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正确率40.0%知函数 $${{f}}$$( $${{x}}$$$$)=\left\{\begin{array} {l} {\left\vert2^{x}-1 \right\vert， x < 2} \\ {\frac{3} {x-1}， x > 2} \\ \end{array} \right.$$若方程 $${{f}}$$( $${{x}}$$$${{)}{−}}$$ $${{a}}$$$${{=}{0}}$$有三个不同的实数根，则实数 $${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$( 0， 1 )$$
B.$$( 1， 3 )$$
C.$$(-1， 1 )$$
D.$$(-1， 3 )$$
2、['余弦（型）函数的零点'， '常见函数的零点']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x+\frac1 2 \operatorname{l o g}_{2} x$$的零点个数为（）
C
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
3、['分段函数与方程、不等式问题'， '正弦（型）函数的零点'， '元素与集合的关系'， '按元素的个数多少分'， '常见函数的零点'， '分段函数求值']正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {x^{2} ( x \leq0 )} \\ {4 \operatorname{s i n} x ( 0 < x \leq\pi)} \\ \end{array} \right.$$，则集合$$\{\boldsymbol{x} | \boldsymbol{f} ( \boldsymbol{f} ( \boldsymbol{x} ) \ ) \ =0 \}$$元素的个数有（）
D
A.$${、{2}}$$个
B.$${{3}}$$个
C.$${{4}}$$个
D.$${{5}}$$个
4、['函数的对称性'， '常见函数的零点'， '函数零点个数的判定']正确率60.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象关于直线$${{x}{=}{2}}$$对称，且$${{x}{⩽}{2}}$$时，$$f \left( x \right)=x^{2}， \， \， \， g ( x )=f ( x )-x$$.则$${{g}{(}{x}{)}}$$的零点个数为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{4}}$$
5、['常见函数的零点'， '函数单调性的判断'， '函数零点存在定理']正确率60.0%设函数$$f \mid\mathrm{\boldmath~ x ~} \rangle\ =x^{3}-\mathrm{\boldmath~ ( ~ \frac{1} {2} ~ \mathrm{\boldmath~ ) ~}}^{x-2}$$的零点为$$a， ~ [ a ]$$表示不超过$${{a}}$$的最大整数，则$$[ a ]=($$）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{0}}$$
6、['指数（型）函数过定点'， '指数（型）函数的单调性'， '函数图象的平移变换'， '常见函数的零点']正确率60.0%若函数$$y=a^{| x |}+m-1 ~ ( 0 < a < 1 )$$的图象和$${{x}}$$轴有交点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$[ 1， ~+\infty)$$
B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
C.$$( \mathrm{~-\infty， \ 1 ~} )$$
D.$$[ 0， \ 1 )$$
7、['函数奇偶性的应用'， '常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率40.0%已知定义域为$${{R}}$$的偶函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足对任意$${{x}{∈}{R}}$$，都有$$f ( x )=-f ( x+1 )$$，当$$x \in[ 2， 3 ]$$时，$$f ( x )=-2 x^{2}+1 2 x-1 8$$，若函数$$y=f ( x )-\operatorname{l o g}_{a} ( x+1 )$$在$$( 0，+\infty)$$上至少有三个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是
B
A.$$( 0， \frac{\sqrt{2}} {2} )$$
B.$$( 0， \frac{\sqrt{3}} {3} )$$
C.$$( \frac{\sqrt{2}} {2}， 1 )$$
D.$$( \frac{\sqrt{3}} {3}， 1 )$$
8、['常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%若函数$$f ( x )=$$
$$a^{x}-x-a$$
A
A.$$( 1，+\infty)$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$( 0，+\infty)$$
D.$${{Φ}}$$
9、['函数的综合问题'， '常见函数的零点']正确率60.0%已知函数$$f \ ( x ) \ =3^{x}+x， \ g \ ( x ) \ =l o g_{3} x+x， \ h \ ( x ) \ =x^{3}+x$$的零点依次为$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}$$，则以下排列正确的是（）
B
A.$$x_{1} < x_{2} < x_{3}$$
B.$$x_{1} < x_{3} < x_{2}$$
C.$$x_{3} < x_{2} < x_{1}$$
D.$$x_{2} < x_{3} < x_{1}$$
10、['常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x^{2}-2 x-2，} & {} & {{} x \in(-\infty，-1 ) \cup( 2，+\infty)} \\ {} & {{} 1-x，} & {} & {{} x \in[-1， 2 ]} \\ \end{aligned} \right.$$，那么函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点的个数为（$${）}$$．
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
首先分析函数的分段情况：
当 $$x < 2$$ 时，$$f(x) = |2^x - 1|$$。方程 $$|2^x - 1| = a$$ 的解需要满足 $$0 \leq a < 1$$，此时有两个解 $$x = \log_2(1 + a)$$ 和 $$x = \log_2(1 - a)$$（注意 $$a < 1$$ 时 $$1 - a > 0$$）。
当 $$x > 2$$ 时，$$f(x) = \frac{3}{x - 1}$$。方程 $$\frac{3}{x - 1} = a$$ 的解为 $$x = 1 + \frac{3}{a}$$，要求 $$a > 0$$ 且 $$x > 2$$，即 $$a < 3$$。
为了使方程 $$f(x) = a$$ 有三个不同的实数根，需要 $$x < 2$$ 时有两个解，$$x > 2$$ 时有一个解。因此 $$a$$ 的范围是 $$(0, 1)$$，此时 $$x < 2$$ 有两个解，$$x > 2$$ 有一个解。
答案：$$(0, 1)$$，选 A。
2. 解析：
函数 $$f(x) = \cos x + \frac{1}{2} \log_2 x$$ 的零点即 $$\cos x = -\frac{1}{2} \log_2 x$$。
分析函数性质：
- 当 $$x \to 0^+$$ 时，$$\log_2 x \to -\infty$$，$$\cos x \to 1$$，$$f(x) \to +\infty$$。
- 当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = \cos 1 + 0 \approx 0.5403 > 0$$。
- 当 $$x = 2$$ 时，$$f(2) = \cos 2 + \frac{1}{2} \approx -0.4161 + 0.5 > 0$$。
- 当 $$x = \pi$$ 时，$$f(\pi) = \cos \pi + \frac{1}{2} \log_2 \pi \approx -1 + 0.7925 < 0$$。
由中间值定理可知，$$f(x)$$ 在 $$(2, \pi)$$ 有一个零点。
再考虑 $$x > \pi$$ 时，$$\cos x$$ 周期性变化，但 $$\log_2 x$$ 单调递增，因此可能有更多零点。进一步分析发现 $$f(4) = \cos 4 + 1 \approx -0.6536 + 1 > 0$$，$$f(8) = \cos 8 + 1.5 \approx -0.1459 + 1.5 > 0$$，但 $$f(16) = \cos 16 + 2$$ 由于 $$\cos 16$$ 的值在 $$[-1, 1]$$ 之间，$$f(16) > 0$$。因此函数在 $$(0, \pi)$$ 有一个零点，而在 $$(\pi, +\infty)$$ 无零点。
综上，$$f(x)$$ 的零点个数为 1 个。
答案：1 个，选 A。
3. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的分段定义：
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = x^2$$。
- 当 $$0 < x \leq \pi$$ 时，$$f(x) = 4 \sin x$$。
要求 $$f(f(x)) = 0$$，即 $$f(x)$$ 的值为 $$f(x) = 0$$ 的解。
对于 $$f(x) = 0$$：
- $$x^2 = 0$$ 的解为 $$x = 0$$。
- $$4 \sin x = 0$$ 的解为 $$x = k\pi$$，$$k \in \mathbb{Z}$$，在 $$(0, \pi]$$ 中只有 $$x = \pi$$。
因此 $$f(x) = 0$$ 的解为 $$x = 0$$ 和 $$x = \pi$$。
接下来解 $$f(x) = 0$$ 和 $$f(x) = \pi$$：
1. $$f(x) = 0$$ 的解为 $$x = 0$$ 和 $$x = \pi$$。
2. $$f(x) = \pi$$：
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$x^2 = \pi$$ 的解为 $$x = -\sqrt{\pi}$$。
- 当 $$0 < x \leq \pi$$ 时，$$4 \sin x = \pi$$ 的解为 $$x = \arcsin(\frac{\pi}{4})$$。
因此 $$f(f(x)) = 0$$ 的解为 $$x = 0$$、$$x = \pi$$、$$x = -\sqrt{\pi}$$ 和 $$x = \arcsin(\frac{\pi}{4})$$，共 4 个。
答案：4 个，选 C。
4. 解析：
函数 $$f(x)$$ 关于 $$x = 2$$ 对称，且 $$x \leq 2$$ 时 $$f(x) = x^2$$，因此 $$x \geq 2$$ 时 $$f(x) = (4 - x)^2$$。
函数 $$g(x) = f(x) - x$$ 的零点即 $$f(x) = x$$。
分情况讨论：
1. 当 $$x \leq 2$$ 时，$$x^2 = x$$ 的解为 $$x = 0$$ 和 $$x = 1$$。
2. 当 $$x \geq 2$$ 时，$$(4 - x)^2 = x$$ 的解为 $$x^2 - 8x + 16 = x$$，即 $$x^2 - 9x + 16 = 0$$，解得 $$x = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$$。其中 $$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \approx 6.56$$ 和 $$x = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \approx 2.44$$，均满足 $$x \geq 2$$。
因此 $$g(x)$$ 的零点共有 4 个：$$x = 0$$、$$x = 1$$、$$x \approx 2.44$$ 和 $$x \approx 6.56$$。
答案：4 个，选 D。
5. 解析：
函数 $$f(x) = x^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2}$$ 的零点即 $$x^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x - 2}$$。
分析函数性质：
- 当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = 1 - 2 = -1 < 0$$。
- 当 $$x = 2$$ 时，$$f(2) = 8 - 1 = 7 > 0$$。
由中间值定理可知，零点 $$a \in (1, 2)$$。
进一步计算：
- 当 $$x = 1.5$$ 时，$$f(1.5) \approx 3.375 - 1.414 \approx 1.961 > 0$$。
- 当 $$x = 1.25$$ 时，$$f(1.25) \approx 1.953 - 1.682 \approx 0.271 > 0$$。
- 当 $$x = 1.125$$ 时，$$f(1.125) \approx 1.424 - 1.915 \approx -0.491 < 0$$。
因此零点 $$a \in (1.125, 1.25)$$，$$[a] = 1$$。
答案：1，选 A。
6. 解析：
函数 $$y = a^{|x|} + m - 1$$ 与 $$x$$ 轴有交点，即方程 $$a^{|x|} + m - 1 = 0$$ 有解。
由于 $$0 < a < 1$$，$$a^{|x|} \in (0, 1]$$，因此 $$m - 1 \in [-1, 0)$$，即 $$m \in [0, 1)$$。
答案：$$[0, 1)$$，选 D。
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 是偶函数，且满足 $$f(x) = -f(x + 1)$$，因此 $$f(x)$$ 是周期为 2 的函数。
在 $$[2, 3]$$ 上，$$f(x) = -2x^2 + 12x - 18$$，可以推导出其他区间的表达式。
函数 $$y = f(x) - \log_a (x + 1)$$ 在 $$(0, +\infty)$$ 上至少有三个零点，即 $$f(x) = \log_a (x + 1)$$ 有三个交点。
分析 $$f(x)$$ 在 $$(0, 1)$$ 上的值为正，且 $$f(0) = 0$$，$$f(1) = 0$$，$$f(2) = -2$$，$$f(3) = 0$$。
为了使 $$\log_a (x + 1)$$ 与 $$f(x)$$ 有三个交点，需要 $$a \in \left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$$。
答案：$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)$$，选 D。
8. 解析：
函数 $$f(x) = a^x - x - a$$ 的图像与 $$x$$ 轴有交点，即方程 $$a^x = x + a$$ 有解。
当 $$a > 1$$ 时，$$a^x$$ 增长快于 $$x + a$$，必有交点。
当 $$0 < a < 1$$ 时，$$a^x$$ 递减，$$x + a$$ 递增，可能在 $$x = 1$$ 处相交，即 $$a = 1 + a$$ 无解，但通过图像分析可知 $$a \in (0, 1)$$ 时也可能有交点。
因此 $$a \in (0, +\infty)$$。
答案：$$(0, +\infty)$$，选 C。
9. 解析：
分析三个函数的零点：
1. $$f(x) = 3^x + x$$：显然 $$x = 0$$ 不是零点，当 $$x \to -\infty$$ 时 $$3^x \to 0$$，$$x \to -\infty$$，$$f(x) \to -\infty$$；当 $$x = -1$$ 时 $$f(-1) = \frac{1}{3} - 1 < 0$$，$$x = 0$$ 时 $$f(0) = 1 > 0$$，因此零点 $$x_1 \in (-1, 0)$$。
2. $$g(x) = \log_3 x + x$$：当 $$x \to 0^+$$ 时 $$\log_3 x \to -\infty$$，$$x \to 0$$，$$g(x) \to -\infty$$；当 $$x = 1$$ 时 $$g(1) = 0 + 1 > 0$$，因此零点 $$x_2 \in (0, 1)$$。
3. $$h(x) = x^3 + x$$：唯一零点为 $$x = 0$$，即 $$x_3 = 0$$。
因此 $$x_1 < x_3 < x_2$$。
答案：$$x_1 < x_3 < x_2$$，选 B。
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的分段定义：
- 当 $$x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$$ 时，$$f(x) = x^2 - 2x - 2$$。
- 当 $$x \in [-1, 2]$$ 时，$$f(x) = 1 - x$$。
求零点：
1. 在 $$x \in (-\infty, -1)$$ 时，$$x^2 - 2x - 2 = 0$$ 的解为 $$x = 1 \pm \sqrt{3}$$，其中 $$x = 1 - \sqrt{3} \approx -0.732$$ 不满足 $$x < -1$$，$$x = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$$ 不在此区间。因此无解。
2. 在 $$x \in (2, +\infty)$$ 时，$$x^2 - 2x - 2 = 0$$ 的解为 $$x = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$$，满足 $$x > 2$$。
3. 在 $$x \in [-1, 2]$$ 时，$$1 - x = 0$$ 的解为 $$x = 1$$。
因此 $$f(x)$$ 的零点为 $$x = 1$$ 和 $$x \approx 2.732$$，共 2 个。
答案：2 个，选 C。