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正确率80.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{{l}{g}}{x}}$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
2、['对数'， '函数的零点与方程的解']正确率40.0%设方程$${{3}^{x}{+}{x}{−}{4}{=}{0}}$$的根为$${{α}}$$，方程$${{l}{o}{g}_{3}{x}{+}{x}{−}{4}{=}{0}}$$的根为$${{β}}$$，则$${{3}^{α}{+}{{l}{o}{g}_{3}}{β}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{−}{4}}$$
3、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {x^{2}+2 x， x < 0} \\ {\frac{e^{x}} {x}， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{m}}$$有$${{3}}$$个零点，则$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{e}{)}}$$
C.$${{(}{e}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}}$$
4、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{x}{+}{1}{)}{|}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{|}{−}{1}}$$的零点个数为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-2 x^{2}-4 x+1， x \leqslant1} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} ( x-1 ) |， x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$有四个实数解$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}}$$，则$${{(}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{)}{(}{{x}_{3}}{−}{{x}_{4}}{)}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{6 3} {4} )$$
B.$$( 0， \frac{6 3} {4} ]$$
C.$$( \frac{6 3} {4}，+\infty)$$
D.$$[ \frac{6 3} {4}，+\infty)$$
6、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{2} {5 \pi}} \， x-\operatorname{s i n} x$$零点个数为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
7、['函数的零点与方程的解']正确率0.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+4 x+2， x \leqslant1，} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} ( x-1 ) |， x > 1，} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{t}}$$有四个不同的实数解$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}}$$，则$$( \sqrt{3}+x_{1} ) ( \sqrt{3}-x_{2} )+2 x_{3}+\frac1 2 x_{4}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$${{8}}$$
C.$$\frac{9} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
8、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} x+\frac{1} {4 x} ( x > 0 )} \\ {} & {{}-x^{2}-4 x-1 ( x \leqslant0 )} \\ \end{aligned} \right.$$则方程$${{f}{(}{x}{)}{−}{a}{=}{0}}$$有四个实根的充要条件为$${{(}{)}}$$
A.$${{a}{⩾}{1}}$$
B.$${{a}{⩽}{3}}$$
C.$${{1}{⩽}{a}{⩽}{3}}$$
D.$${{1}{<}{a}{<}{3}}$$
9、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{| x |}， x \leqslant1} \\ {f ( 2-x )， x > 1} \\ \end{array} \right.$$，若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}}$$有四个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，则$${{x}^{2}_{1}{+}{{x}^{2}_{2}}{+}{{x}^{2}_{3}}{+}{{x}^{2}_{4}}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{1}{，}{4}{)}}$$
B.$${{(}{4}{，}{8}{)}}$$
C.$${{(}{8}{，}{{1}{2}}{)}}$$
D.$${{(}{{1}{2}}{，}{{1}{6}}{)}}$$
10、['函数的零点与方程的解']正确率0.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{⋅}{{l}{n}}{x}}$$，则关于$${{x}}$$的方程$${{|}{f}{(}{x}{)}{|}{−}{m}{=}{0}}$$的实数根的个数不可能为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：函数 $$f(x) = \sin x - \lg x$$ 的零点个数。
- $$\sin x$$ 的取值范围为 $$[-1, 1]$$，周期为 $$2\pi$$。
- $$\lg x$$ 的定义域为 $$x > 0$$，单调递增，且 $$\lg 1 = 0$$，$$\lg 10 = 1$$。
在区间 $$(1, 10]$$，$$\lg x$$ 从 0 增加到 1，而 $$\sin x$$ 在 $$(0, \pi)$$ 内先增后减，可能有两个交点。
通过图像分析或数值计算，可以确定有两个交点，因此零点个数为 2。
答案：$$B$$。
2. 解析：求 $$3^\alpha + \log_3 \beta$$ 的值。
- $$3^\alpha + \alpha - 4 = 0$$，即 $$3^\alpha = 4 - \alpha$$。
- $$\log_3 \beta + \beta - 4 = 0$$，即 $$\log_3 \beta = 4 - \beta$$。
所以 $$3^\alpha + \log_3 \beta = (4 - \alpha) + (4 - \beta) = 8 - (\alpha + \beta) = 4$$。
答案：$$A$$。
3. 解析：函数 $$g(x) = f(x) - m$$ 有 3 个零点时 $$m$$ 的取值范围。
- 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = x^2 + 2x$$，开口向上，顶点在 $$x = -1$$ 处，$$f(-1) = -1$$。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = \frac{e^x}{x}$$，求导得 $$f'(x) = \frac{e^x (x - 1)}{x^2}$$，在 $$x = 1$$ 处取得极小值 $$f(1) = e$$。
- 当 $$m = -1$$ 时，$$g(x)$$ 在 $$x < 0$$ 有一个二重根，$$x > 0$$ 无交点。
- 当 $$-1 < m < 0$$ 时，$$g(x)$$ 在 $$x < 0$$ 有两个根，$$x > 0$$ 有一个根，共三个根。
- 当 $$m = e$$ 时，$$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 有一个根，$$x < 0$$ 无根。
答案：$$A$$。
4. 解析：函数 $$f(x) = (x + 1) |\log_2 x| - 1$$ 的零点个数。
- 当 $$x > 1$$ 时，$$|\log_2 x| = \log_2 x$$，方程变为 $$(x + 1) \log_2 x = 1$$。
- 当 $$0 < x < 1$$ 时，$$|\log_2 x| = -\log_2 x$$，方程变为 $$(x + 1) (-\log_2 x) = 1$$。
答案：$$B$$。
5. 解析：求 $$(x_1 + x_2)(x_3 - x_4)$$ 的取值范围。
- 当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = -2x^2 - 4x + 1$$，开口向下，顶点在 $$x = -1$$ 处，$$f(-1) = 3$$。
- 当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = |\log_2 (x - 1)|$$，单调递减，且 $$f(2) = 0$$，$$f(1^+) = +\infty$$。
- $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 是二次函数的两个根，且 $$x_1 + x_2 = -2$$。
- $$x_3$$ 和 $$x_4$$ 满足 $$\log_2 (x_3 - 1) = a$$ 和 $$\log_2 (x_4 - 1) = -a$$，即 $$x_3 = 1 + 2^a$$，$$x_4 = 1 + 2^{-a}$$。
求导可得其取值范围为 $$(0, \frac{63}{4})$$。
答案：$$A$$。
6. 解析：函数 $$f(x) = \log_{\frac{2}{5\pi}} x - \sin x$$ 的零点个数。
- $$\log_{\frac{2}{5\pi}} x$$ 是减函数，且 $$\log_{\frac{2}{5\pi}} 1 = 0$$。
- $$\sin x$$ 是周期函数，取值范围为 $$[-1, 1]$$。
在 $$(1, +\infty)$$，$$\log_{\frac{2}{5\pi}} x$$ 递减且趋向于 $$-\infty$$，而 $$\sin x$$ 振荡，可能有多个交点。
通过图像分析，可以确定共有 3 个零点。
答案：$$B$$。
7. 解析：求 $$(\sqrt{3} + x_1)(\sqrt{3} - x_2) + 2x_3 + \frac{1}{2}x_4$$ 的最小值。
- 当 $$x \leq 1$$ 时，$$f(x) = x^2 + 4x + 2$$，顶点在 $$x = -2$$ 处，$$f(-2) = -2$$。
- 当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = |\log_2 (x - 1)|$$，单调递减，且 $$f(2) = 0$$。
- $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 是二次函数的两个根，且 $$x_1 + x_2 = -4$$，$$x_1 x_2 = 2 - t$$。
- $$x_3 = 1 + 2^{-t}$$，$$x_4 = 1 + 2^{t}$$。
进一步化简为 $$3 + t + 2 \cdot 2^{-t} + \frac{1}{2} \cdot 2^{t}$$，求导可得最小值在 $$t = 1$$ 处取得，值为 $$\frac{9}{2}$$。
答案：$$C$$。
8. 解析：方程 $$f(x) - a = 0$$ 有四个实根的充要条件。
- 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = x + \frac{1}{4x}$$，最小值为 $$1$$（当 $$x = \frac{1}{2}$$ 时取得）。
- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = -x^2 - 4x - 1$$，开口向下，顶点在 $$x = -2$$ 处，$$f(-2) = 3$$。
答案：$$D$$。
9. 解析：求 $$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$$ 的取值范围。
设 $$x_1$$ 和 $$x_2$$ 是 $$2^{|x|} = a$$ 的解，则 $$x_1 = -\log_2 a$$，$$x_2 = \log_2 a$$。
设 $$x_3$$ 和 $$x_4$$ 是 $$f(2 - x) = a$$ 的解，则 $$x_3 = 2 - \log_2 a$$，$$x_4 = 2 + \log_2 a$$。
因此，$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 2(\log_2 a)^2 + 2(2 - \log_2 a)^2$$。
化简后为 $$8 - 8 \log_2 a + 4 (\log_2 a)^2$$，当 $$1 < a < 2$$ 时，取值范围为 $$(4, 8)$$。
答案：$$B$$。
10. 解析：方程 $$|f(x)| - m = 0$$ 的实数根个数不可能为 3。
分析 $$|f(x)| = m$$ 的解：
- 当 $$m = 0$$ 时，唯一解 $$x = 1$$。
- 当 $$0 < m < \frac{1}{e}$$ 时，有三个解。
- 当 $$m = \frac{1}{e}$$ 时，有两个解。
- 当 $$m > \frac{1}{e}$$ 时，有两个解。
答案：$$B$$。