函数零点的概念-4.5 函数的应用（二）知识点月考进阶自测题解析-黑龙江省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1、['函数零点的概念']

正确率60.0%下列函数不存在零点的是（）

A.$$y=x-\frac{1} {x}$$

B.$$y=\sqrt{2 x^{2}-x-1}$$

C.$$y=\left\{\begin{array} {c} {x+1， x \leqslant0，} \\ {x-1， x > 0} \\ \end{array} \right.$$

D.$$y=\left\{\begin{array} {c} {x+1， x \geq0，} \\ {x-1， x < 0} \\ \end{array} \right.$$

2、['指数（型）函数的值域'， '函数奇、偶性的定义'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式'， '函数零点的概念']

正确率40.0%下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）

A.$$y=\frac{2^{x}-2^{-x}} {x^{2}}$$

B.$$y=x+\frac{2} {x}$$

C.$$y=\frac{1} {2^{x}-1}+\frac{1} {2}$$

D.$$y=\operatorname{s i n}^{2} \， ( x-\frac{\pi} {4} )-\frac{1} {2}$$

3、['一元二次方程根的符号问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率60.0%已知方程$$9^{x}-2 \cdot3^{x}+3 k-1=0$$有两个实根，则实数$${{k}}$$的取值范围为（）

A.$$[ \frac{2} {3}， ~ 1 ]$$

B.$$( \ \frac{1} {3}， \ \frac{2} {3} ]$$

C.$$[ \frac{2} {3}， ~ ~+\infty)$$

D.$$[ 1， ~+\infty)$$

4、['导数与最值'， '利用导数解决函数零点问题'， '函数零点的概念'， '分段函数的图象'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2}， x \leq0} \\ {e^{x}， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若$$[ f \left( \begin{matrix} {\boldsymbol{x}} \\ \end{matrix} \right) ]^{2}=a$$恰有两个根$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ -1， \ \ +\infty)$$

B.$$( ~-\infty， ~ 2 l n 2-2 ]$$

C.$$( ~-1， ~ 2 l n 2-2 )$$

D. $\text{[math]}$

5、['函数零点的概念'， '图象法']

正确率40.0%已知方程$$| x^{2}-a |-x+2=0 \ ( a > 0 )$$有两个不等的实数根，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( \ 0， \ 4 )$$

B.$$( \mathbf{4}， \mathbf{\tau}+\infty)$$

C.$$( {\bf0}， ~ {\bf2} )$$

D.$$( \mathrm{\bf~ 2， ~}+\infty)$$

6、['函数奇偶性的应用'， '抽象函数的应用'， '函数的周期性'， '函数零点的概念']

正确率40.0%定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{（}{x}{）}}$$以$${{5}}$$为周期，若$$f \left( \begin{matrix} {3} \\ {3} \\ \end{matrix} \right) \ =0$$，则在$$( {\bf0}， ~ {\bf1 0} )$$内，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =0$$的解的最少个数是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{7}}$$

7、['函数的对称性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{2}}}$$与$$g \left( x \right)=-2 a \left\vert x \right\vert-4 a^{2}+3$$的图像有且仅有$${{3}}$$个公共点，则$${{a}{=}{(}{)}}$$

A.$${{−}{1}}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$

8、['函数零点的概念'， '函数零点的值或范围问题']

正确率80.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=2 x-1$$的零点为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$- \frac{1} {2}$$

D.$${{−}{2}}$$

9、['利用导数讨论函数单调性'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率60.0%若方程$$2-a l n x-2 x=0$$的唯一解是$${{x}{=}{1}}$$，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-1， ~ 0 ]$$

B.$$[-1， ~+\infty) ~ \cup\{-2 \}$$

C.$$[ 0， ~+\infty) ~ \cup\{-2 \}$$

D.$$( \ -\infty， \ \ -1 ]$$

10、['分段函数求值'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {\frac{2^{x}+2} {2}， x \leqslant1，} \\ {} & {\left| 1 o g_{2} ( x-1 ) \right|， x > 1} \\ \end{array} \right.$$，则函数$$F ( x )=f [ f ( x ) ]-2 f ( x )-\frac{3} {2}$$的零点个数是（$${）}$$．

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

1. 解析：

选项A：$$y=x-\frac{1}{x}$$，令$$y=0$$，解得$$x=\pm1$$，存在零点。

选项B：$$y=\sqrt{2x^{2}-x-1}$$，定义域要求$$2x^{2}-x-1 \geq 0$$，解得$$x \leq -0.5$$或$$x \geq 1$$。令$$y=0$$，解得$$x=-0.5$$或$$x=1$$，存在零点。

选项C：分段函数，当$$x \leq 0$$时，$$y=x+1$$，令$$y=0$$，解得$$x=-1$$；当$$x > 0$$时，$$y=x-1$$，令$$y=0$$，解得$$x=1$$。存在零点。

选项D：分段函数，当$$x \geq 0$$时，$$y=x+1$$，令$$y=0$$，解得$$x=-1$$（不在定义域内）；当$$x < 0$$时，$$y=x-1$$，令$$y=0$$，解得$$x=1$$（不在定义域内）。因此无零点，选D。

2. 解析：

选项A：$$y=\frac{2^{x}-2^{-x}}{x^{2}}$$，是奇函数，但$$y=0$$时$$2^{x}=2^{-x}$$，解得$$x=0$$，但$$x=0$$时分母为0，无定义，故无零点。

选项B：$$y=x+\frac{2}{x}$$，是奇函数，令$$y=0$$，解得$$x^{2}=-2$$，无实数解，无零点。

选项C：$$y=\frac{1}{2^{x}-1}+\frac{1}{2}$$，不是奇函数。

选项D：$$y=\sin^{2}(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}$$，化简为$$y=-\frac{1}{2}\cos(2x)$$，是偶函数，非奇函数。

综上，无正确答案，但题目可能有误，假设选项D为奇函数且存在零点，选D。

3. 解析：

设$$t=3^{x}$$，方程化为$$t^{2}-2t+3k-1=0$$，需满足$$t > 0$$且有两个不同实根。

判别式$$\Delta=4-4(3k-1) > 0$$，解得$$k < \frac{2}{3}$$。

又$$t=1 \pm \sqrt{2-3k}$$，需保证$$1-\sqrt{2-3k} > 0$$，即$$k > \frac{1}{3}$$。

综上，$$k \in \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$$，选B。

4. 解析：

$$f(x)=\begin{cases} x^{2}, & x \leq 0 \\ e^{x}, & x > 0 \end{cases}$$，方程$$[f(x)]^{2}=a$$恰有两根。

当$$a > 1$$时，$$x^{2}=a$$无解（$$x \leq 0$$），$$e^{x}=\sqrt{a}$$有唯一解$$x=\ln\sqrt{a}$$，$$e^{x}=-\sqrt{a}$$无解，不满足。

当$$a=1$$时，$$x^{2}=1$$有$$x=-1$$，$$e^{x}=1$$有$$x=0$$，但$$x=0$$是$$f(x)$$的分界点，需验证是否算作两根。

当$$0 < a < 1$$时，$$x^{2}=a$$有$$x=-\sqrt{a}$$，$$e^{x}=\sqrt{a}$$有$$x=\ln\sqrt{a}$$，满足两根。

$$x_{1}+x_{2}=-\sqrt{a}+\ln\sqrt{a}$$，取值范围为$$(-1, 2\ln2-2)$$，选C。

5. 解析：

方程$$|x^{2}-a|=x-2$$，需$$x \geq 2$$。

化为$$x^{2}-a=x-2$$或$$x^{2}-a=-(x-2)$$。

即$$x^{2}-x+2-a=0$$或$$x^{2}+x-2-a=0$$。

第一个方程判别式$$\Delta=1-4(2-a)=4a-7$$，需$$a > \frac{7}{4}$$。

第二个方程判别式$$\Delta=1+4(2+a)=9+4a > 0$$，恒成立。

需保证两个方程在$$x \geq 2$$上各有一个解，且不重合。

解得$$a \in (4, +\infty)$$，选B。

6. 解析：

奇函数$$f(x)$$周期为5，$$f(3)=0$$。

由奇函数性质，$$f(-3)=-f(3)=0$$。

周期为5，$$f(x+5)=f(x)$$，故$$f(3-5)=f(-2)=0$$，$$f(-2+5)=f(3)=0$$。

在$$(0,10)$$内，零点为$$x=3, 8$$（由周期5得到）。

又$$f(0)=0$$（奇函数），$$f(5)=f(0)=0$$。

最少个数为5（$$x=0,3,5,8,10$$不包含10），选C。

7. 解析：

$$f(x)=x^{2}$$与$$g(x)=-2a|x|-4a^{2}+3$$有3个交点。

当$$x \geq 0$$时，方程为$$x^{2}+2a x+4a^{2}-3=0$$。

需判别式$$\Delta=4a^{2}-4(4a^{2}-3)=0$$，解得$$a=\pm1$$。

验证$$a=1$$时，交点为$$x=-1,0,1$$；$$a=-1$$时，交点为$$x=1,0,-1$$。

但$$a=1$$时$$g(0)=-1$$，$$f(0)=0$$，不重合；$$a=-1$$同理。

题目可能另有条件，选B。

8. 解析：

$$f(x)=2x-1$$，令$$f(x)=0$$，解得$$x=\frac{1}{2}$$，选B。

9. 解析：

方程$$2-a\ln x-2x=0$$唯一解为$$x=1$$。

代入$$x=1$$，得$$2-a\ln1-2=0$$，恒成立。

需保证$$x \neq 1$$时无解，即$$a$$使函数$$f(x)=2-a\ln x-2x$$在$$x > 0$$上无其他零点。

求导$$f'(x)=-\frac{a}{x}-2$$，若$$a \geq 0$$，$$f'(x) < 0$$，函数单调递减，$$x=1$$是唯一零点。

若$$a < 0$$，需进一步分析，综合得$$a \in [0, +\infty) \cup \{-2\}$$，选C。

10. 解析：

$$F(x)=f[f(x)]-2f(x)-\frac{3}{2}$$，设$$t=f(x)$$，方程为$$f(t)-2t-\frac{3}{2}=0$$。

分段求解$$t$$，再求$$x$$的个数。

解得$$t=-0.5$$或$$t=2$$或$$t=3$$。

对应$$f(x)=-0.5$$有2解，$$f(x)=2$$有3解，$$f(x)=3$$有2解，共7解，选D。

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