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正确率60.0%北京时间$${{2}{0}{2}{3}}$$年$${{5}}$$月$${{1}{0}}$$日$${{2}{1}}$$时$${{2}{2}}$$分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约$${{1}{0}}$$分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度$${{v}}$$(单位：$$\mathrm{\ k m / s )}$$与燃料质量$${{M}}$$(单位：$${{k}{g}{)}}$$、火箭(除燃料外)的质量$${{m}}$$(单位：$${{k}{g}{)}}$$的函数关系为$$v=2 \mathrm{l n} \left( 1+\frac{M} {m} \right)$$.若已知火箭的质量为$$3 1 0 0 \mathrm{k g}，$$火箭的最大速度为$${{1}{1}{{k}{m}{/}{s}}{，}}$$则火箭需要加注的燃料质量为（）(参考数值：$$\operatorname{l n} 2 \approx0. 6 9， ~ \operatorname{l n} 2 4 4. 6 9 \approx5. 5 0，$$结果精确到$$C$$
B
A.$$8 9 0. 2 3 t$$
B.$$7 5 5. 4 4 t$$
C.$$2 4 4. 6 9 t$$
D.$$2 4 3. 6 9 t$$
2、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%在生活中，人们常用声强级$${{y}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$来表示声强$${{I}}$$(单位：$$\mathrm{W / m^{2} )}$$的相对大小，具体关系式为$$y=1 0 \mathrm{l g} \frac{I} {I_{0}}，$$其中基准值$$I_{0}=1 0^{-1 2} ~ \mathrm{W / m}^{2}，$$若声强为$${{I}_{1}}$$时的声强级为$$6 0 ~ \mathrm{d B}，$$那么当声强变为$${{4}{{I}_{1}}}$$时的声强级约为(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 )$$（）
B
A.$${{6}{3}{d}{B}}$$
B.$${{6}{6}{d}{B}}$$
C.$${{7}{2}{d}{B}}$$
D.$${{7}{6}{d}{B}}$$
3、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：$$t=-\frac{1} {k} \mathrm{l n} \frac{\theta-\theta_{0}} {\theta_{1}-\theta_{0}} ( t$$为时间，单位为分钟$${，{{θ}_{0}}}$$为环境温度$${，{{θ}_{1}}}$$为物体初始温度$${，{θ}}$$为冷却后温度，单位均为$${^{∘}{C}{)}}$$.假设一杯水的初始温度$$\theta_{1}=9 0^{\circ} \， \mathrm{C}，$$环境温度$$\theta_{0}=1 0^{\circ} \， \mathrm{C}，$$常数$$k=\frac{1} {6}，$$则要使水温降为$$4 0^{\circ} \， \mathrm{C}，$$大约需要(结果保留整数，参考数据：$$\operatorname{l n} \! 2 \approx0. 7， ~ \operatorname{l n} \! 3 \approx1. 1 )$$（）
C
A.$${{8}}$$分钟
B.$${{7}}$$分钟
C.$${{6}}$$分钟
D.$${{5}}$$分钟
4、['一次函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%北京时间$${{2}{0}{2}{1}}$$年$${{1}{0}}$$月$${{1}{6}}$$日$${{0}}$$时$${{2}{3}}$$分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号$${{F}}$$遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平$${{.}}$$在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，可以用公式$$v=v_{0} \cdot\operatorname{l n} ( 1+\frac M m )$$计算火箭的最大速度$$v ( m / s )$$，其中$$v_{0} ( m / s )$$是喷流相对速度，$$m ( k g )$$是火箭$${{(}}$$除推进剂外$${{)}}$$的质量，$$M ( k g )$$是推进剂与火箭质量的总和，$$\frac{M} {m}$$称为总质比，当总质比较大时，$$1+\frac{M} {m}$$用$$\frac{M} {m}$$近似计算$${{.}}$$若将火箭的总质比从$${{5}{0}{0}}$$提升到$${{1}{0}{0}{0}}$$，则其最大速度$${{v}}$$大约增加了$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0$$，$$\operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7 1 )$$
B
A.$${{5}{％}}$$
B.$${{1}{1}{％}}$$
C.$${{2}{0}{％}}$$
D.$${{3}{0}{％}}$$
5、['一次函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%洞庭湖是我国的第二大淡水湖，俗称八百里洞庭，洞庭湖盛产鳙鱼$${{(}}$$俗称胖头鱼$${{)}}$$，记鳙鱼在湖中的游速为$$v ( m / s )$$，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为$${{x}}$$，已知鳙鱼的游速$${{v}}$$与$$\operatorname{l o g}_{2} \frac x {1 0 0} ( x \geqslant1 0 0 )$$成正比，当鳙鱼的耗氧量为$${{2}{0}{0}}$$单位时，其游速为$${\frac{1} {2} ( m / s )}$$，若鳙鱼的速度提高到$${\frac{3} {2} ( m / s )}$$，那么它的耗氧量的单位数是原来的$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}}$$倍
B.$${{4}}$$倍
C.$${{6}}$$倍
D.$${{8}}$$倍
6、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设$${{I}}$$为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级$${{γ}}$$可定义为$$\gamma=0. 6 \operatorname{l g} I$$.
$${{2}{0}{2}{1}}$$年$${{3}}$$月$${{1}{3}}$$日下午江西鹰潭余江区发生里氏$${{3}{.}{1}}$$级地震，$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{1}}$$月$${{1}}$$日四川自贡发生里氏$${{4}{.}{3}}$$级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的（）倍．
C
A.$${{2}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{0}{0}}$$
D.$${{1}{0}{0}{0}}$$
7、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度$$v \mathrm{\ ( \ m / s )}$$和燃料的质量$${{M}{（}{{k}{g}}{）}}$$，火箭（除燃料外）的质量$${{m}{（}{{k}{g}}{）}}$$的函数关系是$$v=2 0 0 0 \operatorname{l n} ( 1+\frac{M} {m} )$$，当火箭的最大速度可达到$${\bf1 2} ~ {\bf( k m / s )}$$时，燃料的质量和火箭质量的比为（）
C
A.$$\mathrm{e}^{0. 0 0 6}-1$$
B.$${{e}^{6}}$$
C.$${{e}^{6}{−}{1}}$$
D.$${{e}^{6}{+}{1}}$$
8、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率40.0%$${{5}{G}}$$技术的数学原理之一便是著名的香农公式:$$C=W \mathrm{l o g}_{2} ( 1+\frac{S} {N} )$$，它表示，在受高斯噪声干扰的信道中，最大信息传递速率$${{C}}$$取决于信道带宽$${{W}{、}}$$信道内所传信号的平均功率$${{S}{、}}$$信道内部的高斯噪声功率$${{N}}$$的大小，其中$$\frac{S} {N}$$叫做信噪比，按照香农公式，在不改变$${{W}}$$的情况下，将信噪比$$\frac{S} {N}$$从$${{1}{9}{9}{9}}$$提升至$${{λ}}$$，使得$${{C}}$$大约增加了$${{2}{0}{%}}$$，则$${{λ}}$$的值约为（）(参考数据：$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3， 1 0^{3. 9 6} \approx9 \; 1 2 0$$)
B
A.$${{7}{{5}{9}{6}}}$$
B.$${{9}{{1}{1}{9}}}$$
C.$${{1}{1}{{5}{8}{4}}}$$
D.$${{1}{4}{{4}{6}{9}}}$$
9、['对数型函数模型的应用'， '对数函数的定义']正确率60.0%某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量$${{y}}$$(只)与引入时间$${{x}}$$(年)的关系为$$y=a \operatorname{l o g}_{2} ( x+1 )$$，若该动物在引入一年后的数量为$${{1}{0}{0}}$$只，则第$${{7}}$$年它们发展到（）
A
A.$${{3}{0}{0}}$$只
B.$${{4}{0}{0}}$$只
C.$${{6}{0}{0}}$$只
D.$${{7}{0}{0}}$$只
10、['有理数指数幂的运算性质'， '指数式的大小的比较'， '指数与对数的关系'， '对数型函数模型的应用'， '常用对数与自然对数']正确率19.999999999999996%里氏震级是地震强度大小的一种度量．震源中心释放的能量$${{E}}$$(单位：焦耳)与里氏震级$${{M}}$$之间的关系式为$$\operatorname{l g} \， E=4. 8+1. 5 M$$．若里氏$${{8}{.}{0}}$$级和$${{7}{.}{5}}$$级地震释放的能量分别为$${{E}_{1}}$$和$${{E}_{2}}$$，则$$\frac{E_{1}} {E_{2}}$$的值所在的区间为（）
B
A.$${{(}{1}}$$，$${{2}{)}}$$
B.$${{(}{5}}$$，$${{6}{)}}$$
C.$${{(}{7}}$$，$${{8}{)}}$$
D.$${{(}{{1}{5}}}$$，$${{1}{6}{)}}$$
1. 根据题目给出的函数关系 $$v=2 \mathrm{ln} \left( 1+\frac{M}{m} \right)$$，代入已知条件 $$v=11 \mathrm{km/s}$$ 和 $$m=3100 \mathrm{kg}$$，得到：
因此，正确答案是 B。
2. 根据声强级公式 $$y=10 \mathrm{lg} \frac{I}{I_0}$$，当声强为 $$I_1$$ 时，$$60 = 10 \mathrm{lg} \frac{I_1}{10^{-12}}$$，解得：
当声强变为 $$4I_1$$ 时，声强级为：
因此，正确答案是 B。
3. 根据冷却模型 $$t=-\frac{1}{k} \mathrm{ln} \frac{\theta-\theta_0}{\theta_1-\theta_0}$$，代入已知条件 $$\theta_1=90^\circ \mathrm{C}$$，$$\theta_0=10^\circ \mathrm{C}$$，$$\theta=40^\circ \mathrm{C}$$，$$k=\frac{1}{6}$$，得到：
因此，正确答案是 C。
4. 火箭的最大速度公式为 $$v=v_0 \cdot \mathrm{ln} \left( 1+\frac{M}{m} \right)$$，当总质比从 500 提升到 1000 时，速度变化为：
原速度为 $$v_0 \cdot \mathrm{ln} 500$$，提升比例为：
因此，正确答案是 B。
5. 鳙鱼的游速 $$v$$ 与 $$\mathrm{log}_2 \frac{x}{100}$$ 成正比，设 $$v = k \mathrm{log}_2 \frac{x}{100}$$。当 $$x=200$$ 时，$$v=\frac{1}{2}$$，代入得：
当 $$v=\frac{3}{2}$$ 时，有：
耗氧量从 200 单位增加到 800 单位，是原来的 4 倍。因此，正确答案是 B。
6. 根据里氏震级公式 $$\gamma=0.6 \mathrm{lg} I$$，自贡地震（4.3 级）和余江地震（3.1 级）的能量比为：
因此，正确答案是 C。
7. 根据火箭速度公式 $$v=2000 \mathrm{ln} \left( 1+\frac{M}{m} \right)$$，代入 $$v=12 \mathrm{km/s} = 12000 \mathrm{m/s}$$，得到：
因此，正确答案是 C。
8. 根据香农公式 $$C=W \mathrm{log}_2 \left( 1+\frac{S}{N} \right)$$，信噪比从 1999 提升到 $$\lambda$$ 时，$$C$$ 增加 20%，即：
因此，正确答案是 B。
9. 根据繁殖数量公式 $$y=a \mathrm{log}_2 (x+1)$$，代入 $$x=1$$ 时 $$y=100$$，得到：
当 $$x=7$$ 时：
因此，正确答案是 A。
10. 根据能量与震级的关系 $$\mathrm{lg} E=4.8+1.5 M$$，对于 $$M_1=8.0$$ 和 $$M_2=7.5$$，有：
因此，$$\frac{E_1}{E_2}$$ 的值在区间 $$(5,6)$$ 内，正确答案是 B。
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