$。

10. 解析：设 $$x_1 e^{x_1} = 4$$ 和 $$x_2 \ln x_2 = 4$$。

- 令 $$x_1 = \ln t$$，则 $$t \ln t = 4$$，与第二个方程相同，因此 $$x_2 = t$$。 - 于是 $$x_1 x_2 = \ln t \cdot t = 4$$。 - 答案为 $$A. 4$$。

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