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正确率40.0%已知指数函数$$f ( x )=a^{x} ( a > 0，$$且$$a \neq1 )，$$将函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的$${{3}}$$倍，得到函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象，再将$${{g}{(}{x}{)}}$$的图象向右平移$${{2}}$$个单位长度，所得图象恰好与函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象重合，则$${{a}}$$的值是（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
2、['指数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率40.0%“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步.假设我们每天进步$${{1}{%}{，}}$$则一年后的水平是原来的$$1. 0 1^{3 6 5} \approx3 7. 8$$(倍)，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长.如果将我们每天的“进步率”从目前的 $${{1}{0}}$$ %提高到 $${{2}{0}{%}}$$ ，那么要使我们的水平是原来水平的$${{1}{5}{0}{0}}$$倍，大约需要经过的天数为（）(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1， ~ \mathrm{l g} 3 \approx0. 4 7 7， ~ \mathrm{l g} 1 1 \approx1. 0 4 1 )$$
B
A.$${{8}{2}}$$
B.$${{8}{4}}$$
C.$${{8}{6}}$$
D.$${{8}{8}}$$
3、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']正确率60.0%牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：$$\theta=( \theta_{1}-\theta_{0} ) \mathrm{e}^{-k t}+\theta_{0}，$$其中$${{t}}$$为时间$${{(}}$$单位：$$\mathrm{m i n} )， ~ \theta_{0}$$为环境温度$${{(}}$$单位：$$\circ\mathrm{C} )， \ \theta_{1}$$为物体初始温度$${{(}}$$单位：$$\circ\mathrm{C} )， \， \， \theta$$为物体冷却后的温度$${{(}}$$单位：$${^{∘}{C}{)}}$$.假设在室内温度为$${{2}{0}^{∘}{C}}$$的情况下，一桶咖啡由$$1 0 0^{\circ} \mathrm{C}$$降低到$${{6}{0}^{∘}{C}}$$需要$${{2}{0}{{m}{i}{n}}{，}}$$则$${{k}}$$的值为（）
A
A.$${\frac{\operatorname{l n} 2} {2 0}}$$
B.$${\frac{\operatorname{l n} 3} {2 0}}$$
C.$$- \frac{\operatorname{l n} 2} {1 0}$$
D.$$- \frac{\operatorname{l n} 3} {1 0}$$
4、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']正确率60.0%神舟十五号载人飞船搭载宇航员费俊龙、邓清明和张陆进入太空，在中国空间站将完成为期$${{6}}$$个月的太空驻留任务，期间会进行很多空间科学实验.太空中的水资源极其有限，要通过回收水的方法制造可用水.将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的$${{2}{0}{%}{，}}$$要使水中杂质减少到原来的$${{1}{%}}$$以下，则至少需要过滤的次数为（）(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0 )$$
C
A.$${{1}{7}}$$
B.$${{1}{9}}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.$${{2}{3}}$$
5、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%国家速滑馆又称“冰丝带”，是$${{2}{0}{2}{2}}$$年北京冬奥会北京主赛区的标志性场馆，拥有目前亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放值接近于零，是真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量$${{N}{(}{{m}{g}{/}{L}}{)}}$$与时间$${{t}{(}{h}{)}}$$的关系为$$N=N_{0} \mathrm{e}^{-k t} ( N_{0}$$为最初污染物数量).如果前$${{4}}$$小时消除了$${{2}{0}{%}}$$的污染物，那么污染物消除至最初的$${{6}{4}{%}}$$还需要的时间是（）
C
A.$${{3}{.}{6}}$$小时
B.$${{3}{.}{8}}$$小时
C.$${{4}}$$小时
D.$${{4}{.}{2}}$$小时
6、['指数型函数模型的应用'， '函数的对称性'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {-x^{2}+6 x， x < 4} \\ {2^{x-1}， x \geq4} \\ \end{matrix} \right.$$，若存在实数$$a， ~ b， ~ c$$满足$$f ( a )=f ( b )=f ( c )$$，其中$$c > b > a$$，则$$( a+b ) f ( c )$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 2 4， 3 6 )$$
B.$$( 4 8， 5 4 )$$
C.$$( 2 4， 2 7 )$$
D.$$( 4 8，+\infty)$$
7、['建立函数模型解决实际问题'， '指数型函数模型的应用']正确率60.0%在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间$${{y}{（}}$$单位：小时）与储存温度$${{x}{（}}$$单位：$${^{∘}{C}{）}}$$满足函数关系$$y=\mathrm{e}^{k x+b} \mathrm{~ ( ~ e}=2. 7 1 8 ~ 2 8 \dots$$为自然对数的底数，$${{k}{，}{b}}$$为常数），若该食品在$${{0}^{∘}{C}}$$时的保鲜时间为$${{1}{2}{0}}$$小时，在$${{3}{0}{^{∘}}{C}}$$时的保鲜时间为$${{1}{5}}$$小时，则该食品在$${{2}{0}{^{∘}}{C}}$$时的保鲜时间为（）
A
A.$${{3}{0}}$$小时
B.$${{4}{0}}$$小时
C.$${{5}{0}}$$小时
D.$${{8}{0}}$$小时
8、['指数型函数模型的应用'， '函数求解析式']正确率60.0%近期由于某些原因，国内进口豪华轿车纷纷降价，某豪车原价为$${{2}{0}{0}}$$万元，连续两次降价$${{a}{%}}$$后，售价为$${{1}{4}{8}}$$万元，则下面所列方程正确的是（）
B
A.$$2 0 0 ( 1+a^{0} \! 7_{0} )^{2}=1 4 8$$
B.$$2 0 0 ( 1-a \% )^{2}=1 4 8$$
C.$$2 0 0 ( 1-2 a \% )=1 4 8$$
D.$$2 0 0 ( 1-a \% )=1 4 8$$
9、['函数的新定义问题'， '指数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%素数也叫质数，部分素数可写成$$\omega2^{n}-1^{n}$$的形式$${{(}{n}}$$是素数)，法国数学家马丁$${{⋅}}$$梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将$$\omega2^{n}-1^{n}$$形式$${{(}{n}}$$是素数)的素数称为梅森素数．$${{2}{0}{1}{8}}$$年底发现的第$${{5}{1}}$$个梅森素数是$$P_{=} 2^{8 2 5 8 9 9 3 3}-1$$，它是目前最大的梅森素数．已知第$${{8}}$$个梅森素数为$$P=2^{3 1}-1$$，第$${{9}}$$个梅森素数为$$Q \!=2^{6 1}-1$$，则$$\frac{Q} {P}$$约等于(参考数据：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 )$$（）
C
A.$${{1}{0}^{7}}$$
B.$${{1}{0}^{8}}$$
C.$${{1}{0}^{9}}$$
D.$$1 0^{1 0}$$
正确率60.0%基本再生数$${{R}_{0}}$$与世代间隔$${{T}}$$是新冠肺炎的流行病学基本参数$${{.}}$$基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间$${{.}}$$在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：$$I ( t )=\mathrm{e}^{r t}$$描述累计感染病例数$${{I}{(}{t}{)}}$$随时间$${{t}}$$(单位$${{:}}$$天$${{)}}$$的变化规律，指数增长率$${{r}}$$与$${{R}_{0}}$$，$${{T}}$$近似满足$${{R}_{0}}$$$$= 1+r T.$$有学者基于已有数据估计出$${{R}_{0}}$$$${{=}{{3}{.}{2}{8}}}$$，$${{T}{=}{{6}{.}}}$$据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加$${{1}}$$倍需要的时间约为$$( \operatorname{l n} 2 \approx0. 6 9 )$$ （）
B
A.$${{1}{.}{2}}$$天
B.$${{1}{.}{8}}$$天
C.$${{2}{.}{5}}$$天
D.$${{3}{.}{5}}$$天
1. 解析：首先将函数$$f(x)=a^x$$的纵坐标扩大为原来的3倍，得到$$g(x)=3a^x$$。然后将$$g(x)$$向右平移2个单位，得到$$g(x-2)=3a^{x-2}$$。根据题意，$$3a^{x-2}=a^x$$，即$$3a^{-2}=1$$，解得$$a=\sqrt{3}$$。故选D。
3. 解析：根据牛顿冷却模型$$\theta=(100-20)e^{-kt}+20$$，当$$\theta=60$$时，$$60=80e^{-20k}+20$$，解得$$e^{-20k}=0.5$$，即$$-20k=\ln0.5$$，$$k=\frac{\ln2}{20}$$。故选A。
5. 解析：根据题意，前4小时消除20%的污染物，即$$N_0e^{-4k}=0.8N_0$$，解得$$e^{-4k}=0.8$$，$$k=-\frac{\ln0.8}{4}$$。设还需要$$t$$小时消除至64%，即$$N_0e^{-k(4+t)}=0.64N_0$$，代入$$k$$得$$e^{\frac{\ln0.8}{4}(4+t)}=0.64$$，解得$$t=4$$。故选C。
7. 解析：根据题意，当$$x=0$$时，$$y=120$$，即$$e^b=120$$；当$$x=30$$时，$$y=15$$，即$$e^{30k+b}=15$$。解得$$e^{30k}=\frac{15}{120}=0.125$$，$$k=\frac{\ln0.125}{30}$$。当$$x=20$$时，$$y=e^{20k+b}=120\times e^{20k}=120\times(0.125)^{2/3}\approx40$$。故选B。
9. 解析：$$\frac{Q}{P}=\frac{2^{61}-1}{2^{31}-1}\approx2^{30}$$。计算$$\lg2^{30}=30\lg2\approx9$$，因此$$2^{30}\approx10^9$$。故选C。