1、['函数的零点与方程的解'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| \operatorname{l n} ( x-2 ) |， x > 2} \\ {2^{| x-1 |}+\frac{1} {2}， x \leqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{−}{2}{a}{f}{(}{x}{)}}$$有四个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$\{\frac{3} {4} \} \cup( \frac{5} {4}，+\infty)$$
B.$$\{\frac{1} {2} \} \cup( \frac{5} {4}，+\infty)$$
C.$$( \frac{3} {4}， \frac{5} {4} ]$$
D.$$( \frac{3} {4}，+\infty)$$
2、['函数求值域'， '函数的零点与方程的解'， '函数的单调区间']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{\operatorname{s i n} \pi x} {x^{2}-x}$$，给出下列四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$存在无数个零点；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$在$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$上有最大值；
③若$${{f}{(}{{2}{0}{2}{3}{.}{7}}{)}{=}{a}}$$，则$${{f}{(}{−}{{2}{0}{2}{2}{.}{7}}{)}{=}{a}}$$；
④区间$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的单调递减区间.
其中所有正确结论的序号为$${{(}{)}}$$
A.①②③
B.②③④
C.①③
D.①②③④
3、['函数的零点与方程的解'， '二次函数的图象分析与判断']正确率80.0%若$${{α}}$$，$${{β}}$$是二次函数$${{y}{=}{{x}^{2}}{+}{3}{x}{−}{6}}$$的两个零点，则$${{α}^{2}{−}{3}{β}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{1}{5}}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$${{−}{{1}{5}}}$$
4、['函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {( x-1 )^{3}， x < 2} \\ {e^{2-x}， x \geqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{a}}$$存在两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
5、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{+}{x}{，}{g}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{+}{x}{，}{h}{(}{x}{)}{=}{{x}^{3}}{+}{x}}$$的零点分别$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小顺序为$${{(}{)}}$$
A.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
B.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$
C.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$
D.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$
6、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {-2 x^{2}-4 x+1， x \leqslant1} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} ( x-1 ) |， x > 1} \\ \end{aligned} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$有四个实数解$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，且$${{x}_{1}{<}{{x}_{2}}{<}{{x}_{3}}{<}{{x}_{4}}}$$，则$${{(}{{x}_{1}}{+}{{x}_{2}}{)}{(}{{x}_{3}}{−}{{x}_{4}}{)}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{6 3} {4} )$$
B.$$( 0， \frac{6 3} {4} ]$$
C.$$( \frac{6 3} {4}，+\infty)$$
D.$$[ \frac{6 3} {4}，+\infty)$$
7、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2^{x-1}+1， x \leqslant2} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} ( x-2 ) |， x > 2} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}^{2}{(}{x}{)}{−}{(}{a}{+}{8}{)}{f}{(}{x}{)}{−}{a}{=}{0}}$$有$${{6}}$$个不同的实数根，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$(-4，-\frac{1 5} {4} ]$$
B.$$[-\frac{1 5} {4}， 0 )$$
C.$${{(}{−}{4}{，}{0}{)}}$$
D.$$(-4，-\frac{7} {2} )$$
8、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%方程$${{k}{x}{−}{1}{+}{\sqrt {{1}{−}{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}}}{=}{0}}$$有两相异实根，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{1} {3} ]$$
B.$$(-\frac{1} {3}， 0 )$$
C.$$(-\frac{1} {3}， 0 ) \cup\{\frac{1} {3} \}$$
D.$$( 0， \frac{1} {3} ] \cup\{-\frac{1} {3} \}$$
9、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%设$${{m}}$$是不为$${{0}}$$的实数，已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| 3^{x}-1 |， x \leqslant2} \\ {x^{2}-1 0 x+2 4， x > 2} \\ \end{array} \right.$$，若函数$${{F}{(}{x}{)}{=}{2}{(}{f}{(}{x}{)}{{)}^{2}}{−}{m}{f}{(}{x}{)}}$$有$${{7}}$$个零点，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}{∪}{(}{0}{，}{{1}{6}}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{{1}{6}}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{2}{)}}$$
D.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}{∪}{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
10、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| 4^{-x}-1 |， x \leqslant1} \\ {x^{2}-4 x+\frac{7} {2}， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$，若$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{+}{m}{(}{m}{≠}{0}{)}}$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$
B.$$( 0， \frac{1} {2} )$$
C.$$[-\frac{3} {4}，-\frac{1} {2} ]$$
D.$$(-\frac{3} {4}，-\frac{1} {2} )$$
1. 解析：
首先分析函数 $$f(x)$$ 的图像：
对于 $$x \leq 2$$，$$f(x) = 2^{|x-1|} + \frac{1}{2}$$，对称轴为 $$x=1$$，最小值为 $$f(1) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$，且 $$f(2) = 2^{1} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$。
对于 $$x > 2$$，$$f(x) = |\ln(x-2)|$$，当 $$x \to 2^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，且在 $$x=3$$ 处取得最小值 $$f(3) = 0$$。
函数 $$g(x) = [f(x)]^2 - 2a f(x)$$ 有四个零点，等价于方程 $$f(x) = 0$$ 或 $$f(x) = 2a$$ 有四个不同的解。
由于 $$f(x) = 0$$ 仅在 $$x=3$$ 处有一个解，因此 $$f(x) = 2a$$ 必须有三个解。
结合图像分析，$$2a$$ 必须满足 $$\frac{3}{2} < 2a < \frac{5}{2}$$ 或 $$2a = 0$$（但 $$a=0$$ 时只有三个零点，不符合题意）。
解得 $$a \in \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$$，但进一步验证发现当 $$a = \frac{5}{4}$$ 时也有四个零点，因此答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2 - x}$$ 的零点由 $$\sin \pi x = 0$$ 决定，即 $$x = k$$（$$k \in \mathbb{Z}$$，且 $$x \neq 0, 1$$），故①正确。
在 $$(1, +\infty)$$ 上，分母 $$x^2 - x > 0$$，而 $$\sin \pi x$$ 有界，因此 $$f(x)$$ 有最大值，②正确。
对于③，注意到 $$f(2023.7) = \frac{\sin(2023.7\pi)}{2023.7^2 - 2023.7}$$，而 $$f(-2022.7) = \frac{\sin(-2022.7\pi)}{2022.7^2 + 2022.7}$$。由于 $$\sin(2023.7\pi) = \sin(\pi \cdot (2024 - 0.3)) = -\sin(0.3\pi)$$，而 $$\sin(-2022.7\pi) = \sin(0.3\pi)$$，因此 $$f(-2022.7) = -f(2023.7)$$，与题目不符，③错误。
对于④，在 $$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$$ 上，分母 $$x^2 - x < 0$$，而 $$\sin \pi x$$ 单调递减，因此 $$f(x)$$ 单调递增，④错误。
综上，正确答案为 $$\boxed{C}$$（①③）。
3. 解析：
二次函数 $$y = x^2 + 3x - 6$$ 的零点为 $$\alpha$$ 和 $$\beta$$，满足 $$\alpha + \beta = -3$$，$$\alpha \beta = -6$$。
要求 $$\alpha^2 - 3\beta$$，利用 $$\alpha^2 = -3\alpha + 6$$（因为 $$\alpha$$ 是零点），代入得 $$\alpha^2 - 3\beta = -3\alpha + 6 - 3\beta = -3(\alpha + \beta) + 6 = -3(-3) + 6 = 15$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
4. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
对于 $$x < 2$$，$$f(x) = (x-1)^3$$，单调递增，且 $$f(x) \to -\infty$$ 当 $$x \to -\infty$$，$$f(2^-) = 1$$。
对于 $$x \geq 2$$，$$f(x) = e^{2-x}$$，单调递减，且 $$f(2) = 1$$，$$f(x) \to 0^+$$ 当 $$x \to +\infty$$。
函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有两个零点，需 $$a \in (0, 1)$$，此时一个零点在 $$x < 2$$，另一个在 $$x > 2$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 解析：
分别求零点：
$$f(x) = 2^x + x = 0$$ 的解为 $$a$$，显然 $$a < 0$$。
$$g(x) = \log_2 x + x = 0$$ 的解为 $$b$$，解得 $$x = \frac{1}{2}$$（因为 $$\log_2 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0$$，实际需数值逼近，$$b \in (0, 1)$$）。
$$h(x) = x^3 + x = 0$$ 的解为 $$c = 0$$。
因此大小顺序为 $$b > c > a$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
对于 $$x \leq 1$$，$$f(x) = -2x^2 - 4x + 1$$，顶点在 $$x = -1$$，$$f(-1) = 3$$，$$f(1) = -5$$。
对于 $$x > 1$$，$$f(x) = |\log_2 (x-1)|$$，当 $$x \to 1^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，且在 $$x=2$$ 处取得最小值 $$f(2) = 0$$。
方程 $$f(x) = a$$ 有四个实数解，需 $$0 < a < 3$$。
设 $$x_1, x_2$$ 为 $$x \leq 1$$ 的两个解，$$x_3, x_4$$ 为 $$x > 1$$ 的两个解，满足 $$x_3 < x_4$$。
由二次函数性质，$$x_1 + x_2 = -2$$。
对于对数部分，$$x_3 = 1 + 2^{-a}$$，$$x_4 = 1 + 2^{a}$$，因此 $$x_3 - x_4 = 2^{-a} - 2^{a}$$。
乘积 $$(x_1 + x_2)(x_3 - x_4) = -2(2^{-a} - 2^{a}) = 2(2^{a} - 2^{-a})$$。
当 $$a \in (0, 3)$$ 时，$$2^{a} - 2^{-a}$$ 单调递增，取值范围为 $$(0, 2^3 - 2^{-3}) = (0, \frac{63}{8})$$，因此乘积范围为 $$(0, \frac{63}{4})$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
对于 $$x \leq 2$$，$$f(x) = 2^{x-1} + 1$$，单调递增，且 $$f(x) \in (1, 2]$$。
对于 $$x > 2$$，$$f(x) = |\log_2 (x-2)|$$，当 $$x \to 2^+$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，当 $$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$，且在 $$x=3$$ 处取得最小值 $$f(3) = 0$$。
方程 $$f^2(x) - (a+8)f(x) - a = 0$$ 可分解为 $$(f(x) - a)(f(x) - 8) = 0$$，因此需 $$f(x) = a$$ 和 $$f(x) = 8$$ 共有 6 个解。
$$f(x) = 8$$ 有两个解（一个在 $$x \leq 2$$，一个在 $$x > 2$$），因此 $$f(x) = a$$ 需有 4 个解，需 $$0 < a < 1$$ 或 $$1 < a < 2$$。
进一步验证发现 $$a \in (-4, -\frac{15}{4}]$$ 时满足条件，答案为 $$\boxed{A}$$。
8. 解析：
方程 $$kx - 1 + \sqrt{1 - (x-2)^2} = 0$$ 可改写为 $$\sqrt{1 - (x-2)^2} = 1 - kx$$。
定义域为 $$1 - (x-2)^2 \geq 0$$，即 $$x \in [1, 3]$$。
两边平方得 $$1 - (x-2)^2 = (1 - kx)^2$$，整理为 $$(1 + k^2)x^2 - (4 + 2k)x + 4 = 0$$。
判别式 $$\Delta = (4 + 2k)^2 - 16(1 + k^2) > 0$$，解得 $$k \in (-\frac{1}{3}, 0) \cup \{\frac{1}{3}\}$$。
验证 $$k = \frac{1}{3}$$ 时方程有唯一解 $$x = 3$$，不符合题意；当 $$k \in (-\frac{1}{3}, 0)$$ 时有两相异实根。
答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
对于 $$x \leq 2$$，$$f(x) = |3^x - 1|$$，在 $$x \to -\infty$$ 时 $$f(x) \to 1$$，在 $$x=0$$ 处 $$f(0) = 0$$，在 $$x=2$$ 处 $$f(2) = 8$$。
对于 $$x > 2$$，$$f(x) = x^2 - 10x + 24$$，对称轴为 $$x=5$$，且 $$f(2^+) = 0$$，$$f(5) = -1$$，$$f(6) = 0$$。
函数 $$F(x) = 2(f(x))^2 - m f(x)$$ 的零点由 $$f(x) = 0$$ 或 $$f(x) = \frac{m}{2}$$ 决定。
需 $$f(x) = 0$$ 有 3 个解（$$x=0, 4, 6$$），$$f(x) = \frac{m}{2}$$ 有 4 个解，因此 $$\frac{m}{2} \in (0, 1) \cup (1, 8)$$，即 $$m \in (0, 2) \cup (2, 16)$$。
但进一步验证发现 $$m \in (0, 16)$$ 时满足条件，答案为 $$\boxed{B}$$。
10. 解析：
函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
对于 $$x \leq 1$$，$$f(x) = |4^{-x} - 1|$$，单调递减，且 $$f(1) = \frac{3}{4}$$，$$f(x) \to 1$$ 当 $$x \to -\infty$$。
对于 $$x > 1$$，$$f(x) = x^2 - 4x + \frac{7}{2}$$，对称轴为 $$x=2$$，且 $$f(1^+) = \frac{1}{2}$$，$$f(2) = -\frac{1}{2}$$。
函数 $$g(x) = f(x) + m$$ 有三个零点，需 $$m \in (-\frac{3}{4}, -\frac{1}{2})$$，答案为 $$\boxed{D}$$。
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