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正确率40.0%“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步.假设我们每天进步$${{1}{%}{，}}$$则一年后的水平是原来的$$1. 0 1^{3 6 5} \approx3 7. 8$$(倍)，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步率”从目前的 $${{1}{0}}$$ %提高到 $${{2}{0}{%}}$$ ，那么要使我们的水平是原来水平的$${{1}{5}{0}{0}}$$倍，大约需要经过的天数为（）(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1， ~ \mathrm{l g} 3 \approx0. 4 7 7， ~ \mathrm{l g} 1 1 \approx1. 0 4 1 )$$
B
A.$${{8}{2}}$$
B.$${{8}{4}}$$
C.$${{8}{6}}$$
D.$${{8}{8}}$$
2、['变化率'， '利用导数解决实际应用问题'， '指数型函数模型的应用']正确率60.0%原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出$$\alpha， ~ \beta， ~ \gamma$$等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”，这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍$${{2}{3}{4}}$$的衰变过程中，其含量$${{N}}$$(单位：贝克)与时间$${{t}}$$(单位：天)满足函数关系$$N ( t )=N_{0} 2^{-\frac{t} {2 4}} \，，$$其中$${{N}_{0}}$$为$${{t}{=}{0}}$$时钍$${{2}{3}{4}}$$的含量.已知当$${{t}{=}{{2}{4}}}$$时，钍$${{2}{3}{4}}$$含量的瞬时变化率为$$- 8 \operatorname{l n} 2，$$则$$N ( 1 2 0 )=$$（）
A
A.$${{1}{2}}$$
B.$$1 2 \mathrm{l n} \; 2$$
C.$${{6}}$$
D.$${{6}{l}{n}{2}}$$
3、['建立函数模型解决实际问题'， '指数型函数模型的应用']正确率40.0%$${{“}}$$一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来$${{”}}$$描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利$${{.}}$$如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合$${{.}}$$已知某类果蔬的保鲜时间$${{y}}$$（单位$${{:}}$$小时$${{)}}$$与储藏温度$${{x}}$$（单位$${{:}^{∘}{C}{)}}$$满足函数关系$$y=\mathrm{e}^{a x+b}$$$${{(}{a}}$$，$${{b}}$$为常数$${{)}}$$，若该果蔬在$${{6}^{∘}{C}}$$的保鲜时间为$${{2}{1}{6}}$$小时，在$${{2}{4}^{∘}{C}}$$的保鲜时间为$${{8}}$$小时，且该果蔬所需物流时间为$${{3}}$$天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温$${{)}}$$最高不能超过（）
B
A.$${{9}^{∘}{C}}$$
B.$${{1}{2}^{∘}{C}}$$
C.$${{1}{8}^{∘}{C}}$$
D.$${{2}{0}^{∘}{C}}$$
4、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度$$\leqslant0. 1 \mathrm{~ m g / m}^{3}$$为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工$${{1}}$$周后室内甲醛浓度为$$6. 2 5 ~ \mathrm{m g} / \mathrm{m}^{3} \，， \， \， 3$$周后室内甲醛浓度为$$1 ~ \mathrm{m g} / \mathrm{m}^{3}，$$且室内甲醛浓度$${{ρ}{(}{t}{)}}$$(单位：$$\mathrm{m g / m^{3} )}$$与竣工后保持良好通风的时间$$t ( t \in{\bf N}^{*} )$$(单位：周)近似满足函数关系式$$\rho( t )=\mathrm{e}^{a t+b}，$$则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（）
B
A.$${{5}}$$周
B.$${{6}}$$周
C.$${{7}}$$周
D.$${{8}}$$周
5、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，若物体的初始温度为$$\theta_{1}^{\circ} \， \mathrm{C}，$$空气温度为$$\theta_{0}^{\circ} \mathrm{C}，$$则$${{t}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度$${{θ}}$$(单位：$${^{∘}{C}{)}}$$满足：$$\theta=\theta_{0}+( \theta_{1}-\theta_{0} ) \mathrm{e}^{-k t}$$(其中$${{k}}$$为常数$$\mathrm{e}=2. 7 1 8 2 8 \ldots)$$.现有某物体放在$${{2}{0}^{∘}{C}}$$的空气中冷却$${，{2}{{m}{i}{n}}}$$后测得物体的温度为$$5 2^{\circ} \， \mathrm{C}，$$再经过$${{6}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度冷却到$$2 4^{\circ} \， \mathrm{C}，$$则该物体初始温度是（）
C
A.$${{8}{0}^{∘}{C}}$$
B.$${{8}{2}^{∘}{C}}$$
C.$${{8}{4}^{∘}{C}}$$
D.$${{8}{6}^{∘}{C}}$$
6、['指数型函数模型的应用']正确率40.0%某人$${{2}{0}{1}{3}}$$年$${{7}}$$月$${{1}}$$日到银行存入$${{a}}$$元，若按年利率$${{x}}$$复利计算，则到$${{2}{0}{1}{6}}$$年$${{7}}$$月$${{1}}$$日可取款（）
D
A.$$\textbf{a} ( \textbf{1}+\textbf{x} )^{\textbf{2}}$$
B.$$\textbf{a} ( 1+x )^{\textit{4}}$$
C.$$\boldsymbol{a}+\left( \textbf{1}+\boldsymbol{x} \right) \sp{\textbf{3}}$$
D.$$\textbf{a} ( 1+x )^{\textbf{3}}$$
7、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%某种细菌在培养过程中，每$$1 5 \， m i n$$分裂一次(由$${{1}}$$个分裂成$${{2}}$$个$${{)}}$$，这种细菌由$${{1}}$$个分裂成$${{4}{{0}{9}{6}}}$$个需经过
C
A.$${{1}{2}}$$小时
B.$${{2}}$$小时
C.$${{3}}$$小时
D.$${{4}}$$小时
8、['指数型函数模型的应用'， '对数的换底公式及其推论']正确率40.0%$${{2}{0}{1}{8}}$$年$${{5}}$$月至$${{2}{0}{1}{9}}$$年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈指数增长，引发了蝗灾，到$${{2}{0}{2}{0}}$$年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为$${{5}{%}}$$，最初有$${{N}_{0}}$$只，则经过（）天能达到最初的$${{1}{6}{{0}{0}{0}}}$$倍．$${{(}}$$参考数据：
$$\operatorname{l n} 1 \; 6 0 0 \approx7. 3 7 7 \; 8， \; \; \operatorname{l n} 1 6 \; 0 0 0 \approx9. 6 8 0 \; 3 )$$
D
A.$${{1}{5}{2}}$$
B.$${{1}{5}{0}}$$
C.$${{1}{9}{7}}$$
D.$${{1}{9}{9}}$$
9、['指数型函数模型的应用']正确率40.0%某食品的保鲜时间$${{y}}$$(单位：小时)与储藏温度$${{x}}$$(单位：$${^{∘}{C}{)}}$$满足函数关系$$y=\mathrm{e}^{k x+b} ( \mathrm{e}$$为自然对数的底数，$${{k}{，}{b}}$$为常数).若该食品在$${{0}^{∘}{C}}$$的保鲜时间是$${{1}{9}{2}}$$小时，在$${{2}{2}^{∘}{C}}$$的保鲜时间是$${{4}{8}}$$小时，则该食品在$${{3}{3}^{∘}{C}}$$的保鲜时间是（）
C
A.$${{2}{0}}$$小时
B.$${{2}{2}}$$小时
C.$${{2}{4}}$$小时
D.$${{2}{6}}$$小时
10、['有理数指数幂的运算性质'， '指数型函数模型的应用']正确率40.0%衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进衣柜的新丸的体积为$${{a}}$$，经过$${{t}}$$天后体积$${{V}}$$与天数$${{t}}$$的关系式为$$V=a \cdot\mathrm{e}^{-k t} ( a$$为非零常数，$${{k}}$$为常数).已知新丸经过$${{5}{0}}$$天后，体积变为$$\frac{4} {9} a$$，则一个新丸的体积变为$${\frac{8} {2 7}} a$$，需经过的天数为（）
C
A.$${{1}{2}{5}}$$
B.$${{1}{0}{0}}$$
C.$${{7}{5}}$$
D.$${{5}{0}}$$
第一题解析：
设需要经过的天数为$$t$$，根据题意有：$$(1 + 20\%)^t = 1500$$，即$$1.2^t = 1500$$。
两边取对数得：$$t \lg 1.2 = \lg 1500$$。
计算$$\lg 1.2 = \lg \frac{12}{10} = \lg 12 - \lg 10 = \lg (3 \times 4) - 1 = \lg 3 + 2\lg 2 - 1 \approx 0.477 + 2 \times 0.301 - 1 = 0.079$$。
计算$$\lg 1500 = \lg (15 \times 100) = \lg 15 + 2 = \lg (3 \times 5) + 2 \approx 0.477 + 0.699 + 2 = 3.176$$。
因此，$$t = \frac{3.176}{0.079} \approx 40.2$$，但选项中没有此答案，可能是题目描述有误或数据不同。
重新审题发现题目描述为“从目前的$$10\%$$提高到$$20\%$$”，即$$(1 + 10\%)^t = 1500$$，则$$1.1^t = 1500$$。
取对数得：$$t \lg 1.1 = \lg 1500$$。
已知$$\lg 1.1 \approx 0.041$$，所以$$t = \frac{3.176}{0.041} \approx 77.46$$，仍不符选项。
可能题目应为“从$$1\%$$提高到$$2\%$$”，即$$(1 + 1\%)^t = 1500$$，则$$1.01^t = 1500$$。
取对数得：$$t \lg 1.01 \approx \lg 1500$$。
$$\lg 1.01 \approx 0.0043$$，所以$$t \approx \frac{3.176}{0.0043} \approx 738$$，依然不符。
综上，题目可能存在描述不清或数据错误，建议重新核对。
第二题解析：
已知钍$$234$$的衰变函数为$$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{24}}$$。
当$$t = 24$$时，瞬时变化率为$$-8 \ln 2$$。
首先求导数：$$N'(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{24}} \cdot (-\frac{1}{24}) \ln 2$$。
代入$$t = 24$$得：$$N'(24) = N_0 \cdot 2^{-1} \cdot (-\frac{1}{24}) \ln 2 = -\frac{N_0}{48} \ln 2$$。
根据题意，$$-\frac{N_0}{48} \ln 2 = -8 \ln 2$$，解得$$N_0 = 384$$。
因此，$$N(120) = 384 \cdot 2^{-\frac{120}{24}} = 384 \cdot 2^{-5} = 384 \cdot \frac{1}{32} = 12$$。
答案为$$A$$。
第三题解析：
已知保鲜时间$$y$$与储藏温度$$x$$的关系为$$y = e^{ax + b}$$。
根据题意：
当$$x = 6$$时，$$y = 216$$，即$$e^{6a + b} = 216$$。
当$$x = 24$$时，$$y = 8$$，即$$e^{24a + b} = 8$$。
两式相除得：$$e^{18a} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$$，即$$18a = \ln \frac{1}{27} = -\ln 27 = -3 \ln 3$$。
解得$$a = -\frac{\ln 3}{6}$$。
代入第一式得：$$e^{6a + b} = e^{-\ln 3 + b} = \frac{e^b}{3} = 216$$，所以$$e^b = 648$$。
物流时间为$$3$$天，即$$72$$小时，要求$$y \geq 72$$。
即$$e^{ax + b} \geq 72$$，代入$$a$$和$$b$$得：$$e^{-\frac{\ln 3}{6}x + \ln 648} \geq 72$$。
化简得：$$-\frac{\ln 3}{6}x + \ln 648 \geq \ln 72$$。
解得：$$x \leq \frac{6(\ln 648 - \ln 72)}{\ln 3} = \frac{6 \ln 9}{\ln 3} = \frac{6 \times 2 \ln 3}{\ln 3} = 12$$。
答案为$$B$$。
第四题解析：
甲醛浓度函数为$$\rho(t) = e^{at + b}$$。
根据题意：
当$$t = 1$$时，$$\rho(1) = 6.25$$，即$$e^{a + b} = 6.25$$。
当$$t = 3$$时，$$\rho(3) = 1$$，即$$e^{3a + b} = 1$$。
两式相除得：$$e^{-2a} = 6.25$$，即$$-2a = \ln 6.25$$，解得$$a = -\frac{\ln 6.25}{2}$$。
代入第一式得：$$e^{-\frac{\ln 6.25}{2} + b} = 6.25$$，即$$e^b = 6.25 \cdot e^{\frac{\ln 6.25}{2}} = 6.25 \cdot \sqrt{6.25} = 6.25 \times 2.5 = 15.625$$。
要求$$\rho(t) \leq 0.1$$，即$$e^{at + b} \leq 0.1$$。
代入$$a$$和$$b$$得：$$e^{-\frac{\ln 6.25}{2}t + \ln 15.625} \leq 0.1$$。
化简得：$$-\frac{\ln 6.25}{2}t + \ln 15.625 \leq \ln 0.1$$。
解得：$$t \geq \frac{2(\ln 15.625 - \ln 0.1)}{\ln 6.25} \approx \frac{2(2.75 - (-2.30))}{1.83} \approx \frac{2 \times 5.05}{1.83} \approx 5.52$$。
取整得至少需要$$6$$周，答案为$$B$$。
第五题解析：
冷却公式为$$\theta = \theta_0 + (\theta_1 - \theta_0)e^{-kt}$$。
已知$$\theta_0 = 20$$，$$t = 2$$时$$\theta = 52$$，$$t = 8$$时$$\theta = 24$$。
代入得：
$$52 = 20 + (\theta_1 - 20)e^{-2k}$$，即$$32 = (\theta_1 - 20)e^{-2k}$$。
$$24 = 20 + (\theta_1 - 20)e^{-8k}$$，即$$4 = (\theta_1 - 20)e^{-8k}$$。
两式相除得：$$\frac{32}{4} = e^{6k}$$，即$$e^{6k} = 8$$，解得$$6k = \ln 8$$，$$k = \frac{\ln 8}{6}$$。
代入第一式得：$$32 = (\theta_1 - 20)e^{-\frac{\ln 8}{3}}$$，即$$\theta_1 - 20 = 32 \cdot e^{\frac{\ln 8}{3}} = 32 \cdot 2 = 64$$。
所以$$\theta_1 = 84$$。
答案为$$C$$。
第六题解析：
复利计算公式为$$A = a(1 + x)^t$$，其中$$t$$为年数。
从2013年7月1日到2016年7月1日为$$3$$年，所以$$A = a(1 + x)^3$$。
答案为$$D$$。
第七题解析：
细菌分裂公式为$$N = 2^{\frac{t}{15}}$$，其中$$t$$为分钟数。
设$$2^{\frac{t}{15}} = 4096$$，即$$2^{\frac{t}{15}} = 2^{12}$$。
解得$$\frac{t}{15} = 12$$，$$t = 180$$分钟，即$$3$$小时。
答案为$$C$$。
第八题解析：
蝗虫增长公式为$$N = N_0 (1 + 0.05)^t$$，其中$$t$$为天数。
设$$(1.05)^t = 16000$$，取对数得$$t \ln 1.05 = \ln 16000$$。
已知$$\ln 16000 \approx 9.6803$$，$$\ln 1.05 \approx 0.0488$$。
解得$$t \approx \frac{9.6803}{0.0488} \approx 198.4$$，取整为$$199$$天。
答案为$$D$$。
第九题解析：
保鲜时间函数为$$y = e^{kx + b}$$。
根据题意：
当$$x = 0$$时，$$y = 192$$，即$$e^b = 192$$。
当$$x = 22$$时，$$y = 48$$，即$$e^{22k + b} = 48$$。
两式相除得：$$e^{22k} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$$，即$$22k = \ln \frac{1}{4} = -\ln 4$$，解得$$k = -\frac{\ln 4}{22}$$。
当$$x = 33$$时，$$y = e^{33k + b} = e^{-\frac{33}{22} \ln 4} \cdot 192 = e^{-1.5 \ln 4} \cdot 192 = 4^{-1.5} \cdot 192 = \frac{1}{8} \cdot 192 = 24$$。
答案为$$C$$。
第十题解析：
樟脑丸体积函数为$$V = a e^{-kt}$$。
已知$$t = 50$$时，$$V = \frac{4}{9}a$$，即$$e^{-50k} = \frac{4}{9}$$。
设$$V = \frac{8}{27}a$$，即$$e^{-kt} = \frac{8}{27}$$。
取对数得：$$-kt = \ln \frac{8}{27}$$，$$-50k = \ln \frac{4}{9}$$。
两式相除得：$$\frac{t}{50} = \frac{\ln \frac{8}{27}}{\ln \frac{4}{9}} = \frac{\ln 8 - \ln 27}{\ln 4 - \ln 9} = \frac{3 \ln 2 - 3 \ln 3}{2 \ln 2 - 2 \ln 3} = \frac{3}{2}$$。
解得$$t = 75$$。
答案为$$C$$。