函数的零点与方程的解-4.5 函数的应用（二）知识点教师选题进阶选择题自测题答案-贵州省等高一数学必修,平均正确率40.0%

1、['函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%若函数$$f ( x )=2^{x}-\frac{2} {x}-a$$存在$${{1}}$$个零点位于$$( 1， 2 )$$内，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， 3 )$$

B.$$(-3， 3 )$$

C.$$[-3， 3 ]$$

D.$$(-3， 0 )$$

2、['函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2} x+\frac{\pi} {2} )-\frac{1} {x-1}$$在$$x \in[-3， 5 ]$$上的所有零点之和等于$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{−}{2}}$$

3、['函数的奇偶性'， '函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$y=f ( x )$$的定义域为$$(-\infty，-1 ) \cup(-1，+\infty)$$，且$$f ( x-1 )$$为奇函数，当$${{x}{<}{−}{1}}$$时，$$f ( x )=-2 x^{2}-8 x-7$$，则方程$$f ( x )=-\frac{1} {2}$$的所有根之和等于$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{2}}$$

4、['函数的零点与方程的解']

正确率0.0%设$${{a}{∈}{R}}$$，函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2^{| x-1 |}-1， x \geq0} \\ {-x^{2}+a x， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$y=f ( f ( x ) )$$恰有$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， 2 )$$

B.$$( 0， 1 )$$

C.$$[-1， 0 )$$

D.$$(-2， 0 )$$

5、['导数与极值'， '函数的零点与方程的解']

正确率0.0%已知函数$$f ( x )=x^{3}-3 a x+1$$，$$g ( x )=x^{2}-x-a^{2}-a$$，若关于$${{x}}$$的方程$$g [ f ( x ) ]=0$$恰好有$${{6}}$$个不同实根，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( \frac{1} {4}，+\infty)$$

B.$$( \frac{1} {2}，+\infty)$$

C.$$( \frac{1} {4}， \frac{1} {2} ) \cup( \frac{1} {2}，+\infty)$$

D.$$( 1，+\infty)$$

6、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {\operatorname{l n} (-x )，} & {{} x < 0} \\ {e^{-x}，} & {{} x \geq0} \\ \end{aligned} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$m-f ( x )=0$$有两个不同的实数根，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 0，+\infty)$$

B.$$(-\infty， 0 ] \cup( 1，+\infty)$$

C.$$(-\infty， 0 ]$$

D.$$( 0， 1 ]$$

7、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x^{2}+x-1} {e^{x}}$$，则方程$$f ( f ( x ) )=-1$$的根的个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

8、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {-x^{2}+4 x， x \leqslant4} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} ( x-4 ) |， x > 4} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=t$$有四个实根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，且$$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$$，则$$( \sqrt{3}+x_{1} ) ( \sqrt{3}-x_{2} )+2 x_{3}+\frac1 2 x_{4}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{7} {2}$$

B.$${{8}}$$

C.$$\frac{9} {2}$$

D.$${{1}{6}}$$

9、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x-3， x \leqslant0} \\ {-2+\operatorname{l n} x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$f ( x )=k$$恰有$${{3}}$$个不等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，则$$x_{1}+x_{2}+x_{3}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-2，+\infty)$$

B.$$(-2， e^{2} ]$$

C.$$(-2+\frac{1} {e^{2}}，+\infty)$$

D.$$(-2+\frac{1} {e^{2}}，-2+\frac{1} {e} ]$$

10、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| 4^{-x}-1 |， x \leqslant1} \\ {x^{2}-4 x+\frac{7} {2}， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$，若$$g ( x )=f ( x )+m ( m \neq0 )$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$

B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$

C.$$[-\frac{3} {4}，-\frac{1} {2} ]$$

D.$$(-\frac{3} {4}，-\frac{1} {2} )$$

1. 题目解析：

函数 $$f(x) = 2^x - \frac{2}{x} - a$$ 在区间 $$(1, 2)$$ 内有且仅有一个零点。首先计算 $$f(x)$$ 在区间端点的值：
$$f(1) = 2^1 - \frac{2}{1} - a = 0 - a$$
$$f(2) = 2^2 - \frac{2}{2} - a = 4 - 1 - a = 3 - a$$
根据零点存在定理，$$f(1)$$ 和 $$f(2)$$ 必须异号，即 $$f(1) \cdot f(2) < 0$$，代入得：
$$(-a)(3 - a) < 0 \Rightarrow a(a - 3) < 0 \Rightarrow 0 < a < 3$$
因此，$$a$$ 的取值范围是 $$(0, 3)$$，对应选项 A。

2. 题目解析：

函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{x - 1}$$ 在区间 $$[-3, 5]$$ 上的零点之和。首先分析函数性质：
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$
设零点为 $$x_1, x_2, \dots, x_n$$，则 $$\sum_{i=1}^n x_i$$ 可以通过对称性分析。注意到 $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$ 关于 $$x = 1$$ 对称，而 $$\frac{1}{x - 1}$$ 关于 $$x = 1$$ 对称性不明显，但通过图像分析或数值计算可以得出零点关于 $$x = 1$$ 对称分布，因此零点之和为 $$2 \times 2 = 4$$（具体零点为 $$0, 2, \dots$$）。选项 A 正确。

3. 题目解析：

函数 $$f(x - 1)$$ 为奇函数，说明 $$f(x)$$ 关于点 $$(-1, 0)$$ 对称。当 $$x < -1$$ 时，$$f(x) = -2x^2 - 8x - 7$$。求解方程 $$f(x) = -\frac{1}{2}$$：
对于 $$x < -1$$，解 $$-2x^2 - 8x - 7 = -\frac{1}{2}$$ 得 $$x = -2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$。由于对称性，对于 $$x > -1$$ 的解为 $$x = 0 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$。所有根之和为 $$-4$$，选项 A 正确。

4. 题目解析：

函数 $$f(x) = \begin{cases} 2^{|x - 1|} - 1, & x \geq 0 \\ -x^2 + a x, & x < 0 \end{cases}$$，要求 $$y = f(f(x))$$ 有 3 个零点。分析 $$f(x)$$ 的零点：
1. 对于 $$x \geq 0$$，$$2^{|x - 1|} - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$。
2. 对于 $$x < 0$$，$$-x^2 + a x = 0 \Rightarrow x = 0$$ 或 $$x = a$$（需 $$a < 0$$）。
$$f(f(x))$$ 的零点要求 $$f(x) = 1$$ 或 $$f(x) = 0$$ 或 $$f(x) = a$$。通过图像分析，当 $$a \in (0, 1)$$ 时，$$y = f(f(x))$$ 恰有 3 个零点。选项 B 正确。

5. 题目解析：

函数 $$f(x) = x^3 - 3a x + 1$$，$$g(x) = x^2 - x - a^2 - a$$，方程 $$g(f(x)) = 0$$ 有 6 个不同实根。首先解 $$g(x) = 0$$ 得 $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(a^2 + a)}}{2}$$。要求 $$f(x)$$ 与这两个解的交点总数为 6，需 $$f(x)$$ 在极值点处满足条件。通过求导和图像分析，$$a \in \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$$，选项 C 正确。

6. 题目解析：

函数 $$f(x) = \begin{cases} \ln(-x), & x < 0 \\ e^{-x}, & x \geq 0 \end{cases}$$，方程 $$m - f(x) = 0$$ 有两个不同实数根。分析 $$f(x)$$ 的图像：
1. 对于 $$x < 0$$，$$\ln(-x)$$ 从 $$-\infty$$ 递增到 $$+\infty$$。
2. 对于 $$x \geq 0$$，$$e^{-x}$$ 从 1 递减到 0。
因此，$$m \in (0, 1]$$ 时方程有两个根，选项 D 正确。

7. 题目解析：

函数 $$f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{e^x}$$，求解 $$f(f(x)) = -1$$ 的根的个数。首先解 $$f(x) = c$$，其中 $$c$$ 满足 $$f(c) = -1$$。通过分析 $$f(x)$$ 的极值和图像，$$f(x) = -1$$ 有两个解 $$c_1$$ 和 $$c_2$$。进一步解 $$f(x) = c_1$$ 和 $$f(x) = c_2$$，总共有 4 个根，选项 B 正确。

8. 题目解析：

函数 $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x, & x \leq 4 \\ |\log_2(x - 4)|, & x > 4 \end{cases}$$，方程 $$f(x) = t$$ 有四个实根 $$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$$。通过图像分析，$$t \in (0, 4)$$，且 $$x_1 + x_2 = 4$$，$$x_3 = 4 + 2^{-t}$$，$$x_4 = 4 + 2^t$$。计算表达式 $$(\sqrt{3} + x_1)(\sqrt{3} - x_2) + 2x_3 + \frac{1}{2}x_4$$ 的最小值为 8，选项 B 正确。

9. 题目解析：

函数 $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x \leq 0 \\ -2 + \ln x, & x > 0 \end{cases}$$，方程 $$f(x) = k$$ 有 3 个不等的实数根 $$x_1, x_2, x_3$$。通过分析图像，$$k \in (-3, -2]$$，且 $$x_1 + x_2 = -2$$，$$x_3 = e^{k + 2}$$。因此，$$x_1 + x_2 + x_3 = -2 + e^{k + 2}$$，其取值范围为 $$(-2, e^2]$$，选项 B 正确。

10. 题目解析：

函数 $$f(x) = \begin{cases} |4^{-x} - 1|, & x \leq 1 \\ x^2 - 4x + \frac{7}{2}, & x > 1 \end{cases}$$，$$g(x) = f(x) + m$$ 有 3 个零点。通过分析图像，$$m \in \left(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}\right)$$ 时满足条件，选项 D 正确。

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