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正确率40.0%若函数$$f ( x )=2 \mathrm{e}^{x}-3 a x^{2}+1$$有两个不同的极值点，则实数$${{a}}$$可以为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{\mathrm{e}} {3}$$
D.$$\frac{\mathrm{e}} {2}$$
2、['函数零点的概念']正确率60.0%若$$f ( x )=\frac{x-1} {x}$$，则函数$$y=f ( 4 x )-x$$的零点是（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['分段函数与方程、不等式问题'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点的概念'， '二次函数的图象分析与判断'， '分段函数的图象']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x}-a， x < 2，} \\ {x^{2}-5 a x+4 a^{2}， x \geqslant2.} \\ \end{array} \right.$$若$${{f}{(}{x}{)}}$$有两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是
C
A.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
B.$$[ \frac{1} {2}， 2 ) \bigcup( 2，+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {2}， 2 ) \bigcup[ 4，+\infty)$$
D.$$[ \frac{1} {2}， 2 ) \bigcup( 4，+\infty)$$
5、['函数零点的概念'， '分段函数的图象']正确率40.0%函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {\frac{1} {2^{x}}， \enspace x \leqslant0} \\ {2 \operatorname{s i n} ( 2 x+\frac{5 \pi} {6} )， \enspace0 < x < \pi} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =a$$恰有三个不同的解，记为$$x_{1}， ~ x_{2}， ~ x_{3}$$，则$$x_{1}+x_{2}+x_{3}$$的取值范围是（）
D
A.$$( \frac{1 0 \pi} {3}-2， \ \frac{1 0 \pi} {3} )$$
B.$$( \frac{5 \pi} {3}-2， \ \frac{5 \pi} {3} )$$
C.$$( \frac{1 0 \pi} {3}-1， \ \frac{1 0 \pi} {3} )$$
D.$$( \frac{5 \pi} {3}-1， \ \frac{5 \pi} {3} )$$
6、['函数的周期性'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率60.0%已知以$${{T}{=}{4}}$$为周期的函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} 1-x^{2}， x \in(-1， 1 ]} \\ {} & {{} m ( 1-| x-2 | )， x \in( 1， 3 ]} \\ \end{aligned} \right.$$，其中$${{m}{>}{0}}$$，若函数$$g ( x )=3 f ( x )-x$$恰有$${{5}}$$个不同零点，则实数，$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 2， \frac{8} {3} )$$
B.$$( 2， \frac{1 0} {3} )$$
C.$$( \frac{2} {3}， 2 )$$
D.$$( \frac{4} {3}， \frac{8} {3} )$$
7、['函数奇偶性的应用'， '抽象函数的应用'， '函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性'， '函数求值'， '函数零点的概念']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的奇函数$${{f}{（}{x}{）}}$$且满足$$f \left( 1+x \right) ~=-f \left( 3-x \right)$$，且$$f \ ( \textbf{1} ) \ \neq0$$，若函数$$g \ ( \ x ) \ =x^{6}+f \ ( \mathrm{\bf~ 1} ) \ \cos4 x-3$$有且只有唯一的零点，则$$f ~ ( \mathrm{\bf~ 2 0 1 8} ) ~+f ~ ( \mathrm{\bf~ 2 0 1 9} ) ~=~ ($$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{3}}$$
8、['函数零点的概念'， '函数零点存在定理']正确率60.0%方程f(x)=2x-3的根所在的区间是
B
A.$$( 2， 3 )$$
B.$$( 1， 2 )$$
C.$$( 3， 4 )$$
D.$$( 0， 1 )$$
9、['常见函数的零点'， '函数零点的概念'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=3^{x}+3 x-8$$，用二分法求方程$$3^{x}+3 x-8=0$$在$$x \in( 1， 3 )$$内的近似解的过程中，取区间中点$${{x}_{0}{=}{2}}$$，那么下一个根的区间为（）
A
A.$$( 1， 2 )$$
B.$$( 2， 3 )$$
C.$$( 1， 2 )， ( 2， 3 )$$都可以
D.不能确定
10、['利用导数讨论函数单调性'， '函数零点的概念']正确率19.999999999999996%已知函数$${{g}{{(}{x}{)}}}$$满足$$g \left( x \right)=2 g \left( \frac{1} {x} \right)$$，当$$x \in[ 1， 3 ]$$时，$$g \left( x \right)=\operatorname{l n} {x}$$。若函数$$f \left( x \right)=g \left( x \right)-m x$$在区间$$[ \frac{1} {3}， 3 ]$$上有三个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left[ \frac{\operatorname{l n} 3} {3}， \frac{1} {e} \right)$$
B.$$[ \operatorname{l n} 3， \frac{3} {e} \Bigg)$$
C.$${\left( \frac{1} {e}， \operatorname{l n} 3 \right]}$$
D.$$\left( 0， \frac{1} {e} \right)$$
1. 解析：
函数 $$f(x) = 2e^x - 3a x^2 + 1$$ 有两个不同的极值点，即其导数 $$f'(x) = 2e^x - 6a x$$ 有两个不同的零点。设 $$f'(x) = 0$$，得 $$2e^x = 6a x$$，即 $$e^x = 3a x$$。
令 $$g(x) = e^x / x$$，则 $$3a = g(x)$$ 需有两个解。函数 $$g(x)$$ 在 $$x > 0$$ 时有最小值 $$g(1) = e$$，且当 $$x \to 0^+$$ 时 $$g(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$g(x) \to +\infty$$。因此，$$3a > e$$，即 $$a > e/3$$。
选项中满足 $$a > e/3$$ 的是 D 选项 $$\frac{e}{2}$$。
答案：D
2. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{x-1}{x}$$，则 $$f(4x) = \frac{4x-1}{4x}$$。设 $$y = f(4x) - x = 0$$，即 $$\frac{4x-1}{4x} - x = 0$$，化简得 $$4x - 1 - 4x^2 = 0$$，即 $$4x^2 - 4x + 1 = 0$$。
解得 $$x = \frac{1}{2}$$。
答案：A
4. 解析：
函数 $$f(x)$$ 有两个零点，需分段讨论：
(1) 当 $$x < 2$$ 时，$$f(x) = 2^x - a = 0$$ 有解，即 $$a = 2^x$$。由于 $$x < 2$$，$$a \in (0, 4)$$。
(2) 当 $$x \geq 2$$ 时，$$f(x) = x^2 - 5a x + 4a^2 = 0$$ 有解，即 $$(x - a)(x - 4a) = 0$$，解得 $$x = a$$ 或 $$x = 4a$$。需满足 $$a \geq 2$$ 或 $$4a \geq 2$$（即 $$a \geq \frac{1}{2}$$）。
综合 (1) 和 (2)，$$a \in [\frac{1}{2}, 2) \cup [4, +\infty)$$。
答案：C
5. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
(1) 当 $$x \leq 0$$ 时，$$f(x) = \frac{1}{2^x}$$ 单调递减，值域为 $$[1, +\infty)$$。
(2) 当 $$0 < x < \pi$$ 时，$$f(x) = 2 \sin(2x + \frac{5\pi}{6})$$，其值域为 $$[-2, 2]$$。
方程 $$f(x) = a$$ 有三个解，需 $$a \in (1, 2]$$。此时：
- 一个解 $$x_1 \leq 0$$，满足 $$\frac{1}{2^{x_1}} = a$$，即 $$x_1 = -\log_2 a$$。
- 两个解 $$x_2, x_3$$ 在 $$(0, \pi)$$ 内，满足 $$2 \sin(2x + \frac{5\pi}{6}) = a$$，即 $$x_2 + x_3 = \frac{5\pi}{3} - \frac{\arcsin(a/2)}{2}$$。
总和 $$x_1 + x_2 + x_3 = -\log_2 a + \frac{5\pi}{3} - \frac{\arcsin(a/2)}{2}$$。当 $$a \in (1, 2]$$ 时，$$x_1 + x_2 + x_3 \in \left(\frac{10\pi}{3} - 2, \frac{10\pi}{3}\right)$$。
答案：A
6. 解析：
函数 $$g(x) = 3f(x) - x$$ 有 5 个零点，即 $$f(x) = \frac{x}{3}$$ 有 5 个解。由于 $$f(x)$$ 是周期为 4 的函数，只需分析 $$x \in (-1, 3]$$ 的情况：
(1) 当 $$x \in (-1, 1]$$ 时，$$f(x) = 1 - x^2 = \frac{x}{3}$$，解得 $$x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{6}$$，其中 $$\frac{1 + \sqrt{37}}{6} \approx 1.18$$ 不在区间内，仅有一个解。
(2) 当 $$x \in (1, 3]$$ 时，$$f(x) = m(1 - |x - 2|) = \frac{x}{3}$$，需满足两条直线 $$y = m(3 - x)$$ 和 $$y = m(x - 1)$$ 与 $$y = \frac{x}{3}$$ 各有两个交点，解得 $$m \in (2, \frac{8}{3})$$。
答案：A
7. 解析：
由 $$f(1 + x) = -f(3 - x)$$ 且 $$f(x)$$ 为奇函数，可得 $$f(x)$$ 的周期为 8。又 $$f(1) \neq 0$$，函数 $$g(x) = x^6 + f(1) \cos 4x - 3$$ 有唯一零点，即 $$x^6 + f(1) \cos 4x = 3$$ 有唯一解。由于 $$x^6 \geq 0$$ 且 $$\cos 4x \in [-1, 1]$$，唯一解为 $$x = 0$$，代入得 $$f(1) = 3$$。
由周期性，$$f(2018) + f(2019) = f(2) + f(3)$$。根据 $$f(1 + x) = -f(3 - x)$$，设 $$x = 1$$ 得 $$f(2) = -f(2)$$，即 $$f(2) = 0$$；设 $$x = 0$$ 得 $$f(1) = -f(3)$$，即 $$f(3) = -3$$。因此 $$f(2018) + f(2019) = -3$$。
答案：C
8. 解析：
设 $$f(x) = 2^x - 3$$，求其零点所在的区间。计算：
- $$f(1) = 2 - 3 = -1 < 0$$
- $$f(2) = 4 - 3 = 1 > 0$$
由中间值定理，根在 $$(1, 2)$$ 内。
答案：B
9. 解析：
函数 $$f(x) = 3^x + 3x - 8$$，计算：
- $$f(1) = 3 + 3 - 8 = -2 < 0$$
- $$f(2) = 9 + 6 - 8 = 7 > 0$$
- $$f(3) = 27 + 9 - 8 = 28 > 0$$
由二分法，下一个根的区间为 $$(1, 2)$$。
答案：A
10. 解析：
函数 $$g(x) = 2g(1/x)$$，当 $$x \in [1, 3]$$ 时 $$g(x) = \ln x$$。对于 $$x \in [\frac{1}{3}, 1)$$，有 $$g(x) = 2g(1/x) = 2 \ln(1/x) = -2 \ln x$$。
函数 $$f(x) = g(x) - m x$$ 在 $$[\frac{1}{3}, 3]$$ 上有三个零点，需满足：
(1) $$f(1) = 0 - m = -m \leq 0$$（即 $$m \geq 0$$）；
(2) 在 $$x \in [\frac{1}{3}, 1)$$ 和 $$x \in (1, 3]$$ 上各有一个零点，解得 $$m \in \left[\frac{\ln 3}{3}, \frac{1}{e}\right)$$。
答案：A