.jpg)
正确率60.0%朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为$$A=\mathrm{l g} \frac{1} {T}=K b c，$$其中$${{A}}$$为吸光度$${，{T}}$$为透光度$${，{K}}$$为摩尔吸光系数$${，{c}}$$为溶液的浓度$${{(}}$$单位：$$\mathrm{m o l / L} )， \， \， b$$为液层厚度$${{(}}$$单位：$${{c}{m}{)}}$$．现保持$${{K}{，}{b}}$$不变，当溶液的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的$${{T}}$$变为（）
C
A.$${{4}{T}}$$
B.$${{2}{{T}^{2}}}$$
C.$${{T}^{2}}$$
D.$${{2}{T}}$$
2、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车$$\mathbf{. 2 0 1 9}$$年$${{1}{2}}$$月$${{3}{0}}$$日
智能复兴号动车组在京张高铁实现时速$${{3}{5}{0}{{k}{m}}}$$自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强$${{I}}$$(单位：$$\mathrm{W / m^{2} )}$$表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级$${{L}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$与声强$${{I}}$$的函数关系式为$$L=1 0 \mathrm{l g} ( a I )，$$当$$I=1 0^{1 3} \， \mathrm{W / m}^{2}$$时，$$L=1 0 \mathrm{d B}$$.若要将某列车的声强级降低$${{3}{0}{{d}{B}}{，}}$$则该列车的声强应变为原声强的（）
C
A.$$1 0^{-5}$$
B.$$1 0^{-4}$$
C.$$1 0^{-3}$$
D.$$1 0^{-2}$$
3、['对数型函数模型的应用'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：$$C=W \mathrm{l o g}_{2} \left( 1+\frac{S} {N} \right)，$$其中$${{C}}$$为最大信息传送速率，单位为$$\mathrm{b i t / s}， ~ W$$为信道带宽，单位为$$\mathrm{H z}， ~ \frac{S} {N}$$叫作信噪比.当$${\frac{S} {N}}=9 9， ~ W=2 0 0 0 \mathrm{H z}$$时，最大信息传送速率记为$${{C}_{1}}$$；当$${\frac{S} {N}}=9 9 9 9， ~ W=3 0 0 0 \mathrm{H z}$$时，最大信息传送速率记为$${{C}_{2}}$$.则$$\frac{C_{2}} {C_{1}}=$$（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$$\frac{1 5} {4}$$
D.$${{3}}$$
4、['一次函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%北京时间$${{2}{0}{2}{1}}$$年$${{1}{0}}$$月$${{1}{6}}$$日$${{0}}$$时$${{2}{3}}$$分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号$${{F}}$$遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平$${{.}}$$在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，可以用公式$$v=v_{0} \cdot\operatorname{l n} ( 1+\frac M m )$$计算火箭的最大速度$$v ( m / s )$$，其中$$v_{0} ( m / s )$$是喷流相对速度，$$m ( k g )$$是火箭$${{(}}$$除推进剂外$${{)}}$$的质量，$$M ( k g )$$是推进剂与火箭质量的总和，$$\frac{M} {m}$$称为总质比，当总质比较大时，$$1+\frac{M} {m}$$用$$\frac{M} {m}$$近似计算$${{.}}$$若将火箭的总质比从$${{5}{0}{0}}$$提升到$${{1}{0}{0}{0}}$$，则其最大速度$${{v}}$$大约增加了$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0$$，$$\operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7 1 )$$
B
A.$${{5}{％}}$$
B.$${{1}{1}{％}}$$
C.$${{2}{0}{％}}$$
D.$${{3}{0}{％}}$$
5、['指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用'， '散点图与正相关、负相关'， '反比例函数模型的应用']正确率60.0%在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
| $${{x}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{0}{.}{2}{4}}$$ | $${{0}{.}{5}{1}}$$ | $${{2}{.}{0}{2}}$$ | $${{3}{.}{9}{8}}$$ | $${{8}{.}{0}{2}}$$ |
D
A.$$y=a+b x$$
B.$$y=a+\frac{b} {x}$$
C.$$y=a+\operatorname{l o g}_{b} x$$
D.$$y=a+b^{x}$$
6、['对数型函数模型的应用'， '函数y=A cos(wx+φ)（A≠0，w不等于0）的图象及性质'， '函数零点的概念'， '函数零点个数的判定']正确率40.0%函数$$f ( x )=\operatorname{c o s} x-| l g x |$$零点的个数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
7、['建立函数模型解决实际问题'， '对数型函数模型的应用']正确率60.0%安徽怀远石榴$$( \emph{P u n i c a g r a n a t u m} )$$自古就有$${{“}}$$九州之奇树，天下之名果$${{”}}$$的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现$${{1}{0}{0}}$$万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过$${{6}}$$万元时，按销售利润进行奖励，且奖金$${{y}{（}}$$单位：万元）随销售利润$${{x}{（}}$$单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过$${{3}}$$万元，同时奖金不能超过利润的$${{2}{0}{%}{.}}$$同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（）（参考数据：
D
A.$${{y}{=}{{0}{.}{0}{4}}{x}}$$
B.$$y=1. 0 1 5^{x}-1$$
C.$$y=\operatorname{t a n} \left( \frac{x} {1 9}-1 \right)$$
D.$$y=\operatorname{l o g}_{1 1} {( 3 x-1 0 )}$$
8、['一次函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{1}{1}}$$月$${{2}{4}}$$日凌晨$${{4}}$$时$${{3}{0}}$$分，中国文昌航天发射场又一次“重量级”发射举世瞩目$${{.}}$$长征五号遥五运载火箭点火升空，托举嫦娥五号探测器至地月转移轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅$${{.}}$$已知火箭的最大速度$${{v}{(}}$$单位：$$k m / s )$$和燃料质量$${{M}{(}}$$单位：$${{k}{g}{)}}$$、火箭质量$${{m}{(}}$$单位：$${{k}{g}{)}}$$的关系是$$v=2 \ 0 0 0 \operatorname{l n} \Bigl( 1+\frac M m \Bigr).$$若火箭的最大速度为$$9 \， 2 4 0 \， k m / s$$，则$$\frac{M} {m} \approx($$参考数值：$$e^{4. 6 2} \approx1 0 1 ) ( \mathrm{\qquad} )$$
D
A.$$\frac{1} {1 0 0}$$
B.$$\frac{1} {1 0}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{0}{0}}$$
9、['一次函数模型的应用'， '二次函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
| $${{x}}$$ | $${{1}{.}{0}}$$ | $${{2}{.}{0}}$$ | $${{4}{.}{0}}$$ | $${{8}{.}{0}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{0}{.}{0}{1}}$$ | $${{0}{.}{9}{9}}$$ | $${{2}{.}{0}{2}}$$ | $${{3}}$$ |
现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是 $${{(}{)}}$$
A
A.$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$
B.$${{y}{=}{{2}^{x}}}$$
C.$$y=x^{2}+2 x-3$$
D.$$y=2 x-3$$
10、['对数型函数模型的应用']正确率80.0%$${{2}{0}{2}{1}}$$年$${{1}{0}}$$月$${{1}{6}}$$日$${{0}}$$时$${{2}{3}}$$分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号$${{F}}$$遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射， 顺利将翟志刚、王亚平、叶光富$${{3}}$$名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功$${{.}}$$火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级$$d ( x ) ($$单位：$${{d}{B}{)}}$$与声强$${{x}{(}}$$单位：$${{W}{/}{{m}^{2}}{)}}$$满足$$d ( x )=1 0 \operatorname{l g} \frac{x} {1 0^{-1 2}}.$$若人交谈时的声强级约为$${{5}{0}{d}{B}}$$，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为$${{1}{0}^{9}}$$，则火箭发射时的声强级约为$${{(}{)}}$$
B
A.$$1 3 0 d B$$
B.$$1 4 0 d B$$
C.$$1 5 0 d B$$
D.$$1 6 0 d B$$
1. 根据朗伯比尔定律，吸光度 $$A$$ 与透光度 $$T$$ 的关系为 $$A = \lg \frac{1}{T} = Kbc$$。当浓度 $$c$$ 变为原来的两倍时，新的吸光度 $$A' = Kb(2c) = 2A$$。因此，新的透光度 $$T'$$ 满足 $$2A = \lg \frac{1}{T'}$$，即 $$\frac{1}{T'} = 10^{2A} = \left(10^A\right)^2 = \left(\frac{1}{T}\right)^2$$，所以 $$T' = T^2$$。正确答案是 $$\boxed{C}$$。
2. 根据声强级公式 $$L = 10 \lg (a I)$$，当 $$I = 10^{-13} \, \mathrm{W/m^2}$$ 时，$$L = 10 \, \mathrm{dB}$$，代入得 $$10 = 10 \lg (a \cdot 10^{-13})$$，解得 $$a = 10^{12}$$。设原声强为 $$I_0$$，降低后的声强为 $$I'$$，则 $$10 \lg (10^{12} I') = 10 \lg (10^{12} I_0) - 30$$，化简得 $$\lg I' = \lg I_0 - 3$$，即 $$I' = 10^{-3} I_0$$。正确答案是 $$\boxed{C}$$。
3. 根据香农公式 $$C = W \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right)$$，计算 $$C_1$$ 和 $$C_2$$：
$$C_1 = 2000 \log_2 (1 + 99) = 2000 \log_2 100 \approx 2000 \times 6.644 = 13288 \, \mathrm{bit/s}$$，
$$C_2 = 3000 \log_2 (1 + 9999) = 3000 \log_2 10000 \approx 3000 \times 13.288 = 39864 \, \mathrm{bit/s}$$。
因此 $$\frac{C_2}{C_1} \approx \frac{39864}{13288} \approx 3$$。正确答案是 $$\boxed{D}$$。
4. 火箭的最大速度公式为 $$v = v_0 \ln \left(1 + \frac{M}{m}\right)$$。当总质比从 $$500$$ 提升到 $$1000$$ 时，速度增加量为 $$\Delta v = v_0 \ln 1000 - v_0 \ln 500 = v_0 \ln 2$$。原速度为 $$v_0 \ln 500$$，增加比例为 $$\frac{\Delta v}{v_0 \ln 500} = \frac{\ln 2}{\ln 500} \approx \frac{0.693}{6.215} \approx 0.111$$，即约 $$11\%$$。正确答案是 $$\boxed{B}$$。
5. 观察数据点 $$(x, y)$$ 的变化趋势，$$y$$ 随 $$x$$ 的增大呈指数增长，因此最合适的模型是 $$y = a + b^x$$。正确答案是 $$\boxed{D}$$。
6. 函数 $$f(x) = \cos x - |\lg x|$$ 的零点个数可通过图像分析。$$\cos x$$ 在 $$(0, \pi/2)$$ 和 $$(3\pi/2, 2\pi)$$ 等区间内与 $$|\lg x|$$ 相交，具体计算可得共有 $$4$$ 个交点。正确答案是 $$\boxed{B}$$。
7. 根据题意，奖金 $$y$$ 需满足 $$y \leq 3$$ 且 $$y \leq 0.2x$$，同时 $$y$$ 随 $$x$$ 增加而增加。选项 D 满足 $$y = \log_{11} (3x - 10)$$ 在 $$x > 6$$ 时单调递增且渐近线为 $$y = \log_{11} (3 \times 100 - 10) \approx 2.8 < 3$$，同时 $$y \leq 0.2x$$。正确答案是 $$\boxed{D}$$。
8. 根据火箭速度公式 $$v = 2000 \ln \left(1 + \frac{M}{m}\right)$$，代入 $$v = 9240 \, \mathrm{km/s}$$ 得 $$\ln \left(1 + \frac{M}{m}\right) = 4.62$$，即 $$1 + \frac{M}{m} = e^{4.62} \approx 101$$，所以 $$\frac{M}{m} \approx 100$$。正确答案是 $$\boxed{D}$$。
9. 观察数据点 $$(x, y)$$ 的变化趋势，$$y$$ 随 $$x$$ 的增大呈对数增长，因此最合适的模型是 $$y = \log_2 x$$。正确答案是 $$\boxed{A}$$。
10. 设人交谈时的声强为 $$x_0$$，火箭发射时的声强为 $$10^9 x_0$$。根据声强级公式，火箭发射时的声强级为 $$d(10^9 x_0) = 10 \lg \left(\frac{10^9 x_0}{10^{-12}}\right) = 10 \lg (10^{21} x_0)$$。已知人交谈时的声强级为 $$50 \, \mathrm{dB}$$，即 $$10 \lg \left(\frac{x_0}{10^{-12}}\right) = 50$$，解得 $$x_0 = 10^{-7} \, \mathrm{W/m^2}$$。代入得 $$d(10^9 x_0) = 10 \lg (10^{21} \times 10^{-7}) = 10 \lg 10^{14} = 140 \, \mathrm{dB}$$。正确答案是 $$\boxed{B}$$。