对数型函数模型的应用-4.5 函数的应用（二）知识点月考进阶自测题答案-山东省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['对数型函数模型的应用']

正确率60.0%某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量$${{y}}$$(单位：只)与引入时间$${{x}}$$(单位：年)的关系为$$y=a \operatorname{l o g}_{2} ( x+1 )，$$若该动物引入一年时的数量为$${{1}{8}{0}}$$只，则引入$${{1}{5}}$$年时的数量为（）

A.$${{3}{0}{0}}$$只

B.$${{4}{0}{0}}$$只

C.$${{6}{0}{0}}$$只

D.$${{7}{2}{0}}$$只

2、['对数型函数模型的应用']

正确率60.0%北京时间$${{2}{0}{2}{3}}$$年$${{2}}$$月$${{1}{0}}$$日$${{0}}$$时$${{1}{6}}$$分，经过约$${{7}}$$小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级$${{d}{(}{x}{)}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$与声强$${{x}}$$(单位：$$\mathrm{W / m^{2} )}$$满足关系式：$$d ( x )=1 0 \mathrm{l g} \frac{x} {1 0^{-1 2}}$$.若某人交谈时的声强级约为$${{6}{0}{{d}{B}}{，}}$$且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为$$1 0^{7. 8}，$$则火箭发射时的声强级约为（）

A.$${{1}{2}{5}{{d}{B}}}$$

B.$${{1}{3}{2}{{d}{B}}}$$

C.$${{1}{3}{8}{{d}{B}}}$$

D.$${{1}{5}{6}{{d}{B}}}$$

3、['对数型函数模型的应用']

正确率60.0%在生活中，人们常用声强级$${{y}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$来表示声强$${{I}}$$(单位：$$\mathrm{W / m^{2} )}$$的相对大小，具体关系式为$$y=1 0 \mathrm{l g} \frac{I} {I_{0}}，$$其中基准值$$I_{0}=1 0^{-1 2} ~ \mathrm{W / m}^{2}，$$若声强为$${{I}_{1}}$$时的声强级为$$6 0 ~ \mathrm{d B}，$$那么当声强变为$${{4}{{I}_{1}}}$$时的声强级约为(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 )$$（）

A.$${{6}{3}{d}{B}}$$

B.$${{6}{6}{d}{B}}$$

C.$${{7}{2}{d}{B}}$$

D.$${{7}{6}{d}{B}}$$

4、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“$${{5}{G}}$$发热门诊智慧解决方案”完成.该方案基于$${{5}{G}}$$网络技术，实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化$${{.}{{5}{G}}}$$技术中数学原理之一就是香农公式$$C=W \mathrm{l o g}_{2} \left( 1+\frac{S} {N} \right)，$$它表示在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速度$${{C}}$$(单位：$$\mathrm{b i t} / \mathrm{s} )$$取决于信道带宽$${{W}}$$(单位：$${{H}{Z}{)}}$$、信道内信号的平均功率$${{S}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$、信道内部的高斯噪声功率$${{N}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$的大小，其中$$\frac{S} {N}$$叫作信噪比.按照香农公式，若不改变信道带宽$${{W}{，}}$$而将信噪比$$\frac{S} {N}$$从$${{1}{{0}{0}{0}}}$$提升至$${{2}{{0}{0}{0}}{，}}$$则$${{C}}$$大约是原来的(参考数据$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1 )$$（）

A.$${{2}}$$倍

B.$${{1}{.}{1}}$$倍

C.$${{0}{.}{9}}$$倍

D.$${{0}{.}{5}}$$倍

5、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']

正确率40.0%声音大小（单位为 $${{d}{B}{)}}$$取决于声波通过介质时，所产生的压力变化（简称声压，单位为$${{N}{/}{{m}^{2}}}$$$${{)}{.}}$$已知声音大小$${{y}}$$与声压$${{x}}$$的关系式为$$y=1 0 \times\mathrm{l g} \left( \frac{x} {2 \times1 0^{-5}} \right)^{2}$$，且根据我国《城市区域环境噪声标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为$${{5}{0}{{d}{B}}}$$，夜间噪声容许标准为$${{4}{0}{{d}{B}}}$$，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（）

A.$${\sqrt {{1}{0}}}$$倍

B.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$倍

C.$${{1}{0}}$$倍

D.$${{2}{0}}$$倍

6、['指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用'， '散点图与正相关、负相关'， '反比例函数模型的应用']

正确率60.0%在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

$${{x}}$$	$${{−}{2}}$$	$${{−}{1}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{y}}$$	$${{0}{.}{2}{4}}$$	$${{0}{.}{5}{1}}$$	$${{2}{.}{0}{2}}$$	$${{3}{.}{9}{8}}$$	$${{8}{.}{0}{2}}$$

在以下四个函数模型（$${{a}{，}{b}}$$为待定系数）中，最能反映$${{y}}$$与$${{x}}$$的函数关系的是（）

A.$$y=a+b x$$

B.$$y=a+\frac{b} {x}$$

C.$$y=a+\operatorname{l o g}_{b} x$$

D.$$y=a+b^{x}$$

7、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']

正确率60.0%$${{5}{G}}$$技术的数学原理之一便是著名的香农公式：$$C=W \operatorname{l o g}_{2} \left( 1+\frac{S} {N} \right)$$$${{.}}$$它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率$${{C}}$$取决于信道带宽$${{W}}$$、信道内信号的平均功率$${{S}}$$、信道内部的高斯噪声功率$${{N}}$$的大小，其中$$\frac{S} {N}$$叫做信噪比$${{.}}$$按照香农公式，若不改变带宽$${{W}}$$，而将信噪比$$\frac{S} {N}$$从$${{1}{0}{0}{0}}$$提升至$${{2}{0}{0}{0}}$$，则$${{C}}$$大约增加了（）

A.$${{1}{0}{%}}$$

B.$${{3}{0}{%}}$$

C.$${{5}{0}{%}}$$

D.$${{1}{0}{0}{%}}$$

8、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']

正确率40.0%通过科学研究发现：地震时释放的能量$${{E}{（}}$$单位：焦耳）与地震里氏震级$${{M}}$$之间的关系为$$\operatorname{l g} \， E=4. 8+1. 5 M$$．已知$${{2}{0}{1}{1}}$$年甲地发生里氏$${{9}}$$级地震，$${{2}{0}{1}{9}}$$年乙地发生里氏$${{7}}$$级地震，若甲$${、}$$乙两地地震释放能量分别为$${{E}_{1}{，}{{E}_{2}}}$$，则$${{E}_{1}}$$和$${{E}_{2}}$$的关系为（）

A.$$E_{1}=3 2 E_{2}$$

B.$$E_{1}=6 4 E_{2}$$

C.$$E_{1}=1 0 0 0 E_{2}$$

D.$$E_{1}=1 0 2 4 E_{2}$$

9、['指数与对数的关系'， '对数型函数模型的应用']

正确率60.0%$$\mathrm{L o g i s t i c}$$模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$$I ( t ) ( t$$的单位：天$${{)}}$$的$$\mathrm{L o g i s t i c}$$模型：$$I ( t )=\frac{K} {1+\mathrm{e}^{-0. 2 3 ( t-5 3 )}}$$，其中$${{K}}$$为最大确诊病例数．当$${{I}}$$($${{t}^{∗}}$$$${{)}{=}{{0}{.}{9}{5}}{K}}$$时，标志着已初步遏制疫情，则$${{t}^{∗}}$$约为（）$$( \mathrm{~ l n ~} 1 9 \approx3 )$$

A.$${{6}{0}}$$

B.$${{6}{3}}$$

C.$${{6}{6}}$$

D.$${{6}{9}}$$

10、['有理数指数幂的运算性质'， '指数式的大小的比较'， '指数与对数的关系'， '对数型函数模型的应用'， '常用对数与自然对数']

正确率19.999999999999996%里氏震级是地震强度大小的一种度量．震源中心释放的能量$${{E}}$$(单位：焦耳)与里氏震级$${{M}}$$之间的关系式为$$\operatorname{l g} \， E=4. 8+1. 5 M$$．若里氏$${{8}{.}{0}}$$级和$${{7}{.}{5}}$$级地震释放的能量分别为$${{E}_{1}}$$和$${{E}_{2}}$$，则$$\frac{E_{1}} {E_{2}}$$的值所在的区间为（）

A.$${{(}{1}}$$，$${{2}{)}}$$

B.$${{(}{5}}$$，$${{6}{)}}$$

C.$${{(}{7}}$$，$${{8}{)}}$$

D.$${{(}{{1}{5}}}$$，$${{1}{6}{)}}$$

1. 解析：根据题意，当 $$x=1$$ 时，$$y=180$$，代入公式 $$y=a \log_{2}(x+1)$$ 得：

$$180 = a \log_{2}(2) \Rightarrow a = 180$$

当 $$x=15$$ 时，$$y=180 \log_{2}(16) = 180 \times 4 = 720$$。因此答案为 D。

2. 解析：设交谈时的声强为 $$x_0$$，火箭发射时的声强为 $$x_1 = 10^{7.8} x_0$$。

交谈时的声强级为 $$60 = 10 \lg \left( \frac{x_0}{10^{-12}} \right) \Rightarrow x_0 = 10^{-6}$$。

火箭发射时的声强级为 $$d(x_1) = 10 \lg \left( \frac{10^{7.8} \times 10^{-6}}{10^{-12}} \right) = 10 \lg (10^{13.8}) = 138 \mathrm{dB}$$。因此答案为 C。

3. 解析：由题意，$$60 = 10 \lg \left( \frac{I_1}{10^{-12}} \right) \Rightarrow I_1 = 10^{-6}$$。

当声强变为 $$4I_1$$ 时，声强级为 $$y = 10 \lg \left( \frac{4 \times 10^{-6}}{10^{-12}} \right) = 10 \lg (4 \times 10^6) = 10 (\lg 4 + 6) \approx 10 (0.6 + 6) = 66 \mathrm{dB}$$。因此答案为 B。

4. 解析：设原信噪比为 $$\frac{S}{N} = 1000$$，提升后为 $$\frac{S}{N} = 2000$$。

原 $$C_1 = W \log_{2}(1001) \approx W \log_{2}(1000)$$，提升后 $$C_2 = W \log_{2}(2001) \approx W \log_{2}(2000)$$。

$$\frac{C_2}{C_1} \approx \frac{\log_{2}(2000)}{\log_{2}(1000)} = \frac{\lg 2000 / \lg 2}{\lg 1000 / \lg 2} = \frac{3 + \lg 2}{3} \approx \frac{3.301}{3} \approx 1.1$$。因此答案为 B。

5. 解析：白昼噪声级为 $$50 = 10 \lg \left( \frac{x_1}{2 \times 10^{-5}} \right)^2 \Rightarrow x_1 = 2 \times 10^{-5} \times 10^{2.5}$$。

夜间噪声级为 $$40 = 10 \lg \left( \frac{x_2}{2 \times 10^{-5}} \right)^2 \Rightarrow x_2 = 2 \times 10^{-5} \times 10^{2}$$。

$$\frac{x_1}{x_2} = 10^{0.5} = \sqrt{10}$$。因此答案为 A。

6. 解析：观察数据，$$y$$ 随 $$x$$ 增大而快速增长，符合指数函数特征。因此答案为 D。