常见函数的零点-函数的应用（二）知识点专题进阶选择题自测题答案-重庆市等高一数学必修,平均正确率44.00000000000001%

1、['列表法'， '常见函数的零点'， '函数零点的值或范围问题']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{，}{g}{(}{x}{)}}$$的函数值如下表：

$${{x}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{f}{(}{x}{)}}$$	$${{2}}$$	$${{0}}$$	$${{3}}$$	$${{1}}$$

$${{x}}$$	$${{0}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$
$${{g}{(}{x}{)}}$$	$${{2}}$$	$${{1}}$$	$${{0}}$$	$${{3}}$$

则函数$${{y}{=}{f}{[}{g}{(}{x}{)}{]}}$$的零点是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

2、['常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知$${{f}{（}{x}{+}{1}{）}{=}{f}{（}{x}{−}{1}{）}{，}{f}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{−}{x}{+}{2}{）}}$$，方程$${{f}{（}{x}{）}{=}{0}}$$在$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$内有且只有一个根$$\frac{1} {2}，$$则$${{f}{（}{x}{）}{=}{0}}$$在区间$${{[}{0}{，}{{2}{0}{1}{4}}{]}}$$内根的个数为（）

A.$${{1}{0}{0}{6}}$$

B.$${{1}{0}{0}{7}}$$

C.$${{2}{0}{1}{3}}$$

D.$${{2}{0}{1}{4}}$$

3、['利用导数讨论函数单调性'， '常见函数的零点'， '函数单调性的判断'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知实数$${{a}{>}{0}}$$，函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {e^{x-1}+\frac{a} {2}， \enspace x < 0} \\ {e^{x-1}+\frac{a} {2} x^{2}-( a+1 ) x+\frac{a} {2}， \enspace x \geqslant0} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f [-f ( x ) ]=e^{-a}+\frac{a} {2}$$有三个不等的实根，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， ~ 2+\frac{2} {e} )$$

B.$$( 2， ~ 2+\frac{2} {e} )$$

C.$$( 1， ~ 1+\frac{1} {e} )$$

D.$$( 2， ~ 2+\frac{1} {e} )$$

4、['函数的周期性'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率60.0%已知以$${{T}{=}{4}}$$为周期的函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{} 1-x^{2}， x \in(-1， 1 ]} \\ {} & {{} m ( 1-| x-2 | )， x \in( 1， 3 ]} \\ \end{aligned} \right.$$，其中$${{m}{>}{0}}$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{3}{f}{(}{x}{)}{−}{x}}$$恰有$${{5}}$$个不同零点，则实数，$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 2， \frac{8} {3} )$$

B.$$( 2， \frac{1 0} {3} )$$

C.$$( \frac{2} {3}， 2 )$$

D.$$( \frac{4} {3}， \frac{8} {3} )$$

5、['常见函数的零点'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%设$${{f}{（}{x}{）}{=}{|}{l}{n}{x}{|}}$$，若函数$${{g}{（}{x}{）}{=}{f}{（}{x}{）}{−}{a}{x}}$$在区间$${（{0}{，}{3}{]}}$$上有三个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$( 0， ~ \frac{1} {e} )$$

B.$$( \frac{l n 3} {3}， \mathit{\rho} e )$$

C.$$( \ 0， \ \frac{l n 3} {3} ]$$

D.$$[ \frac{l n 3} {3}， ~ \frac{1} {e} )$$

6、['常见函数的零点'， '函数零点的值或范围问题']

正确率40.0%程$$4^{x}-\frac{6} {x}-5=0$$的根$$x_{0} \in[ k-\frac{1} {2}， k+\frac{1} {2} ]， \， \， \， k \in Z$$，则$${{k}}$$的值为（$${）}$$．

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

7、['导数与单调性'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\frac{x e^{x}} {a}-x^{2}-2 x-3. \; \; ( a < 0 )$$，若$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$有两个零点，则$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\frac{1} {2 e}， 0 )$$

B.$$[-\frac{1} {2 e}， 0 )$$

C.$$(-\infty，-\frac{1} {2 e} )$$

D.$$(-\infty，-\frac{1} {2 e} ]$$

8、['常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率40.0%函数$$f ( x )=\frac{1} {2} l n x+x^{2}-6 x+8$$在区间$${（{2}{，}{4}{）}}$$内的零点个数是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

9、['指数（型）函数的单调性'， '常见函数的零点']

正确率40.0%设有下面四个命题：$$①$$.其中真命题为

A.$${①{②}}$$

B.$${②{③}}$$

C.$${①{④}}$$

D.$${③{④}}$$

10、['常见函数的零点'， '对数的运算性质'， '分段函数求值'， '函数零点个数的判定']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {} & {| \operatorname{l o g}_{2} x |+1， x > 0} \\ {} & {x+4， x \leqslant0} \\ \end{array} \right.$$，则$${{y}{=}{f}{(}{f}{(}{x}{)}{)}{−}{3}}$$的零点个数为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

1. 解析：

要求函数 $$y = f[g(x)]$$ 的零点，即解 $$f[g(x)] = 0$$。根据表格：

- 当 $$x = 0$$ 时，$$g(0) = 2$$，$$f(2) = 3 \neq 0$$；

- 当 $$x = 1$$ 时，$$g(1) = 1$$，$$f(1) = 0$$；

- 当 $$x = 2$$ 时，$$g(2) = 0$$，$$f(0) = 2 \neq 0$$；

- 当 $$x = 3$$ 时，$$g(3) = 3$$，$$f(3) = 1 \neq 0$$。

因此，零点为 $$x = 1$$，选 B。

2. 解析：

由 $$f(x+1) = f(x-1)$$，知 $$f(x)$$ 周期为 2；由 $$f(x) = f(-x+2)$$，知对称轴为 $$x = 1$$。

在 $$[0, 1]$$ 内仅有一个根 $$\frac{1}{2}$$，由对称性和周期性，每个周期 $$[2k, 2k+2]$$ 内有两个根 $$2k + \frac{1}{2}$$ 和 $$2k + \frac{3}{2}$$。

区间 $$[0, 2014]$$ 包含 1007 个周期，故根的个数为 $$1007 \times 2 - 1 = 2013$$（最后一个周期不完整），选 C。

3. 解析：

方程 $$f[-f(x)] = e^{-a} + \frac{a}{2}$$ 有三个不等的实根。先分析 $$f(x)$$：

- 当 $$x < 0$$ 时，$$f(x) = e^{x-1} + \frac{a}{2}$$ 单调递增，值域为 $$(\frac{a}{2}, e^{-1} + \frac{a}{2})$$；

- 当 $$x \geq 0$$ 时，$$f(x) = e^{x-1} + \frac{a}{2}x^2 - (a+1)x + \frac{a}{2}$$，求导得极值点 $$x = 1$$ 或 $$x = \frac{a+1}{a}$$。

要求方程有三个解，需 $$e^{-a} + \frac{a}{2}$$ 落在 $$f(x)$$ 的合适范围内，解得 $$a \in (2, 2 + \frac{2}{e})$$，选 B。

4. 解析：

函数 $$g(x) = 3f(x) - x$$ 有 5 个零点。由周期性，只需分析 $$x \in (-1, 3]$$：

- 在 $$(-1, 1]$$ 上，$$g(x) = 3(1 - x^2) - x$$ 为二次函数，最多两个零点；

- 在 $$(1, 3]$$ 上，$$g(x) = 3m(1 - |x - 2|) - x$$，需满足 $$g(3) < 0$$ 且 $$g(1^+) > 0$$，解得 $$m \in (2, \frac{10}{3})$$，选 B。

5. 解析：

函数 $$g(x) = |\ln x| - a x$$ 在 $$(0, 3]$$ 上有三个零点。分析交点：

- 当 $$x \in (0, 1]$$，$$g(x) = -\ln x - a x$$，需 $$a > 0$$ 且 $$g(1^-) = 0^-$$；

- 当 $$x \in (1, 3]$$，$$g(x) = \ln x - a x$$，需在 $$(1, 3]$$ 上有两个零点，即 $$a \in [\frac{\ln 3}{3}, \frac{1}{e})$$，选 D。

6. 解析：

方程 $$4^x - \frac{6}{x} - 5 = 0$$ 的根 $$x_0$$ 满足 $$x_0 \in [k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2}]$$。通过数值估算：

- 当 $$k = 1$$ 时，$$x_0 \approx 1.2$$ 满足方程，选 B。

7. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{x e^x}{a} - x^2 - 2x - 3$$ 有两个零点。求导分析极值：

- 令 $$f'(x) = \frac{e^x (x + 1)}{a} - 2x - 2 = 0$$，解得极值点 $$x = -1$$ 或 $$x = \ln(-2a)$$；

- 需 $$f(-1) > 0$$ 且 $$f(\ln(-2a)) < 0$$，解得 $$a \in (-\frac{1}{2e}, 0)$$，选 A。

8. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{1}{2} \ln x + x^2 - 6x + 8$$ 在 $$(2, 4)$$ 内的零点。求导：

- $$f'(x) = \frac{1}{2x} + 2x - 6$$，在 $$(2, 4)$$ 内单调递增；

- $$f(2) = \ln 2 > 0$$，$$f(3) = \frac{1}{2} \ln 3 - 1 < 0$$，$$f(4) = \ln 2 > 0$$，故有两个零点，选 C。

9. 解析：

题目描述不完整，无法判断选项。

10. 解析：

函数 $$y = f(f(x)) - 3$$ 的零点。分情况讨论：

- 当 $$x \leq -4$$，$$f(x) = x + 4 \leq 0$$，$$f(f(x)) = (x + 4) + 4 = x + 8$$，解 $$x + 8 = 3$$ 得 $$x = -5$$；

- 当 $$-4 < x \leq 0$$，$$f(x) = x + 4 \in (0, 4]$$，$$f(f(x)) = |\log_2 (x + 4)| + 1$$，解 $$|\log_2 (x + 4)| = 2$$ 得 $$x = -3$$ 或 $$x = 0$$；

- 当 $$x > 0$$，$$f(x) = |\log_2 x| + 1$$，再分情况解得 $$x = \frac{1}{2}$$ 或 $$x = 2$$ 或 $$x = 4$$。

共有 5 个零点，选 C。

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