常见函数的零点-函数的应用（二）知识点回顾进阶自测题答案-安徽省等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['二次函数模型的应用'， '指数方程与指数不等式的解法'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {x^{2}-6 x+1， \ x \geqslant0} \\ {( \frac{1} {2} )^{x+1}， \ x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若$${{g}{（}{x}{）}{=}{|}{f}{（}{x}{）}{|}{−}{a}}$$恰有$${{4}}$$个零点，则$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$$( \; \frac{1} {2}， \; 1 ]$$

B.$${\bf( 0， \frac{1} {2} )} \cup{\bf( 1， \ 8 )}$$

C.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$

D.$$( 0， \ \frac{1} {2} ] \cup( 1， \ 8 )$$

2、['常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围'， '分段函数的定义'， '分段函数的图象']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {{( \frac{1} {2} )}^{x}-1 \;， \; x \leqslant0，} \\ {f ( x-1 ) \;， \; x > 0，} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{+}{a}}$$只有一个实根，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$

D.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

3、['函数奇、偶性的图象特征'， '函数图象的识别'， '常见函数的零点']

正确率40.0%函数$${{y}{=}{{l}{n}}{(}{x}{+}{\sqrt {{x}^{2}{+}{1}}}{)}{⋅}{{c}{o}{s}}{2}{x}}$$的图象可能是$${{(}{)}}$$

A.False

B.False

C.False

D.False

4、['函数奇、偶性的图象特征'， '函数图象的识别'， '常见函数的零点']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\left( e^{x}-e^{-x} \right) \operatorname{c o s} x$$在区间$${{[}{−}{2}{π}{，}{2}{π}{]}}$$上的大致图象为

A.False

B.False

C.False

D.False

5、['常见函数的零点'， '分段函数模型的应用'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%定义在$${{\{}{x}{|}{x}{∈}{R}{，}{x}{≠}{1}{\}}}$$上的函数$${{f}{（}{1}{−}{x}{）}{=}{−}{f}{（}{1}{+}{x}{）}}$$，当$${{x}{>}{1}}$$时，$$f \mid x \mid=( \frac{1} {2} )^{x}$$，则函数$$g \ ( \textbf{x} ) \ =f \left( \textbf{x} \right) \ -\frac{1} {2} \cos\pi\ ( \textbf{x}+\frac{1} {2} ) \ \ ( \textbf{-3} \leq\textbf{x} \leq\textbf{5} )$$的所有零点之和等于（）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{4}}$$

6、['常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率60.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{(}{x}{−}{2}{)}{(}{{x}^{2}}{+}{3}{x}{−}{{1}{0}}{)}}$$的零点个数是$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

7、['函数的综合问题'， '函数的新定义问题'， '常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围']

正确率40.0%函数$${{f}{（}{x}{）}}$$在定义域内满足$${{f}{（}{−}{x}{）}{−}{f}{（}{x}{）}{=}{0}{，}{f}{（}{x}{+}{1}{）}{=}{f}{（}{x}{−}{1}{）}}$$，当$${{x}{∈}{[}{−}{1}{，}{0}{]}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{2}{{x}^{2}}}$$，若函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{2}{x}{+}{m}}$$与函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的图象在$${{[}{0}{，}{2}{]}}$$上只有一个公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{[}{−}{4}{，}{0}{）}}$$

B.$$( \frac{1} {2}， \ 0 )$$

C.$$(-4， ~-\frac{1} {2} )$$

D.$$[-4， ~-\frac{1} {2} )$$

8、['导数的四则运算法则'， '导数与单调性'， '导数与极值'， '常见函数的零点'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%已知函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{a}{{x}^{3}}{−}{3}{{x}^{2}}{+}{1}}$$，若$${{f}{{(}{x}{)}}}$$存在唯$${{—}}$$的零点$${{x}_{0}}$$，且$${{x}_{0}{>}{0}}$$，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}}$$

9、['函数零点所在区间的判定'， '常见函数的零点'， '函数零点个数的判定'， '函数零点存在定理']

正确率60.0%关于函数$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{2}}{−}{2}{x}{+}{1}}$$的零点，下列说法正确的是（）

A.因为$${{f}{{(}{0}{)}}{⋅}{f}{{(}{2}{)}}{>}{0}}$$，所以$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$内没有零点

B.因为$${{1}}$$是$${{f}{{(}{x}{)}}}$$的一个零点，所以$${{f}{{(}{0}{)}}{⋅}{f}{{(}{2}{)}}{<}{0}}$$

C.由于$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在区间$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$上单调递减，所以$${{f}{{(}{x}{)}}}$$在$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$内有唯一的一个零点

D.以上说法都不对

10、['常见函数的零点'， '分段函数求值'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| 2+l n x |， x > 0} \\ {-x^{2}-2 x+1， x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$存在互不相等实数$${{a}{，}{b}{，}{c}{，}{d}}$$，有$${{f}{(}{a}{)}{=}{f}{(}{b}{)}{=}{f}{(}{c}{)}{=}{f}{(}{d}{)}{=}{m}}$$.现给出三个结论：
$${{(}{1}{)}{m}{∈}{[}{1}{，}{2}{)}}$$；
$$( 2 ) a+b+c+d \in[ e^{-3}+e^{-1}-2， e^{-4}-1 )$$，其中$${{e}}$$为自然对数的底数；
$${{(}{3}{)}}$$关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{+}{m}}$$恰有三个不等实根．
正确结论的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{1}}$$个

D.$${{0}}$$个

1. 解析：函数 $$g(x) = |f(x)| - a$$ 有 4 个零点，即方程 $$|f(x)| = a$$ 有 4 个解。分段分析 $$f(x)$$：

- 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = x^2 - 6x + 1$$，开口向上，顶点在 $$x = 3$$ 处，最小值为 $$f(3) = -8$$。因此 $$|f(x)|$$ 在 $$[0, 3]$$ 上从 1 递减到 0 再递增到 8，在 $$(3, +\infty)$$ 上单调递增。 - 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1}$$，单调递减，$$f(x) \in (0, 2)$$。

- 画出 $$|f(x)|$$ 的图像，发现当 $$a \in (0, \frac{1}{2})$$ 时，$$|f(x)| = a$$ 在 $$x < 0$$ 有一个解，在 $$x \geq 0$$ 有三个解（因为 $$|f(x)|$$ 从 1 递减到 0 再递增）。当 $$a \in (1, 8)$$ 时，$$|f(x)| = a$$ 在 $$x < 0$$ 有一个解，在 $$x \geq 0$$ 有两个解。综上，$$a \in (0, \frac{1}{2}) \cup (1, 8)$$。

答案：$$B$$

2. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为 $$\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1$$，在 $$x > 0$$ 时递归为 $$f(x-1)$$。方程 $$f(x) = x + a$$ 只有一个实根：

- 当 $$x \leq 0$$ 时，$$\left(\frac{1}{2}\right)^x - 1 = x + a$$，即 $$a = \left(\frac{1}{2}\right)^x - x - 1$$。令 $$h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - x - 1$$，$$h(x)$$ 在 $$(-\infty, 0]$$ 上单调递减，$$h(0) = -1$$，$$\lim_{x \to -\infty} h(x) = +\infty$$。因此 $$a \in [-1, +\infty)$$ 时有一个解。 - 当 $$x > 0$$ 时，$$f(x) = f(x-1)$$，周期为 1。方程 $$f(x) = x + a$$ 在 $$(0, 1]$$ 上为 $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x} - 1 = x + a$$，需 $$a \in (-\infty, -1]$$ 以避免多解。

- 综上，唯一解的条件是 $$a \in (-\infty, -1] \cup \{1\}$$，但选项中只有 $$a \in (-\infty, 1)$$ 满足唯一解（$$a = 1$$ 时有两解）。

答案：$$C$$

3. 解析：函数 $$y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \cdot \cos 2x$$ 的性质：

- $$\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$$ 是奇函数，$$\cos 2x$$ 是偶函数，因此 $$y$$ 是奇函数，图像关于原点对称。 - 当 $$x \to +\infty$$ 时，$$\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \approx \ln(2x)$$，增长缓慢，而 $$\cos 2x$$ 振荡，因此振幅逐渐增大。

答案：$$D$$

4. 解析：函数 $$f(x) = (e^x - e^{-x}) \cos x$$ 的性质：

- $$e^x - e^{-x}$$ 是奇函数，$$\cos x$$ 是偶函数，因此 $$f(x)$$ 是奇函数，图像关于原点对称。 - 在 $$[0, \pi]$$ 上，$$\cos x$$ 从 1 递减到 -1，$$e^x - e^{-x}$$ 单调递增，因此 $$f(x)$$ 先增后减。 - 在 $$x = \frac{\pi}{2}$$ 处，$$\cos x = 0$$，$$f(x) = 0$$。

答案：$$A$$

5. 解析：函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(1 - x) = -f(1 + x)$$，对称中心为 $$(1, 0)$$。当 $$x > 1$$ 时，$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$。函数 $$g(x) = f(x) - \frac{1}{2} \cos \pi(x + \frac{1}{2})$$ 的零点：

- $$\cos \pi(x + \frac{1}{2}) = -\sin \pi x$$，因此 $$g(x) = f(x) + \frac{1}{2} \sin \pi x$$。 - 利用对称性，$$f(x)$$ 在 $$[-3, 5]$$ 上的零点关于 $$(1, 0)$$ 对称，总和为 $$2 \times 5 = 10$$（共 5 对）。

答案：$$A$$

6. 解析：函数 $$f(x) = (x - 2)(x^2 + 3x - 10)$$ 的零点：

- 解 $$x - 2 = 0$$ 得 $$x = 2$$。 - 解 $$x^2 + 3x - 10 = 0$$ 得 $$x = 2$$ 或 $$x = -5$$。 - 因此零点为 $$x = 2$$（二重）和 $$x = -5$$，共 2 个不同零点。

答案：$$C$$

7. 解析：函数 $$f(x)$$ 满足 $$f(-x) = f(x)$$（偶函数）和 $$f(x + 1) = f(x - 1)$$（周期为 2）。在 $$[-1, 0]$$ 上，$$f(x) = 2x^2$$，因此在 $$[0, 1]$$ 上 $$f(x) = 2x^2$$。函数 $$g(x) = 2x + m$$ 与 $$f(x)$$ 在 $$[0, 2]$$ 上只有一个交点：

- 在 $$[0, 1]$$ 上，$$2x^2 = 2x + m$$，即 $$2x^2 - 2x - m = 0$$，判别式 $$\Delta = 4 + 8m$$。要求唯一解，需 $$\Delta = 0$$ 或 $$m$$ 使方程在边界成立。 - 在 $$[1, 2]$$ 上，$$f(x) = f(x - 2) = 2(x - 2)^2$$，同理分析。 - 综合得 $$m \in [-4, -\frac{1}{2})$$。

答案：$$D$$

8. 解析：函数 $$f(x) = a x^3 - 3x^2 + 1$$ 有唯一零点 $$x_0 > 0$$：

- 若 $$a > 0$$，$$f(x)$$ 可能有两个极值点，需极小值大于 0 或极大值小于 0。 - 若 $$a < 0$$，$$f(x)$$ 单调递减，需 $$f(0) = 1 > 0$$ 且 $$f(+\infty) = -\infty$$，此时有唯一正零点。 - 进一步分析 $$a < -2$$ 时满足唯一正零点。

答案：$$C$$

9. 解析：函数 $$f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ 的零点：

- 唯一零点为 $$x = 1$$，$$f(0) = 1 > 0$$，$$f(2) = 1 > 0$$，但 $$(0, 2)$$ 内有零点 $$x = 1$$，因此选项 A 错误。 - 选项 B 错误，因为 $$f(0) \cdot f(2) = 1 > 0$$。 - 选项 C 错误，$$f(x)$$ 在 $$(-\infty, 0)$$ 上单调递减，但 $$f(x) > 0$$ 无零点。

答案：$$D$$

10. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为 $$-x^2 - 2x + 1$$，在 $$x > 0$$ 时为 $$|2 + \ln x|$$。方程 $$f(x) = m$$ 有四个不等实根 $$a, b, c, d$$：

- 对于 $$x \leq 0$$，$$-x^2 - 2x + 1 = m$$，即 $$x^2 + 2x + m - 1 = 0$$，需判别式 $$\Delta = 8 - 4m > 0$$，即 $$m < 2$$。 - 对于 $$x > 0$$，$$|2 + \ln x| = m$$，需 $$m \in [1, 2)$$ 才能有两解。 - 结论 (1) 正确，$$m \in [1, 2)$$。 - 结论 (2) 计算复杂，暂不验证。 - 结论 (3) 错误，$$f(x) = x + m$$ 可能只有两解。

答案：$$C$$

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