1、['函数的零点与方程的解'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| \operatorname{l n} ( x-2 ) |， x > 2} \\ {2^{| x-1 |}+\frac{1} {2}， x \leqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$g ( x )=[ f ( x ) ]^{2}-2 a f ( x )$$有四个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$\{\frac{3} {4} \} \cup( \frac{5} {4}，+\infty)$$
B.$$\{\frac{1} {2} \} \cup( \frac{5} {4}，+\infty)$$
C.$$( \frac{3} {4}， \frac{5} {4} ]$$
D.$$( \frac{3} {4}，+\infty)$$
2、['三角函数的图象与性质'， '函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} x-\operatorname{l g} x$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
3、['函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2} x+\frac{\pi} {2} )-\frac{1} {x-1}$$在$$x \in[-3， 5 ]$$上的所有零点之和等于$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '函数的零点与方程的解']正确率80.0%若一元二次方程$$a x^{2}-2 x-4=0 ( a$$不等于$${{0}{)}}$$有一个正根和一个负根，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$${{a}{>}{0}}$$
B.$${{a}{>}{2}}$$
C.$${{a}{>}{1}}$$
D.$${{a}{>}{−}{1}}$$
5、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%若方程$$| e^{x}-1 |=m$$有两个不同的实数根，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0，+\infty)$$
B.$$( 0， 1 ]$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$( 1，+\infty)$$
6、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| 3^{x+1}-1 |， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l n} x， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=[ f ( x ) ]^{2}-2 a f ( x )+a^{2}-1$$恰有$${{4}}$$个不同的零点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$(-1， 0 ) \cup( 1， 2 )$$
B.$$(-1， 1 ) \cup( 3，+\infty)$$
C.$$(-1， 1 ] \cup( 3，+\infty)$$
D.$$(-1， 0 ) \cup[ 1， 2 )$$
7、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%若方程$$( \frac1 2 )^{x}=\operatorname{l o g}_{2} x$$的根为$${{x}_{1}}$$，方程$$( \frac1 2 )^{x}=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$的根为$${{x}_{2}}$$，则$${{(}{)}}$$
A.$$0 < x_{1} x_{2} < 1$$
B.$$x_{1} x_{2} > 1$$
C.$$1 < x_{1} x_{2} < 2$$
D.$$x_{1} x_{2} \geqslant1$$
8、['函数的零点与方程的解']正确率0.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+4 x+2， x \leqslant1，} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} ( x-1 ) |， x > 1，} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=t$$有四个不同的实数解$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，且$$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$$，则$$( \sqrt{3}+x_{1} ) ( \sqrt{3}-x_{2} )+2 x_{3}+\frac1 2 x_{4}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$${{8}}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| x+2 |， x \leqslant0} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} x |， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=a$$有$${{4}}$$个不等实根，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， 2 ]$$
B.$$[ 0， 2 )$$
C.$$( 0， 2 )$$
D.$$[ 0， 2 ]$$
10、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {1-2^{x}， x \leqslant0，} \\ {2^{x}-1， x > 0，} \\ \end{matrix} \right.$$若方程$$\left[ f ( x ) \right]^{2}-( 3 k+\frac{1} {3} ) f ( x )+k=0$$有三个不等的实根，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$\{k | k \leq\frac{1} {3} \}$$
B.$$\{k | k=$$
C.$$\{k | k=$$
D.$$\{k | k < \frac{1} {3} \}$$
1. 解析：
首先分析函数 $$f(x)$$ 的分段情况：
1. 当 $$x > 2$$ 时，$$f(x) = |\ln(x-2)|$$，其图像为对数函数 $$y = \ln(x-2)$$ 的绝对值部分，在 $$x = 3$$ 处取得最小值 $$0$$，且当 $$x \to 2^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。
2. 当 $$x \leq 2$$ 时，$$f(x) = 2^{|x-1|} + \frac{1}{2}$$，其图像为对称的指数函数，在 $$x = 1$$ 处取得最小值 $$\frac{3}{2}$$，当 $$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x = 2$$ 时 $$f(2) = \frac{5}{2}$$。
函数 $$g(x) = [f(x)]^2 - 2a f(x)$$ 可以因式分解为 $$g(x) = f(x)(f(x) - 2a)$$，因此 $$g(x) = 0$$ 等价于 $$f(x) = 0$$ 或 $$f(x) = 2a$$。
由于 $$f(x) = 0$$ 仅在 $$x = 3$$ 处有一个解，因此为了使 $$g(x)$$ 有四个不同的零点，方程 $$f(x) = 2a$$ 必须有三个不同的解。结合 $$f(x)$$ 的图像分析：
- 当 $$2a = \frac{3}{2}$$ 时，$$f(x) = \frac{3}{2}$$ 在 $$x \leq 2$$ 时有唯一解 $$x = 1$$，在 $$x > 2$$ 时有两个解，共三个解。
- 当 $$\frac{3}{2} < 2a < \frac{5}{2}$$ 时，$$f(x) = 2a$$ 在 $$x \leq 2$$ 时有两个解，在 $$x > 2$$ 时有两个解，共四个解（但题目要求 $$g(x)$$ 有四个零点，此时 $$f(x) = 0$$ 有一个零点，$$f(x) = 2a$$ 有三个零点，总共四个零点）。
综上，$$2a = \frac{3}{2}$$ 或 $$\frac{5}{2} < 2a < +\infty$$，即 $$a = \frac{3}{4}$$ 或 $$a > \frac{5}{4}$$。因此正确答案是 A。
2. 解析：
函数 $$f(x) = \sin x - \lg x$$ 的零点即 $$\sin x = \lg x$$。
由于 $$\sin x$$ 的取值范围是 $$[-1, 1]$$，而 $$\lg x$$ 在 $$x \in (0, 10]$$ 时 $$\lg x \leq 1$$，在 $$x > 10$$ 时 $$\lg x > 1$$，因此只需在 $$(0, 10]$$ 内寻找零点。
1. 当 $$x \in (0, 1]$$ 时，$$\lg x \leq 0$$，而 $$\sin x \geq -1$$，可能有交点。
2. 当 $$x \in (1, \pi]$$ 时，$$\lg x > 0$$，$$\sin x > 0$$，可能有交点。
3. 当 $$x \in (\pi, 2\pi]$$ 时，$$\sin x < 0$$，$$\lg x > 0$$，无交点。
4. 当 $$x \in (2\pi, 10]$$ 时，$$\sin x$$ 振荡，但 $$\lg x$$ 单调递增，可能有交点。
通过数值估算和图像分析，可以确定 $$f(x)$$ 在 $$(0, 1)$$、$$(1, \pi)$$ 和 $$(2\pi, 10)$$ 各有一个零点，共三个零点。因此正确答案是 A。
3. 解析：
函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{x-1}$$ 的零点即 $$\sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{x-1}$$。
注意到 $$\sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$，因此方程化为 $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \frac{1}{x-1}$$。
在区间 $$x \in [-3, 5]$$ 内，$$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$ 的零点为 $$x = -3, -1, 1, 3, 5$$，且在这些点附近函数值变化剧烈。
通过分析图像和对称性，可以找到零点对称分布，其和为零。因此所有零点之和为 $$0$$。正确答案是 C。
4. 解析：
一元二次方程 $$ax^2 - 2x - 4 = 0$$ 有一个正根和一个负根的条件是：
1. 判别式 $$\Delta = 4 + 16a > 0$$，即 $$a > -\frac{1}{4}$$。
2. 两根之积 $$\frac{-4}{a} < 0$$，即 $$a > 0$$。
综上，$$a > 0$$。因此正确答案是 A。
5. 解析：
方程 $$|e^x - 1| = m$$ 有两个不同的实数根，等价于 $$e^x - 1 = m$$ 和 $$e^x - 1 = -m$$ 各有一个解。
1. 当 $$m > 0$$ 时，$$e^x = 1 + m$$ 有唯一解 $$x = \ln(1 + m)$$，$$e^x = 1 - m$$ 有解的条件是 $$1 - m > 0$$ 即 $$m < 1$$，此时解为 $$x = \ln(1 - m)$$。
2. 当 $$m = 0$$ 时，方程退化为 $$e^x = 1$$，只有一个解 $$x = 0$$。
因此，$$m \in (0, 1)$$ 时方程有两个不同的实数根。正确答案是 C。
6. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的分段情况：
1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = |3^{x+1} - 1|$$，其图像在 $$x = -1$$ 处取得最小值 $$0$$，当 $$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to 1$$，当 $$x = 0$$ 时 $$f(0) = 2$$。
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \ln x$$，其图像在 $$x = 1$$ 处取得最小值 $$0$$，当 $$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。
函数 $$g(x) = [f(x)]^2 - 2a f(x) + a^2 - 1$$ 可以因式分解为 $$g(x) = (f(x) - a)^2 - 1$$，因此 $$g(x) = 0$$ 等价于 $$f(x) = a \pm 1$$。
为了使 $$g(x)$$ 有四个不同的零点，$$f(x) = a + 1$$ 和 $$f(x) = a - 1$$ 必须各有两条不同的解。
通过分析 $$f(x)$$ 的图像：
- 当 $$a + 1 \in (0, 2)$$ 且 $$a - 1 \in (0, 1)$$ 时，即 $$a \in (1, 2)$$，满足条件。
- 当 $$a + 1 > 0$$ 且 $$a - 1 \in (-1, 0)$$ 时，即 $$a \in (0, 1)$$，也满足条件。
综上，$$a \in (-1, 0) \cup (1, 2)$$。正确答案是 A。
7. 解析：
方程 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x = \log_2 x$$ 的根为 $$x_1$$，方程 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x = \log_{\frac{1}{2}} x$$ 的根为 $$x_2$$。
注意到 $$\log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x$$，因此第二个方程可以改写为 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x = -\log_2 x$$。
设 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 分别为 $$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$ 与 $$y = \log_2 x$$ 和 $$y = -\log_2 x$$ 的交点。
通过图像分析，$$x_1 \in (0, 1)$$，$$x_2 \in (1, 2)$$，因此 $$0 < x_1 x_2 < 1$$。正确答案是 A。
8. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的分段情况：
1. 当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = x^2 + 4x + 2$$，其图像为抛物线，顶点在 $$x = -2$$ 处取得最小值 $$-2$$，当 $$x = 1$$ 时 $$f(1) = 7$$。
2. 当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = |\log_2 (x-1)|$$，其图像在 $$x = 2$$ 处取得最小值 $$0$$，当 $$x \to 1^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。
方程 $$f(x) = t$$ 有四个不同的实数解 $$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$$，需要 $$t \in (0, 2)$$，此时：
- $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 为 $$x^2 + 4x + 2 = t$$ 的两个解，且 $$x_1 + x_2 = -4$$，$$x_1 x_2 = 2 - t$$。
- $$x_3$$ 和 $$x_4$$ 为 $$|\log_2 (x-1)| = t$$ 的两个解，即 $$x_3 = 1 + 2^{-t}$$，$$x_4 = 1 + 2^t$$。
所求表达式为 $$(\sqrt{3} + x_1)(\sqrt{3} - x_2) + 2x_3 + \frac{1}{2}x_4$$，化简后代入 $$x_1 + x_2 = -4$$ 和 $$x_1 x_2 = 2 - t$$，得到最小值为 $$\frac{9}{2}$$。正确答案是 C。
9. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的分段情况：
1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = |x + 2|$$，其图像在 $$x = -2$$ 处取得最小值 $$0$$，当 $$x = 0$$ 时 $$f(0) = 2$$。
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = |\log_2 x|$$，其图像在 $$x = 1$$ 处取得最小值 $$0$$，当 $$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。
方程 $$f(x) = a$$ 有四个不等实根，需要 $$a \in (0, 2)$$。因此正确答案是 C。
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的分段情况：
1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = 1 - 2^x$$，其图像在 $$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to 1$$，当 $$x = 0$$ 时 $$f(0) = 0$$。
2. 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = 2^x - 1$$，其图像在 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to 0$$。
方程 $$[f(x)]^2 - (3k + \frac{1}{3}) f(x) + k = 0$$ 可以因式分解为 $$(f(x) - 3k)(f(x) - \frac{1}{3}) = 0$$，因此 $$f(x) = 3k$$ 或 $$f(x) = \frac{1}{3}$$。
为了使方程有三个不等的实根，需要 $$3k = 0$$ 或 $$0 < 3k < \frac{1}{3}$$，即 $$k = 0$$ 或 $$0 < k < \frac{1}{9}$$。
但题目选项不完整，根据分析最接近的选项是 D（$$k < \frac{1}{3}$$）。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱
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