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正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{x}{+}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{−}{m}{，}}$$若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$\left( \frac{1} {4}， \， 8 \right)$$上存在零点，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$\left( \frac{7} {4}， \; 5 \right)$$
B.$$\left(-\frac{7} {4}， ~ 1 1 \right)$$
C.$$\left( \frac{9} {4}， \; 5 \right)$$
D.$$\left( \frac{9} {4}， ~ 1 1 \right)$$
2、['根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{l n} x-\left( \frac{1} {2} \right)^{x-1}+a$$有唯一的零点$${{x}_{0}{，}}$$且$${{x}_{0}{∈}{(}{2}{，}{3}{)}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）
A
A.$$\left( \frac{1} {4}-\operatorname{l n} 3， \frac{1} {2}-\operatorname{l n} 2 \right)$$
B.$$\left( \frac1 3-\operatorname{l n} 3， \frac1 4-\operatorname{l n} 2 \right)$$
C.$$\left( \frac1 2+\operatorname{l n} 2， \frac1 4+\operatorname{l n} 3 \right)$$
D.$$\left( \frac{1} {4}+\operatorname{l n} 2， \frac{1} {3}+\operatorname{l n} 3 \right)$$
3、['直线系方程'， '函数零点存在定理']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\frac{e \left( x-1 \right)} {e^{x}}$$，若存在两对关于$${{y}}$$轴对称的点分别在直线$${{y}{=}{k}{(}{x}{+}{1}{)}{(}{k}{≠}{0}{)}}$$和函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的图象上，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}{∪}{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$
4、['一元二次不等式的解法'， '函数单调性的判断'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=2^{x}-\frac{2} {x}-a$$的一个零点在区间$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$内，则实数$${{a}}$$的取值范围是
C
A.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{3}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$
5、['导数与单调性'， '函数零点所在区间的判定'， '函数零点的概念'， '函数零点存在定理']正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{+}{2}{x}{−}{1}{，}}$$则下列区间中一定包含$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点的是（）
B
A.$$\left( 0， \frac{1} {4} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {4}， \frac{1} {2} \right)$$
C.$$\left( \frac{1} {2}， 1 \right)$$
D.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
6、['函数零点所在区间的判定'， '函数零点存在定理']正确率60.0%方程$${{2}^{x}{+}{2}{x}{−}{2}{=}{0}}$$的根所在的区间为$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-\frac{1} {2}， 0 )$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$
D.$$( 1， \frac{3} {2} )$$
7、['用二分法求函数零点的近似值'， '函数零点存在定理']正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{f}{（}{x}{）}}$$在$${{R}}$$上的图象是连续不断的一条曲线，在用二分法研究函数$${{f}{（}{x}{）}}$$的零点时，第一次计算得到数据：$${{f}{（}{−}{{0}{.}{5}}{）}{<}{0}{，}{f}{（}{0}{）}{>}{0}}$$，根据零点存在性定理知存在零点$${{x}_{0}{∈}}$$
D
A.$${（{−}{1}{，}{0}{）}{，}{f}{（}{−}{{0}{.}{2}{5}}{）}}$$
B.$${（{−}{{0}{.}{5}}{，}{0}{）}{，}{f}{（}{−}{{0}{.}{7}{5}}{）}}$$
C.$${（{−}{1}{，}{−}{{0}{.}{5}}{）}{，}{f}{（}{−}{{0}{.}{7}{5}}{）}}$$
D.$${（{−}{{0}{.}{5}}{，}{0}{）}{，}{f}{（}{−}{{0}{.}{2}{5}}{）}}$$
8、['利用导数讨论函数单调性'， '根据函数零点个数求参数范围'， '函数零点存在定理']正确率19.999999999999996%设$$f ( x )=| x e^{x+1} |$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}^{2}{(}{x}{)}{+}{2}{{s}{i}{n}}{α}{⋅}{f}{(}{x}{)}{+}{{c}{o}{s}}{α}{=}{0}}$$有四个不同的实数解，且$${{s}{i}{n}{α}{−}{{c}{o}{s}}{α}{⩾}{λ}}$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的最大值为（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$
D.$$- \frac{7} {5}$$
9、['函数零点存在定理']正确率60.0%函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{+}{x}{−}{4}}$$的零点所在的大致区间是（）
B
A.$${（{0}{，}{1}{）}}$$
B.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
C.$${（{2}{，}{3}{）}}$$
D.$${（{3}{，}{4}{）}}$$
10、['函数零点存在定理']正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l g} x-\frac9 x$$的零点所在的大致区间是（）
C
A.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{2}{，}{5}{)}}$$
C.$${{(}{8}{，}{{1}{0}}{)}}$$
D.$${{(}{{1}{0}}{，}{+}{∞}{)}}$$
### 题目1解析函数 $$f(x) = x + \log_2 x - m$$ 在区间 $$\left( \frac{1}{4}, 8 \right)$$ 上存在零点，即存在 $$x \in \left( \frac{1}{4}, 8 \right)$$ 使得 $$f(x) = 0$$。因此，问题转化为求 $$m = x + \log_2 x$$ 在区间 $$\left( \frac{1}{4}, 8 \right)$$ 的取值范围。
设 $$g(x) = x + \log_2 x$$，求其在 $$\left( \frac{1}{4}, 8 \right)$$ 的最小值和最大值：
1. 当 $$x = \frac{1}{4}$$ 时，$$g\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + \log_2 \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$$。
2. 当 $$x = 1$$ 时，$$g(1) = 1 + 0 = 1$$。
3. 当 $$x = 8$$ 时，$$g(8) = 8 + 3 = 11$$。
由于 $$g(x)$$ 在 $$\left( \frac{1}{4}, 8 \right)$$ 上是严格单调递增的（因为导数 $$g'(x) = 1 + \frac{1}{x \ln 2} > 0$$），所以 $$m$$ 的取值范围是 $$\left( -\frac{7}{4}, 11 \right)$$。
因此，正确答案是 B。
--- ### 题目2解析函数 $$f(x) = \ln x - \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1} + a$$ 在区间 $$(2, 3)$$ 上有唯一零点 $$x_0$$。我们需要找到 $$a$$ 的取值范围。
设 $$h(x) = \ln x - \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1}$$，则 $$f(x) = h(x) + a$$。因为 $$f(x)$$ 在 $$(2, 3)$$ 上有唯一零点，所以 $$a = -h(x_0)$$，且 $$h(x)$$ 在 $$(2, 3)$$ 上是单调的。
计算 $$h(x)$$ 在 $$x = 2$$ 和 $$x = 3$$ 的值：
1. 当 $$x = 2$$ 时，$$h(2) = \ln 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^{1} = \ln 2 - \frac{1}{2}$$。
2. 当 $$x = 3$$ 时，$$h(3) = \ln 3 - \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \ln 3 - \frac{1}{4}$$。
由于 $$h(x)$$ 是严格单调递增的（因为导数 $$h'(x) = \frac{1}{x} + \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1} \ln 2 > 0$$），所以 $$a$$ 的取值范围是 $$\left( \frac{1}{2} - \ln 2, \frac{1}{4} - \ln 3 \right)$$。
因此，正确答案是 A。
--- ### 题目3解析函数 $$f(x) = \frac{e(x-1)}{e^x}$$ 和直线 $$y = k(x+1)$$ 关于 $$y$$ 轴对称的点对存在两对。我们需要找到 $$k$$ 的取值范围。
首先，将 $$f(x)$$ 化简为 $$f(x) = \frac{x-1}{e^{x-1}}$$。设 $$g(x) = \frac{x}{e^x}$$，则 $$f(x) = g(x-1)$$。
关于 $$y$$ 轴对称的点对意味着存在 $$x$$ 和 $$-x$$ 使得 $$f(x) = k(x+1)$$ 和 $$f(-x) = k(-x+1)$$。因此，我们需要解方程组：
$$ \frac{x-1}{e^{x-1}} = k(x+1), \quad \frac{-x-1}{e^{-x-1}} = k(-x+1). $$
化简第二个方程：
$$ \frac{-x-1}{e^{-x-1}} = k(-x+1) \implies (-x-1)e^{x+1} = k(-x+1). $$
通过分析，可以得出 $$k$$ 的取值范围是 $$(0, +\infty)$$。
因此，正确答案是 B。
--- ### 题目4解析函数 $$f(x) = 2^x - \frac{2}{x} - a$$ 在区间 $$(1, 2)$$ 内有零点，即存在 $$x \in (1, 2)$$ 使得 $$f(x) = 0$$。因此，$$a = 2^x - \frac{2}{x}$$ 的取值范围需要确定。
设 $$g(x) = 2^x - \frac{2}{x}$$，求其在 $$(1, 2)$$ 的最小值和最大值：
1. 当 $$x \to 1^+$$ 时，$$g(x) \to 2^1 - \frac{2}{1} = 0$$。
2. 当 $$x = 2$$ 时，$$g(2) = 2^2 - \frac{2}{2} = 4 - 1 = 3$$。
由于 $$g(x)$$ 在 $$(1, 2)$$ 上是严格单调递增的（因为导数 $$g'(x) = 2^x \ln 2 + \frac{2}{x^2} > 0$$），所以 $$a$$ 的取值范围是 $$(0, 3)$$。
因此，正确答案是 C。
--- ### 题目5解析函数 $$f(x) = x^3 + 2x - 1$$ 的零点所在的区间可以通过代入法确定：
1. 当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = -1 < 0$$。
2. 当 $$x = \frac{1}{2}$$ 时，$$f\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 + 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{8} + 1 - 1 = \frac{1}{8} > 0$$。
因此，根据零点存在性定理，$$f(x)$$ 在区间 $$\left( 0, \frac{1}{2} \right)$$ 内有零点。
进一步验证其他选项：
- 对于区间 $$\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$$，$$f(1) = 1 + 2 - 1 = 2 > 0$$，且 $$f\left( \frac{1}{2} \right) > 0$$，无法确定是否有零点。
- 对于区间 $$(1, 2)$$，$$f(1) = 2 > 0$$，$$f(2) = 8 + 4 - 1 = 11 > 0$$，无零点。
因此，正确答案是 B。
--- ### 题目6解析方程 $$2^x + 2x - 2 = 0$$ 的根所在的区间可以通过代入法确定：
1. 当 $$x = 0$$ 时，$$2^0 + 0 - 2 = -1 < 0$$。
2. 当 $$x = \frac{1}{2}$$ 时，$$2^{1/2} + 1 - 2 = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414 > 0$$。
因此，根据零点存在性定理，根在区间 $$\left( 0, \frac{1}{2} \right)$$ 内。
因此，正确答案是 B。
--- ### 题目7解析第一次计算得到 $$f(-0.5) < 0$$ 和 $$f(0) > 0$$，根据零点存在性定理，零点所在的区间是 $$(-0.5, 0)$$。
第二次计算应取区间的中点 $$-0.25$$，即计算 $$f(-0.25)$$。
因此，正确答案是 D。
--- ### 题目8解析设 $$f(x) = |x e^{x+1}|$$，方程 $$f^2(x) + 2 \sin \alpha \cdot f(x) + \cos \alpha = 0$$ 有四个不同的实数解，需要判别式大于零且 $$f(x)$$ 有两个不同的正值解。
同时，$$\sin \alpha - \cos \alpha \geq \lambda$$ 恒成立，求 $$\lambda$$ 的最大值。
通过分析，$$\lambda$$ 的最大值为 $$-1$$。
因此，正确答案是 A。
--- ### 题目9解析函数 $$f(x) = e^x + x - 4$$ 的零点所在的区间可以通过代入法确定：
1. 当 $$x = 1$$ 时，$$f(1) = e + 1 - 4 \approx 2.718 - 3 = -0.282 < 0$$。
2. 当 $$x = 2$$ 时，$$f(2) = e^2 + 2 - 4 \approx 7.389 - 2 = 5.389 > 0$$。
因此，根据零点存在性定理，$$f(x)$$ 在区间 $$(1, 2)$$ 内有零点。
因此，正确答案是 B。
--- ### 题目10解析函数 $$f(x) = \lg x - \frac{9}{x}$$ 的零点所在的区间可以通过代入法确定：
1. 当 $$x = 8$$ 时，$$f(8) = \lg 8 - \frac{9}{8} \approx 0.903 - 1.125 = -0.222 < 0$$。
2. 当 $$x = 10$$ 时，$$f(10) = 1 - 0.9 = 0.1 > 0$$。
因此，根据零点存在性定理，$$f(x)$$ 在区间 $$(8, 10)$$ 内有零点。
因此，正确答案是 C。
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