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正确率60.0%下列函数在区间$$( 1， 2 )$$内存在零点的是（）
C
A.$$f ( x )=x^{3}$$
B.$$f ( x )=x+\mathrm{l n} x$$
C.$$f ( x )=x^{2}-2$$
D.$$f ( x )=x^{2}-\operatorname{l n} x$$
2、['函数的新定义问题'， '函数零点存在定理']正确率60.0%对于函数$${{f}{(}{x}{)}}$$和$${{g}{(}{x}{)}}$$，设$$\alpha\in\{x \in R | f ( x )=0 \}， \， \， \， \beta\in\{x \in R | g ( x )=0 \}，$$若存在$${{α}{，}{β}}$$使得$$| \alpha-\beta| \leqslant1$$，则称$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$互为$${{“}}$$友谊函数$${{”}}$$。若函数$$f ( x )=e^{x-1}+x-2$$与$$g ( x )=x^{2}-a x-a+3$$互为友谊函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 2， \frac{7} {2} \ ]$$
B.$$[ \frac{7} {3}， 3 ]$$
C.$$[ 2， 3 ]$$
D.$$[ 2， 4 ]$$
3、['一元二次不等式的解法'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$${{f}}$$($$x )=2 a x-a+3$$，若$$\exists x_{0} \in(-1， 1 )， ~ f$$($${{x}_{0}}$$$${{)}{=}{0}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$(-\infty，-3 ) \cup( 1，+\infty)$$
B.$$(-\infty，-3 )$$
C.$$(-3， 1 )$$
D.$$( 1，+\infty)$$
4、['分段函数与方程、不等式问题'， '生活中的分段函数'， '分段函数求值'， '分段函数的定义'， '分段函数的图象'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$$)=\left\{\begin{array} {c l} {3^{x}， x \leqslant1} \\ {\operatorname{l o g}_{1} \， x， x > 1} \\ {\overline{{3}}} \\ \end{array} \right.$$，则函数 $${{y}}$$$${{=}}$$ $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{+}}$$ $${{x}}$$$${{−}{4}}$$的零点个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {} & {\left\vert2^{x}-1 \right\vert， x < 2} \\ {} & {\frac{3} {x-1}， x \geqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$f \left( x \right)-a=0$$有三个不同的实数根，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， 2 )$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$( 0， 3 )$$
D.$$( 1， 3 )$$
6、['函数单调性的判断'， '函数零点存在定理']正确率60.0%函数$$f ( x )=2^{x-1}+x-9$$的零点所在区间是
D
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$( 2， 3 )$$
D.$$( 3， 4 )$$
7、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '函数零点存在定理'， '函数零点的值或范围问题']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=2^{x}+\frac{1} {4} x$$的零点在区间$$( a \;， \; a+1 )$$上，且$${{a}{∈}{Z}}$$，则$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}}$$
8、['函数零点存在定理']正确率40.0%关于$${{x}}$$的不等式$$x^{2}-a x+a+3 \leqslant0$$在区间$$[ 0， \ 2 ]$$上有解，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( ~-\infty， ~-3 ] \cup[ 7， ~+\infty)$$
B.$$( ~-\infty， ~-2 ] \cup[ 6， ~+\infty)$$
C.$$[ 0， ~ 4 ]$$
D.$$( ~ \infty， ~ 0 ] \cup[ 4， ~ \ +\infty)$$
9、['函数零点存在定理']正确率60.0%函数$$f ( x )=1 g x+x-2$$的零点所在的区间是$${{(}{)}}$$
C
A.$$( \frac{1} {1 0 0}， \frac{1} {1 0} )$$
B.$$( {\frac{1} {1 0}}， 1 )$$
C.$$( 1， 2 )$$
D.$$( 3， 4 )$$
10、['函数零点存在定理']正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=-2 x+3-l o g_{2} x$$，在下列区间中，包含$${{f}{（}{x}{）}}$$零点的区间是（）
C
A.$$( \ -1， \ 0 )$$
B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
C.$$( 1， \ 2 )$$
D.$$( \ 2， \ 4 )$$
1. 选项分析：
A. $$f(x)=x^3$$，在$$(1,2)$$内$$f(x)>0$$，无零点
B. $$f(x)=x+\ln x$$，$$f(1)=1>0$$，$$f(2)=2+\ln2>0$$，无零点
C. $$f(x)=x^2-2$$，$$f(1)=-1<0$$，$$f(2)=2>0$$，存在零点
D. $$f(x)=x^2-\ln x$$，$$f(1)=1>0$$，$$f(2)=4-\ln2>0$$，无零点
答案：C
2. 友谊函数定义分析：
$$f(x)=e^{x-1}+x-2$$，求零点：$$f(1)=1+1-2=0$$，故$$\alpha=1$$
$$g(x)=x^2-ax-a+3$$，设零点为$$\beta$$，要求$$|\alpha-\beta|\leq1$$即$$|1-\beta|\leq1$$
即$$\beta\in[0,2]$$，即$$g(x)=0$$在$$[0,2]$$有解
判别式：$$\Delta=a^2+4a-12\geq0$$，得$$a\leq-6$$或$$a\geq2$$
$$g(0)=-a+3$$，$$g(2)=4-2a-a+3=7-3a$$
由零点定理：$$g(0)\cdot g(2)\leq0$$，即$$(3-a)(7-3a)\leq0$$
解得：$$a\in[\frac{7}{3},3]$$
结合$$\Delta$$条件，得$$a\in[2,3]$$
答案：C
3. 线性函数零点存在条件：
$$f(x)=2ax-a+3$$，在$$(-1,1)$$存在零点
即$$f(-1)\cdot f(1)<0$$
$$f(-1)=-2a-a+3=-3a+3$$
$$f(1)=2a-a+3=a+3$$
不等式：$$(-3a+3)(a+3)<0$$
解得：$$a<-3$$或$$a>1$$
答案：A
4. 分段函数零点分析：
$$y=f(x)+x-4=\begin{cases} 3^x+x-4, & x\leq1 \\ \log_{\frac{1}{3}}x+x-4, & x>1 \end{cases}$$
当$$x\leq1$$时：$$3^x$$递增，$$x-4$$递增，函数递增
$$f(0)=1-4=-3<0$$，$$f(1)=3+1-4=0$$，有一个零点$$x=1$$
当$$x>1$$时：$$\log_{\frac{1}{3}}x$$递减，$$x-4$$递增，需具体分析
$$f(3)=\log_{\frac{1}{3}}3+3-4=-1-1=-2<0$$
$$f(4)=\log_{\frac{1}{3}}4+4-4\approx-1.26<0$$
$$f(9)=\log_{\frac{1}{3}}9+9-4=-2+5=3>0$$
故在$$(4,9)$$存在一个零点
总零点数：2个
答案：B
5. 方程$$f(x)=a$$有三个不同实根：
$$f(x)=\begin{cases} |2^x-1|, & x<2 \\ \frac{3}{x-1}, & x\geq2 \end{cases}$$
当$$x<2$$时：$$|2^x-1|$$，在$$x=0$$处取最小值0，向两侧递增
当$$x\geq2$$时：$$\frac{3}{x-1}$$递减，$$f(2)=3$$，$$f(\infty)=0$$
要使$$f(x)=a$$有三个根，需$$0 答案：B
6. 函数零点区间判定：
$$f(x)=2^{x-1}+x-9$$
$$f(3)=2^2+3-9=4+3-9=-2<0$$
$$f(4)=2^3+4-9=8+4-9=3>0$$
由零点定理，零点在$$(3,4)$$
答案：D
7. 函数零点区间与整数a：
$$f(x)=2^x+\frac{1}{4}x$$
$$f(-2)=2^{-2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}<0$$
$$f(-1)=2^{-1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}>0$$
故零点在$$(-2,-1)$$，$$a=-2$$
答案：B
8. 不等式有解问题：
$$x^2-ax+a+3\leq0$$在$$[0,2]$$有解
即存在$$x\in[0,2]$$使$$x^2+3\leq a(x-1)$$
当$$x=1$$时：$$1+3=4\leq0$$不成立，故$$x\neq1$$
分离参数：$$a\geq\frac{x^2+3}{x-1}$$（$$x<1$$）或$$a\leq\frac{x^2+3}{x-1}$$（$$x>1$$）
求$$g(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$$在$$[0,2]$$的值域（$$x\neq1$$）
$$g(0)=-3$$，$$g(2)=7$$，且函数在$$[0,1)$$递减，$$(1,2]$$递减
故值域为$$(-\infty,-3]\cup[7,+\infty)$$
不等式有解的条件为：$$a\leq-3$$或$$a\geq7$$
答案：A
9. 对数函数零点区间：
$$f(x)=\lg x+x-2$$
$$f(1)=0+1-2=-1<0$$
$$f(2)=\lg2+2-2\approx0.301>0$$
故零点在$$(1,2)$$
答案：C
10. 函数零点区间判定：
$$f(x)=-2x+3-\log_2 x$$
$$f(1)=-2+3-0=1>0$$
$$f(2)=-4+3-1=-2<0$$
故零点在$$(1,2)$$
答案：C