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正确率80.0%
已知函数$$f ( x )=a^{x}+b ( a > 0， a \neq1， b \in R )$$的图象如图所示，则函数$$g ( x )=\operatorname{l n} x-b x+a$$的零点所在区间为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{1} {e^{2}} )$$
B.$$( \frac{1} {e^{2}}， \frac{1} {2} )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$$( 1， 2 )$$
2、['函数的新定义问题'， '函数零点存在定理']正确率60.0%对于函数$${{f}{(}{x}{)}}$$和$${{g}{(}{x}{)}}$$，设$$\alpha\in\{x \in R | f ( x )=0 \}， \， \， \， \beta\in\{x \in R | g ( x )=0 \}，$$若存在$${{α}{，}{β}}$$使得$$| \alpha-\beta| \leqslant1$$，则称$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$互为$${{“}}$$友谊函数$${{”}}$$。若函数$$f ( x )=e^{x-1}+x-2$$与$$g ( x )=x^{2}-a x-a+3$$互为友谊函数，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
C
A.$$[ 2， \frac{7} {2} \ ]$$
B.$$[ \frac{7} {3}， 3 ]$$
C.$$[ 2， 3 ]$$
D.$$[ 2， 4 ]$$
3、['函数零点存在定理']正确率60.0%设$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=e^{x}-x-2$$，则函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的零点所在区间是（）
C
A.$$( \ -1， \ 0 )$$
B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
C.$$( 1， \ 2 )$$
D.$$( 2， \ 3 )$$
4、['利用诱导公式求值'， '函数零点存在定理']正确率40.0%如图，正五边形$$A B C D E$$的边长为$${{2}}$$，甲同学在$${{△}{A}{B}{C}}$$中用余弦定理解得$$A C=\sqrt{8-8 \operatorname{c o s} 1 0 8^{\circ}}$$，乙同学在$$\mathtt{R t} \triangle A C H$$中解得$$A C=\frac{1} {\operatorname{c o s} 7 2^{\circ}}$$，据此可得$${{c}{o}{s}{{7}{2}^{∘}}}$$的值所在区间为（）
C
A.$$( 0. 1， 0. 2 )$$
B.$$( 0. 2， 0. 3 )$$
C.$$( 0. 3， 0. 4 )$$
D.$$( 0. 4， 0. 5 )$$
5、['一元二次不等式的解法'， '函数零点存在定理']正确率60.0%若函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=3 a x+1-2 a$$在区间$$( \ -1， \ 1 )$$内存在一个零点，则$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$(-\infty， ~-1 ) \cup( \frac{1} {5}， ~+\infty)$$
B.$$(-1， ~ \frac{1} {5} )$$
C.$$(-\infty， ~-\frac{1} {5} ) \cup( 1， ~+\infty)$$
D.$$(-\frac{1} {5}， ~ 1 )$$
6、['函数的综合问题'， '分段函数与方程、不等式问题'， '导数的四则运算法则'， '导数的几何意义'， '利用导数求解方程解的个数'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理'， '分段函数的图象']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{aligned} {} & {{} \left( \frac{1} {2} \right)^{x}， x \leqslant1} \\ {} & {{}-x^{2}+4 x-\frac{5} {2}， x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$，若函数$$g \left( x \right)=f \left( x \right)-m x-m$$的图象与$${{x}}$$轴的交点个数不少于$${{2}}$$个，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
A
A.$$(-\infty，-2 e \mathrm{l n} 2 ] \cup[ \frac{1} {4}， 6-\sqrt{3 0} ]$$
B.$$\left[ \frac{1} {4}， 6-\sqrt{3 0} \right]$$
C.$$(-\infty，-2 \mathrm{l n} 2 ] \cup[ \frac{1} {4}， 6-\sqrt{3 0} ]$$
D.$$\left[ \frac{1} {4}， 6+\sqrt{3 0} \right]$$
7、['根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的图象'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知定义在$$\left[ \frac{1} {\pi}， \pi\right]$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$，满足$$f \left( x \right)=f \left( \frac{1} {x} \right)$$，且当$$x \in[ 1， \pi]$$时$$f \left( x \right)=\operatorname{l n} \! x$$，若函数$$g \left( x \right)=f \left( x \right)-a x$$在$$\left[ \frac{1} {\pi}， \pi\right]$$上有唯一的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
D
A.$$\left( {\frac{1} {e}}， \pi\mathrm{l n} \pi\right]$$
B.$$\left( \frac{\operatorname{l n} \pi} {\pi}， \pi\mathrm{l n} \pi\right] \cup\{0 \}$$
C.$$[ 0， \pi\mathrm{l n} \pi]$$
D.$$\left( \frac{1} {e}， \pi\mathrm{l n} \pi\right] \cup\{0 \}$$
8、['函数奇偶性的应用'， '函数的新定义问题'， '函数零点存在定理']正确率19.999999999999996%设定义在区间$$[-k， k ]$$上的函数$$f ( x )=1 g \frac{1-m x} {1+x}$$是奇函数，且$$f (-\frac{1} {2} ) \neq f ( \frac{1} {2} )$$.若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，$${{x}_{0}}$$是函数$$g ( x )=l n x+2 x+k-6$$的零点，则$${{[}{{x}_{0}}{]}{=}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{1}}$$或$${{2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
9、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '导数的几何意义'， '函数的单调区间'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=4 x^{2}$$的图象在点$$( x_{0}， 4 x_{0}^{2} )$$处的切线为$${{l}}$$，若$${{l}}$$也与函数$$g ( x )=l n x ( 0 < x < 1 )$$的图象相切，则$${{x}_{0}}$$必满足
C
A.$$\frac1 2 < x_{0} < \frac{\sqrt2} 2$$
B.$$0 < x_{0} < \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} 2 < x_{0} < 1$$
D.$$1 < x_{0} < \sqrt2$$
10、['函数零点所在区间的判定'， '函数零点存在定理']正确率60.0%函数$$f ( x )=2^{x}-\frac{3} {x}-1$$的零点所在的区间为（）
A
A.$$( 1， \ 2 )$$
B.$$( 2， \ 3 )$$
C.$$( 3， \ 4 )$$
D.$$( 4， \hspace{0. 5 c m} 5 )$$
1. 解析：
根据函数 $$f(x) = a^x + b$$ 的图像，可以确定 $$a$$ 和 $$b$$ 的值。假设图像经过点 $$(0, 2)$$ 和 $$(1, 3)$$，则：
$$f(0) = a^0 + b = 1 + b = 2 \Rightarrow b = 1$$
$$f(1) = a^1 + b = a + 1 = 3 \Rightarrow a = 2$$
因此，$$g(x) = \ln x - x + 2$$。求零点区间：
$$g(1) = \ln 1 - 1 + 2 = 1 > 0$$
$$g\left(\frac{1}{2}\right) = \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 \approx -0.693 - 0.5 + 2 = 0.807 > 0$$
$$g\left(\frac{1}{e^2}\right) = \ln \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2} + 2 = -2 - 0.135 + 2 = -0.135 < 0$$
零点在 $$\left(\frac{1}{e^2}, \frac{1}{2}\right)$$，故选 B。
2. 解析：
首先求 $$f(x) = e^{x-1} + x - 2$$ 的零点：
$$f(1) = e^0 + 1 - 2 = 0$$，故 $$\alpha = 1$$。
要求 $$g(x) = x^2 - a x - a + 3$$ 的零点 $$\beta$$ 满足 $$|\alpha - \beta| \leq 1$$，即 $$\beta \in [0, 2]$$。
因此，$$g(0) \cdot g(2) \leq 0$$ 或判别式 $$\Delta \geq 0$$ 且 $$\beta$$ 在 $$[0, 2]$$ 内。
计算 $$g(0) = -a + 3 \geq 0$$ 且 $$g(2) = 4 - 2a - a + 3 = 7 - 3a \geq 0$$，解得 $$a \in \left[\frac{7}{3}, 3\right]$$，故选 B。
3. 解析：
计算 $$f(x) = e^x - x - 2$$ 在各区间的值：
$$f(0) = 1 - 0 - 2 = -1 < 0$$
$$f(1) = e - 1 - 2 \approx 2.718 - 3 = -0.282 < 0$$
$$f(2) = e^2 - 2 - 2 \approx 7.389 - 4 = 3.389 > 0$$
零点在 $$(1, 2)$$，故选 C。
4. 解析：
正五边形内角为 $$108^\circ$$，甲同学的 $$AC = \sqrt{8 - 8 \cos 108^\circ}$$，乙同学的 $$AC = \frac{1}{\cos 72^\circ}$$。
联立得 $$\sqrt{8 - 8 \cos 108^\circ} = \frac{1}{\cos 72^\circ}$$，平方后化简：
$$8(1 - \cos 108^\circ) = \frac{1}{\cos^2 72^\circ}$$
利用 $$\cos 108^\circ = -\cos 72^\circ$$，得 $$8(1 + \cos 72^\circ) = \frac{1}{\cos^2 72^\circ}$$。
设 $$x = \cos 72^\circ$$，则 $$8(1 + x) = \frac{1}{x^2}$$，解得 $$x \approx 0.309$$，在 $$(0.3, 0.4)$$，故选 C。
5. 解析：
函数 $$f(x) = 3a x + 1 - 2a$$ 在 $$(-1, 1)$$ 内有零点，需满足 $$f(-1) \cdot f(1) < 0$$：
$$f(-1) = -3a + 1 - 2a = 1 - 5a$$
$$f(1) = 3a + 1 - 2a = 1 + a$$
$$(1 - 5a)(1 + a) < 0 \Rightarrow a \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{1}{5}, +\infty\right)$$，故选 A。
6. 解析：
函数 $$g(x) = f(x) - m x - m$$ 需与 $$x$$ 轴有至少两个交点。
分段讨论：
1. 当 $$x \leq 1$$，$$g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - m x - m$$，设 $$x = 0$$ 时 $$g(0) = 1 - m \geq 0 \Rightarrow m \leq 1$$。
2. 当 $$x > 1$$，$$g(x) = -x^2 + 4x - \frac{5}{2} - m x - m$$，判别式 $$\Delta \geq 0$$ 且顶点在 $$x > 1$$。
综合解得 $$m \in (-\infty, -2 \ln 2] \cup \left[\frac{1}{4}, 6 - \sqrt{30}\right]$$，故选 C。
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 在 $$\left[\frac{1}{\pi}, \pi\right]$$ 上对称，且 $$f(x) = \ln x$$ 当 $$x \in [1, \pi]$$。
$$g(x) = f(x) - a x$$ 有唯一零点，需 $$a = 0$$ 或 $$a$$ 使 $$g(x)$$ 与 $$x$$ 轴相切。
计算得 $$a \in \left(\frac{\ln \pi}{\pi}, \pi \ln \pi\right] \cup \{0\}$$，故选 B。
8. 解析：
奇函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(-x) = -f(x)$$，解得 $$m = -1$$。
函数 $$g(x) = \ln x + 2x + k - 6$$ 的零点 $$x_0$$ 满足 $$\ln x_0 + 2x_0 + k - 6 = 0$$。
由 $$f\left(-\frac{1}{2}\right) \neq f\left(\frac{1}{2}\right)$$，确定 $$k$$ 的范围，解得 $$[x_0] = 2$$，故选 C。
9. 解析：
切线 $$l$$ 为 $$y = 8x_0 x - 4x_0^2$$，与 $$g(x) = \ln x$$ 相切，需满足导数相等：
$$8x_0 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{8x_0}$$
代入得 $$\ln \left(\frac{1}{8x_0}\right) = 8x_0 \cdot \frac{1}{8x_0} - 4x_0^2 \Rightarrow -\ln(8x_0) = 1 - 4x_0^2$$。
解得 $$x_0 \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$$，故选 C。
10. 解析：
计算 $$f(x) = 2^x - \frac{3}{x} - 1$$ 在各区间的值：
$$f(1) = 2 - 3 - 1 = -2 < 0$$
$$f(2) = 4 - 1.5 - 1 = 1.5 > 0$$
零点在 $$(1, 2)$$，故选 A。