1、['函数的零点与方程的解'， '根据函数零点个数求参数范围']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| \operatorname{l n} ( x-2 ) |， x > 2} \\ {2^{| x-1 |}+\frac{1} {2}， x \leqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{−}{2}{a}{f}{(}{x}{)}}$$有四个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$\{\frac{3} {4} \} \cup( \frac{5} {4}，+\infty)$$
B.$$\{\frac{1} {2} \} \cup( \frac{5} {4}，+\infty)$$
C.$$( \frac{3} {4}， \frac{5} {4} ]$$
D.$$( \frac{3} {4}，+\infty)$$
2、['函数图象的识别'， '函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{+}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$，$$g ( x )=2^{-x}+\operatorname{l o g}_{2} x$$，$${{h}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{⋅}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{−}{1}}$$的零点分别为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$，则$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$的大小关系为$${{(}{)}}$$
A.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
B.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$
C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
D.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
3、['三角函数的图象与性质'， '函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']正确率80.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{s}{i}{n}}{x}{−}{{l}{g}}{x}}$$的零点个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
4、['函数的零点与方程的解'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {e^{x}，} & {x \leqslant0} \\ {\operatorname{l n} x，} & {x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{+}{x}{−}{m}}$$恰有两个不同的零点，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
C.$${{[}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{]}}$$
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '函数的零点与方程的解']正确率80.0%已知二次方程$$2 x^{2}+a x+\frac{1} {2}=0$$的一个根为$${{1}}$$，则另一个根为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
6、['三角函数的图象与性质'， '函数的概念'， '函数的零点与方程的解']正确率40.0%函数$${{y}{=}{{1}{0}}{{s}{i}{n}}{x}}$$与函数$${{y}{=}{x}}$$的图像的交点个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{9}}$$
7、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}}$$若$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {2^{x} ( x \leqslant0 )} \\ {x^{2}-2 x+1} ( x > 0 )} \\ \end{aligned} \right.$$，$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{k}}$$有$${{3}}$$个零点，则实数$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{0}{，}{1}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
D.$${{(}{0}{，}{1}{]}}$$
8、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}-4 x-2， x \leqslant0，} \\ {} & {{} | \operatorname{l n} x |， x > 0，} \\ \end{aligned} \right.$$若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{3}{{f}^{2}}{(}{x}{)}{−}{(}{m}{+}{3}{)}{f}{(}{x}{)}{+}{m}}$$有$${{5}}$$个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{6}{)}}$$
C.$${{\{}{6}{\}}{∪}{(}{−}{∞}{，}{−}{6}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{6}{)}{∪}{(}{6}{，}{+}{∞}{)}}$$
9、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%若方程$$( \frac1 2 )^{x}=\operatorname{l o g}_{2} x$$的根为$${{x}_{1}}$$，方程$$( \frac1 2 )^{x}=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$的根为$${{x}_{2}}$$，则$${{(}{)}}$$
A.$${{0}{<}{{x}_{1}}{{x}_{2}}{<}{1}}$$
B.$${{x}_{1}{{x}_{2}}{>}{1}}$$
C.$${{1}{<}{{x}_{1}}{{x}_{2}}{<}{2}}$$
D.$${{x}_{1}{{x}_{2}}{⩾}{1}}$$
10、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x-3， x \leqslant0} \\ {-2+\operatorname{l n} x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{k}}$$恰有$${{3}}$$个不等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，则$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{+}{{x}_{3}}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$${{(}{−}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{{e}^{2}}{]}}$$
C.$$(-2+\frac{1} {e^{2}}，+\infty)$$
D.$$(-2+\frac{1} {e^{2}}，-2+\frac{1} {e} ]$$
1. 解析：首先分析函数$$f(x)$$的分段情况：
对于$$x > 2$$，$$f(x) = |\ln(x-2)|$$，当$$x \to 2^+$$时，$$f(x) \to +\infty$$；当$$x \to +\infty$$时，$$f(x) \to +\infty$$，且在$$x=3$$处取得最小值$$f(3)=0$$。
对于$$x \leq 2$$，$$f(x) = 2^{|x-1|} + \frac{1}{2}$$，当$$x=1$$时取得最小值$$f(1)=1.5$$，当$$x \to -\infty$$时，$$f(x) \to +\infty$$。
函数$$g(x) = [f(x)]^2 - 2a f(x)$$可以因式分解为$$g(x) = f(x)(f(x)-2a)$$，要求$$g(x)$$有四个不同的零点，即$$f(x)=0$$或$$f(x)=2a$$需共有四个解。
$$f(x)=0$$仅在$$x=3$$有一个解。因此$$f(x)=2a$$需有三个解，结合$$f(x)$$的图像分析，$$2a$$需满足$$1.5 < 2a < 2$$或$$2a > 2$$，即$$a \in \left(\frac{3}{4}, 1\right) \cup (1, +\infty)$$。但$$a=\frac{3}{4}$$时$$f(x)=1.5$$在$$x=1$$和$$x \leq 2$$的某点有重根，不满足四个不同零点。进一步验证$$a=\frac{5}{4}$$时$$f(x)=2.5$$有三个解。综上，$$a \in \left\{\frac{3}{4}\right\} \cup \left(\frac{5}{4}, +\infty\right)$$，故选A。
2. 解析：分别求$$f(x)=0$$，$$g(x)=0$$，$$h(x)=0$$的解：
对于$$f(x)=2^x + \log_2 x = 0$$，由于$$2^x > 0$$且$$\log_2 x$$在$$x>0$$时有定义，$$f(x)$$单调递增，且$$f\left(\frac{1}{2}\right)=2^{1/2}-1 < 0$$，$$f(1)=2+0>0$$，故$$a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$$。
对于$$g(x)=2^{-x} + \log_2 x = 0$$，$$g(1)=1>0$$，$$g\left(\frac{1}{2}\right)=2^{1/2}-1>0$$，$$g\left(\frac{1}{4}\right)=2^{1/4}-2<0$$，故$$b \in \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$$。
对于$$h(x)=2^x \log_2 x -1=0$$，$$h(1)=-1<0$$，$$h(2)=2 \cdot 1 -1=1>0$$，故$$c \in (1, 2)$$。
综上，$$b < a < c$$，故选A。
3. 解析：函数$$f(x)=\sin x - \lg x$$的零点个数：
由于$$\sin x \in [-1,1]$$，而$$\lg x$$在$$x>0$$时单调递增，当$$x \to 0^+$$时$$\lg x \to -\infty$$，当$$x=1$$时$$\lg x=0$$，当$$x=10$$时$$\lg x=1$$。
在$$(0,1]$$上，$$\sin x \geq \sin 1 \approx 0.84$$，而$$\lg x \leq 0$$，故无零点。
在$$(1, \pi]$$上，$$\sin x$$从$$\sin 1$$递减到$$0$$，$$\lg x$$从$$0$$递增到$$\lg \pi \approx 0.5$$，可能有一个交点。
在$$(\pi, 2\pi]$$上，$$\sin x$$为负，$$\lg x > 0$$，无零点。
在$$(2\pi, 3\pi]$$上，$$\sin x$$从$$0$$增至$$1$$又减至$$0$$，$$\lg x$$从$$\lg 2\pi \approx 0.8$$增至$$\lg 3\pi \approx 1$$，可能有两个交点。
综上，共有3个零点，故选A。
4. 解析：函数$$g(x)=f(x)+x-m$$的零点问题：
对于$$x \leq 0$$，$$g(x)=e^x + x - m$$，单调递增（导数为$$e^x +1 >0$$），且$$g(0)=1-m$$，$$g(-\infty)=-m$$，故在$$x \leq 0$$有一个零点当且仅当$$0 < m \leq 1$$。
对于$$x > 0$$，$$g(x)=\ln x + x - m$$，单调递增（导数为$$\frac{1}{x}+1>0$$），且$$g(0^+)=-\infty$$，$$g(+\infty)=+\infty$$，故在$$x>0$$有一个零点。
综上，$$g(x)$$恰有两个零点当且仅当$$0 < m \leq 1$$，故选C。
5. 解析：二次方程$$2x^2 + a x + \frac{1}{2}=0$$的一个根为$$1$$：
代入$$x=1$$得$$2 + a + \frac{1}{2}=0$$，解得$$a=-\frac{5}{2}$$。
由韦达定理，另一根为$$\frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1} = \frac{1}{4}$$，故选A。
6. 解析：函数$$y=10^{\sin x}$$与$$y=x$$的交点个数：
由于$$10^{\sin x} \in [10^{-1}, 10^1] = [0.1, 10]$$，而$$y=x$$在$$x \in [0.1, 10]$$内单调递增。
在$$x \in (0, \pi)$$上，$$\sin x$$从$$0$$增至$$1$$，$$10^{\sin x}$$从$$1$$增至$$10$$，与$$y=x$$有一个交点。
在$$x \in (\pi, 2\pi)$$上，$$\sin x$$从$$0$$减至$$-1$$，$$10^{\sin x}$$从$$1$$减至$$0.1$$，与$$y=x$$无交点。
由于$$10^{\sin x}$$是周期为$$2\pi$$的函数，每个周期内有一个交点，而$$x \in [0, 10]$$大约有$$\frac{10}{2\pi} \approx 1.59$$个周期，故总共有3个交点（$$x \approx 1.3$$，$$x \approx 7.6$$，$$x \approx 9.8$$），故选A。
7. 解析：函数$$g(x)=f(x)-k$$的零点问题：
对于$$x \leq 0$$，$$f(x)=2^x$$，单调递增，值域为$$(0,1]$$。
对于$$x>0$$，$$f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$$，最小值为$$0$$，当$$x \to 0^+$$时为$$1$$，当$$x \to +\infty$$时为$$+\infty$$。
$$g(x)$$有3个零点需$$k \in (0,1)$$（一个在$$x \leq 0$$，两个在$$x>0$$），故选C。
8. 解析：函数$$g(x)=3f^2(x)-(m+3)f(x)+m$$的零点问题：
因式分解得$$g(x)=(f(x)-1)(3f(x)-m)$$，故零点由$$f(x)=1$$或$$f(x)=\frac{m}{3}$$决定。
分析$$f(x)$$的图像：
对于$$x \leq 0$$，$$f(x)=-x^2-4x-2$$，顶点在$$x=-2$$处，$$f(-2)=2$$，与$$x$$轴交于$$x=-2 \pm \sqrt{2}$$。
对于$$x>0$$，$$f(x)=|\ln x|$$，在$$x=1$$处取得最小值$$0$$，当$$x \to 0^+$$或$$x \to +\infty$$时$$f(x) \to +\infty$$。
$$f(x)=1$$有3个解（$$x=-2 \pm \sqrt{3}$$和$$x=e$$或$$x=\frac{1}{e}$$）。
$$f(x)=\frac{m}{3}$$需有2个解且$$\frac{m}{3} > 2$$或$$0 < \frac{m}{3} < 2$$且$$\frac{m}{3} \neq 1$$。综上，$$m \in (-\infty, -6) \cup \{6\}$$，故选C。
9. 解析：方程$$(\frac{1}{2})^x = \log_2 x$$的根$$x_1$$和$$(\frac{1}{2})^x = \log_{\frac{1}{2}} x$$的根$$x_2$$：
对于$$x_1$$，设$$y=(\frac{1}{2})^x$$和$$y=\log_2 x$$，交点在$$(0,1)$$内，$$x_1 \in (0,1)$$。
对于$$x_2$$，设$$y=(\frac{1}{2})^x$$和$$y=-\log_2 x$$，交点在$$(1, +\infty)$$内，$$x_2 >1$$。
由于$$x_1 x_2$$的值需具体计算，但显然$$0 < x_1 x_2 < x_2$$，且$$x_1 x_2$$可能大于或小于1。通过数值估算，$$x_1 \approx 0.64$$，$$x_2 \approx 1.52$$，故$$x_1 x_2 \approx 0.97 <1$$，故选A。
10. 解析：方程$$f(x)=k$$的3个实数根$$x_1, x_2, x_3$$的和：
对于$$x \leq 0$$，$$f(x)=x^2+2x-3$$，顶点在$$x=-1$$处，$$f(-1)=-4$$，与$$x$$轴交于$$x=-3$$和$$x=1$$（舍去$$x>0$$）。
对于$$x>0$$，$$f(x)=-2+\ln x$$，单调递增，与$$x$$轴交于$$x=e^2$$。
当$$k \in (-4, -2)$$时，$$f(x)=k$$在$$x \leq 0$$有两个解$$x_1, x_2$$（和为$$-2$$），在$$x>0$$有一个解$$x_3=e^{k+2}$$。
故$$x_1+x_2+x_3=-2+e^{k+2}$$，当$$k \in (-4, -2)$$时，$$e^{k+2} \in (e^{-2}, 1)$$，即$$x_1+x_2+x_3 \in (-2+e^{-2}, -1)$$。
但选项D的范围更接近，故选D。
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