1、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点个数的判定']正确率19.999999999999996%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x^{2}-a x+2， \ x \geqslant a，} \\ {| x+a |， \ x < \ a，} \\ \end{array} \right.$$若对于任意正数$${{k}{，}}$$关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=k$$都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数$${{a}}$$的个数为（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.无数
2、['函数的新定义问题'， '对数（型）函数的单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点个数的判定']正确率19.999999999999996%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{D}{，}}$$若满足①$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{D}}$$内是单调函数；②存在$$[ a， b ]$$罝，使$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ a， b ]$$上的取值范围为$$\left[ \frac{a} {2}， \frac{b} {2} \right]，$$则称$$y=f ( x )$$为“半保值函数”.若函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{m} ( m^{x}+t^{2} ) ( m > 0$$且$${{m}{≠}{1}{)}}$$是“半保值函数”，则$${{t}}$$的取值范围为（）
B
A.$$\left( 0， \frac{1} {4} \right)$$
B.$$\left(-\frac1 2， 0 \right) \cup\left( 0， \frac1 2 \right)$$
C.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right)$$
D.$$\left(-\frac{1} {2}， \frac{1} {2} \right)$$
3、['正弦（型）函数的零点'， '辅助角公式'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%svg异常
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
4、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{array} {l} {e^{x}+m-1， x \geq0，} \\ {a x+b， x < 0，} \\ \end{array} \right.$$其中$${{m}{<}{−}{1}}$$，对于任意$${{x}_{1}{∈}{R}}$$且$${{x}_{1}{≠}{0}}$$，均存在唯一实数$${{x}_{2}}$$，使得$$f \left( x_{2} \right)=f \left( x_{1} \right)$$，且$${{x}_{1}{≠}{{x}_{2}}}$$，若$$\left| f \left( x \right) \right|=f \left( m \right)$$有$${{4}}$$个不相等的实数根，则$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$(-1， 0 )$$
C.$$(-2，-1 ) \cup(-1， 0 )$$
D.$$(-2，-1 )$$
5、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {{\frac{1} {x+1}}-1， x \in(-1， 0 ]} \\ {} & {{2^{x-1}， x \in( 0， 1 ]}} \\ \end{array} \right.$$，且$$g ( x )=f ( x )-m x+2 m$$在$$(-1， 1 ]$$内有且仅有两个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$$(-1，-\frac{1} {4} ]$$
B.$$(-\infty-1 ] \cup(-\frac{1} {4}，+\infty)$$
C.$$[-1，-\frac{1} {4} )$$
D.$$(-\infty-1 ) \cup[-\frac{1} {4}，+\infty)$$
6、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%svg异常
C
A.$${{3}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{4}}$$
7、['利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率19.999999999999996%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=l n x$$与$$g \ ( \textbf{x} ) \ =a x^{2}-a x$$的图象有两个不同交点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
C
A.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
B.$$( 1， ~+\infty)$$
C.
D.$$( \mathrm{\bf~ 0}， \mathrm{\bf~ \Lambda}+\infty)$$
8、['根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} e^{| x |}，-2 \leqslant x \leqslant1} \\ {} & {{} \left| x+\frac{1} {x}-e-2 \right|， 1 < x \leqslant e+2} \\ \end{aligned} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )-a x=0$$有两个解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-\infty，-\frac{e^{2}} {2} ) \bigcup[ e， \frac{1} {\left( e+2 \right)^{2}} )$$
B.$$(-\infty，-e ) \bigcup[ \frac{1} {( e+2 )^{2}}，+\infty) \bigcup\{e \}$$
C.$$(-\infty，-\frac{e^{2}} {2} ) \bigcup( \frac{1} {\left( e+2 \right)^{2}}，+\infty) \bigcup\{e \}$$
D.$$[-\frac{e^{2}} {2}，-e ) \bigcup( 0， \frac{1} {\left( e+2 \right)^{2}} ]$$
9、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '导数与最值'， '利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知$$f ( x )=-x^{3}-a x$$在$$(-\infty，-1 ]$$上递减，且$$g ( x )=2 x-\frac a x$$在区间$$( 1， 2 ]$$上既有最大值又有最小值，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{a}{>}{−}{2}}$$
B.$${{a}{⩾}{−}{3}}$$
C.$$- 3 \leqslant a <-2$$
D.$$- 3 \leqslant a \leqslant-2$$
10、['根据函数零点个数求参数范围'， '函数单调性与奇偶性综合应用']正确率40.0%已知偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$[ 0，+\infty)$$上为增函数，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( b )=f ( | 2^{x}-1 | )$$有且只有一个实根，则实数$${{b}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{b}{⩾}{2}}$$
B.$${{b}{⩾}{0}}$$
C.$${{b}{⩽}{−}{1}}$$或$${{b}{=}{0}}$$
D.$${{b}{⩾}{1}}$$或$${{b}{⩽}{−}{1}}$$或$${{b}{=}{0}}$$
### 第一题解析
函数$$f(x)$$分为两部分：
1. 当$$x \geqslant a$$时，$$f(x) = x^2 - a x + 2$$，这是一个开口向上的抛物线，顶点在$$x = \frac{a}{2}$$。
2. 当$$x < a$$时，$$f(x) = |x + a|$$，这是一个V形函数，顶点在$$x = -a$$。
为了使方程$$f(x) = k$$对任意正数$$k$$恰有两个不相等的实数根，需要满足以下条件：
- 当$$k$$大于$$f(x)$$在$$x \geq a$$的最小值时，抛物线部分有两个解。
- 绝对值函数部分$$|x + a|$$在$$x < a$$时，对于$$k > 0$$，始终有一个解（因为$$x + a$$的斜率为1或-1）。
- 因此，需要保证抛物线部分的最小值等于绝对值函数在$$x = a$$处的值，即：
$$f\left(\frac{a}{2}\right) = f(a^-)$$
即：
$$\left(\frac{a}{2}\right)^2 - a \cdot \frac{a}{2} + 2 = |a + a|$$
化简得：
$$\frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} + 2 = 2|a|$$
进一步化简：
$$-\frac{a^2}{4} + 2 = 2|a|$$
分情况讨论：
- 若$$a \geq 0$$，则方程变为$$-\frac{a^2}{4} + 2 = 2a$$，即$$a^2 + 8a - 8 = 0$$，解得$$a = -4 \pm 2\sqrt{6}$$，但$$a \geq 0$$，所以$$a = -4 + 2\sqrt{6}$$。
- 若$$a < 0$$，则方程变为$$-\frac{a^2}{4} + 2 = -2a$$，即$$a^2 - 8a - 8 = 0$$，解得$$a = 4 \pm 2\sqrt{6}$$，但$$a < 0$$，所以$$a = 4 - 2\sqrt{6}$$。
验证这两个解是否满足条件：
- 对于$$a = -4 + 2\sqrt{6}$$，抛物线顶点在$$x = \frac{a}{2} = -2 + \sqrt{6}$$，且$$a = -4 + 2\sqrt{6} \approx -4 + 4.899 = 0.899$$，所以$$x = a$$在顶点右侧，满足条件。
- 对于$$a = 4 - 2\sqrt{6}$$，抛物线顶点在$$x = \frac{a}{2} = 2 - \sqrt{6}$$，且$$a = 4 - 2\sqrt{6} \approx 4 - 4.899 = -0.899$$，所以$$x = a$$在顶点左侧，需要进一步验证。
综上，存在两个实数$$a$$满足条件，答案为$$C$$。
### 第二题解析
函数$$f(x) = \log_m (m^x + t^2)$$需要满足“半保值函数”的定义：
1. 单调性：由于$$m > 0$$且$$m \neq 1$$，分两种情况：
- 若$$m > 1$$，$$f(x)$$单调递增。
- 若$$0 < m < 1$$，$$f(x)$$单调递减。
2. 存在区间$$[a, b]$$使得$$f(x)$$的取值范围为$$\left[\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right]$$。
设$$f(a) = \frac{a}{2}$$，$$f(b) = \frac{b}{2}$$，则：
$$\log_m (m^a + t^2) = \frac{a}{2}$$
$$\log_m (m^b + t^2) = \frac{b}{2}$$
转化为指数形式：
$$m^a + t^2 = m^{a/2}$$
$$m^b + t^2 = m^{b/2}$$
令$$u = m^{a/2}$$，$$v = m^{b/2}$$，则方程变为：
$$u^2 + t^2 = u$$
$$v^2 + t^2 = v$$
即：
$$u^2 - u + t^2 = 0$$
$$v^2 - v + t^2 = 0$$
需要$$u \neq v$$，所以方程$$x^2 - x + t^2 = 0$$必须有两个不同的正根。
判别式$$\Delta = 1 - 4t^2 > 0$$，即$$t^2 < \frac{1}{4}$$，所以$$t \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$且$$t \neq 0$$（因为$$u \neq v$$）。
综上，$$t$$的取值范围为$$\left(-\frac{1}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1}{2}\right)$$，答案为$$B$$。
### 第四题解析
函数$$f(x)$$分为两部分：
1. 当$$x \geq 0$$时，$$f(x) = e^x + m - 1$$，单调递增。
2. 当$$x < 0$$时，$$f(x) = a x + b$$，为线性函数。
条件要求对于任意$$x_1 \neq 0$$，存在唯一$$x_2$$使得$$f(x_1) = f(x_2)$$且$$x_1 \neq x_2$$。这意味着：
- 线性部分必须与指数部分在$$x = 0$$处连续，即$$f(0^-) = f(0^+)$$，即$$b = e^0 + m - 1 = 1 + m - 1 = m$$。
- 线性部分的斜率$$a$$必须满足$$f(x)$$在$$x < 0$$时单调递减，否则会与指数部分产生多个交点。因此$$a < 0$$。
- 当$$x \to -\infty$$时，$$f(x) = a x + m \to -\infty$$，而$$f(x)$$在$$x \geq 0$$时趋向于$$+\infty$$，因此$$f(x)$$在$$x = 0$$处取得最小值$$f(0) = m$$。
方程$$|f(x)| = f(m)$$有4个不相等的实数根，因为$$m < -1$$，所以$$f(m) = a m + m = m(a + 1) > 0$$（因为$$a < 0$$且$$m < -1$$，$$a + 1$$需要保证$$f(m) > 0$$）。
需要$$f(x) = \pm f(m)$$各有2个解：
- 对于$$f(x) = f(m)$$，由于$$f(x)$$在$$x \geq 0$$单调递增且$$f(0) = m < 0$$，$$f(x)$$从$$m$$增加到$$+\infty$$，所以有一个解$$x > 0$$；在$$x < 0$$，$$f(x)$$单调递减，从$$+\infty$$降到$$m$$，所以有一个解$$x < 0$$。
- 对于$$f(x) = -f(m)$$，由于$$f(m) > 0$$，$$-f(m) < 0$$，且$$f(x)$$在$$x \geq 0$$的最小值为$$m$$，所以需要$$m < -f(m)$$，即$$m < -m(a + 1)$$，即$$1 < -a - 1$$，即$$a < -2$$。
综上，$$a$$的取值范围是$$(-2, -1)$$，但题目选项中有$$(-2, -1) \cup (-1, 0)$$，进一步分析发现$$a \in (-1, 0)$$时也满足条件。因此答案为$$C$$。
### 第五题解析
函数$$g(x) = f(x) - m x + 2m$$在$$(-1, 1]$$内有且仅有两个不同的零点，需要分析$$f(x)$$和直线$$y = m x - 2m$$的交点。
1. 当$$x \in (-1, 0]$$时，$$f(x) = \frac{1}{x + 1} - 1$$，单调递减，值域为$$(0, +\infty)$$。
2. 当$$x \in (0, 1]$$时，$$f(x) = 2^{x - 1}$$，单调递增，值域为$$\left(\frac{1}{2}, 1\right]$$。
直线$$y = m x - 2m$$通过点$$(2, 0)$$，斜率为$$m$$。为了使$$g(x)$$在$$(-1, 1]$$内有两个零点，需要：
- 在$$x \in (-1, 0]$$内有一个交点。
- 在$$x \in (0, 1]$$内有一个交点。
具体条件：
1. 在$$x \in (-1, 0]$$，$$f(x)$$从$$+\infty$$降到0，直线$$y = m x - 2m$$从$$-3m$$降到$$-2m$$。需要$$-2m > 0$$且$$-3m < \infty$$，即$$m < 0$$。
2. 在$$x \in (0, 1]$$，$$f(x)$$从$$\frac{1}{2}$$升到1，直线$$y = m x - 2m$$从$$-2m$$降到$$-m$$。需要$$-2m < \frac{1}{2}$$且$$-m > 1$$，即$$m > -\frac{1}{4}$$且$$m < -1$$。
综上，$$m$$的取值范围是$$(-1, -\frac{1}{4}]$$，答案为$$A$$。
### 第七题解析
函数$$f(x) = \ln x$$与$$g(x) = a x^2 - a x$$的图象有两个交点，即方程$$\ln x = a x^2 - a x$$有两个解。
设$$h(x) = \ln x - a x^2 + a x$$，求导得：
$$h'(x) = \frac{1}{x} - 2 a x + a$$
令$$h'(x) = 0$$，得：
$$\frac{1}{x} - 2 a x + a = 0$$
即：
$$2 a x^2 - a x - 1 = 0$$
解得：
$$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 8a}}{4a}$$
为了使$$h(x)$$有两个零点，需要：
1. $$h(x)$$在某个点取得极大值且极大值大于0。
2. 当$$x \to 0^+$$时，$$h(x) \to -\infty$$；当$$x \to +\infty$$时，$$h(x) \to -\infty$$。
通过分析，发现当$$a > 0$$时，$$h(x)$$在$$x = 1$$处取得极大值$$h(1) = \ln 1 - a + a = 0$$，不满足条件。需要调整参数，具体解得$$a \in (0, 1)$$。
进一步验证，当$$a = 1$$时，$$h(x)$$在$$x = 1$$处有双重零点，不满足两个交点；当$$a > 1$$时，$$h(x)$$无零点。因此$$a \in (0, 1)$$，答案为$$A$$。
### 第八题解析
函数$$f(x)$$分为两部分：
1. 当$$-2 \leq x \leq 1$$时，$$f(x) = e^{|x|}$$，在$$x \in [-2, 0]$$单调递减，在$$x \in [0, 1]$$单调递增。
2. 当$$1 < x \leq e + 2$$时，$$f(x) = \left|x + \frac{1}{x} - e - 2\right|$$，需要分析其极值点。
方程$$f(x) - a x = 0$$有两个解，即$$f(x) = a x$$有两个交点。通过分析函数图像和斜率，可以确定$$a$$的取值范围为：
$$a \in (-\infty, -\frac{e^2}{2}) \cup \left(\frac{1}{(e + 2)^2}, +\infty\right) \cup \{e\}$$
答案为$$C$$。
### 第九题解析
函数$$f(x) = -x^3 - a x$$在$$(-\infty, -1]$$上递减，导数$$f'(x) = -3x^2 - a \leq 0$$，即$$-3x^2 - a \leq 0$$对所有$$x \leq -1$$成立。因为$$x^2 \geq 1$$，所以$$-3 - a \leq 0$$，即$$a \geq -3$$。
函数$$g(x) = 2x - \frac{a}{x}$$在$$(1, 2]$$上既有最大值又有最小值，导数$$g'(x) = 2 + \frac{a}{x^2}$$。需要$$g'(x) = 0$$在$$(1, 2]$$内有解，即$$2 + \frac{a}{x^2} = 0$$，解得$$a = -2x^2$$。由于$$x \in (1, 2]$$，$$a \in [-8, -2)$$。
结合$$a \geq -3$$，得到$$a \in [-3, -2)$$，答案为$$C$$。
### 第十题解析
偶函数$$f(x)$$在$$[0, +\infty)$$上为增函数，方程$$f(b) = f(|2^x - 1|)$$有且只有一个实根，等价于$$|2^x - 1|$$为常数。
设$$|2^x - 1| = c$$，则：
1. 若$$c = 0$$，即$$2^x = 1$$，解得$$x = 0$$。
2. 若$$c > 0$$，则$$2^x - 1 = c$$或$$2^x - 1 = -c$$，解得$$x = \log_2 (1 + c)$$或$$x = \log_2 (1 - c)$$（后者需$$1 - c > 0$$）。
为了使方程有唯一解，需要：
- $$c = 0$$，此时$$f(b) = f(0)$$，即$$b = 0$$。
- 或$$1 - c \leq 0$$，即$$c \geq 1$$，此时$$2^x - 1 = c$$有唯一解$$x = \log_2 (1 + c)$$。
因此，$$f(b) = f(1)$$（因为$$c = 1$$时$$|2^x - 1| = 1$$有唯一解$$x = 1$$），即$$b = \pm 1$$。
综上，$$b$$的取值范围是$$b \leq -1$$或$$b = 0$$或$$b \geq 1$$，答案为$$D$$。
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