函数的零点与方程的解-函数的应用（二）知识点回顾基础选择题自测题答案-广西壮族自治区等高一数学必修,平均正确率64.0%

1、['函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\operatorname{s i n} ( \frac{\pi} {2} x+\frac{\pi} {2} )-\frac{1} {x-1}$$在$${{x}{∈}{[}{−}{3}{，}{5}{]}}$$上的所有零点之和等于$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{−}{2}}$$

2、['函数的零点与方程的解'， '函数零点存在定理']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {( x-1 )^{3}， x < 2} \\ {e^{2-x}， x \geqslant2} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}{−}{a}}$$存在两个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{1}{)}}$$

C.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

D.$${{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$

3、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%已知关于$${{x}}$$的方程$${{e}^{x}{{s}{i}{n}}{x}{=}{x}{−}{1}}$$在$${{(}{0}{，}{π}{)}}$$上解的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

4、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {| 3^{x+1}-1 |， x \leqslant0} \\ {\operatorname{l n} x， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{−}{2}{a}{f}{(}{x}{)}{+}{{a}^{2}}{−}{1}}$$恰有$${{4}}$$个不同的零点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}{∪}{(}{1}{，}{2}{)}}$$

B.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}{∪}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{1}{，}{1}{]}{∪}{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{−}{1}{，}{0}{)}{∪}{[}{1}{，}{2}{)}}$$

5、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知方程$$\frac{\sqrt{2 x-x^{2}}} {m x+3}=1$$有两个不等的实根，则实数$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty，-\frac{4} {3} )$$

B.$$(-\infty，-\frac{3} {2} ] \bigcup(-\frac{4} {3}，+\infty)$$

C.$$(-\frac{3} {2}，-\frac{4} {3} ]$$

D.$$(-\frac{3} {2}，-\frac{4} {3} )$$

6、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {\frac{x} {e^{x}}， x \geqslant0} \\ {3 x-x^{3}， x < 0} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}}$$有$${{3}}$$个不同的实根，则实数$${{k}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-2， \frac{1} {e} )$$

B.$$( 0， \frac{1} {e} )$$

C.$$(-2， \frac{1} {e} )$$

D.$${{(}{−}{2}{，}{0}{)}}$$

7、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，且满足$${{f}{(}{2}{−}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{)}}$$，当$${{x}{∈}{[}{0}{，}{1}{]}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{−}{1}}$$，则方程$${{f}{(}{x}{)}{−}{|}{{l}{o}{g}_{4}}{|}{x}{|}{|}{=}{0}}$$的根的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

8、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%函数$$f ( x )=( \frac{1} {e} )^{| x |}+1$$，若关于$${{x}}$$的方程$${{2}{{f}^{2}}{(}{x}{)}{−}{(}{2}{a}{+}{3}{)}{f}{(}{x}{)}{+}{3}{a}{=}{0}}$$有$${{4}}$$个不同的根，则$${{a}}$$的取值范围$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

B.$$[ \frac{3} {2}， 2 )$$

C.$$( 0， \frac{3} {2} ) \cup( \frac{3} {2}， 2 )$$

D.$$( 1， \frac{3} {2} ) \cup( \frac{3} {2}， 2 )$$

9、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x+2， x \leqslant0} \\ {x+\frac{1} {x}， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$${{g}{(}{x}{)}{=}{[}{f}{(}{x}{)}{{]}^{2}}{+}{4}{f}{(}{x}{)}{+}{a}{(}{a}{∈}{R}{)}}$$有三个不同的零点，则$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{−}{∞}{，}{4}{)}}$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{4}{]}}$$

C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{{1}{2}}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{{1}{2}}{]}}$$

10、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{| x |}， x \leqslant1} \\ {f ( 2-x )， x > 1} \\ \end{array} \right.$$，若方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}}$$有四个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，则$${{x}^{2}_{1}{+}{{x}^{2}_{2}}{+}{{x}^{2}_{3}}{+}{{x}^{2}_{4}}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{4}{)}}$$

B.$${{(}{4}{，}{8}{)}}$$

C.$${{(}{8}{，}{{1}{2}}{)}}$$

D.$${{(}{{1}{2}}{，}{{1}{6}}{)}}$$

1. 解析：

函数 $$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{x-1}$$ 的零点即 $$\sin\left(\frac{\pi}{2}x + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{x-1}$$。

观察区间 $$x \in [-3, 5]$$，将 $$\sin$$ 函数化简为 $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$。

由于 $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$ 的周期为 4，且在 $$[-3, 5]$$ 内有对称性，零点关于 $$x=1$$ 对称。

计算对称点 $$x=1$$ 处的值为 $$f(1) = \sin(\pi) - \frac{1}{0}$$ 无定义，但两侧零点成对出现，和为 2。因此所有零点之和为 $$4$$，选 A。

2. 解析：

函数 $$g(x) = f(x) - a$$ 有两个零点，即 $$f(x) = a$$ 有两解。

分段函数 $$f(x)$$ 在 $$x < 2$$ 时为 $$(x-1)^3$$，在 $$x \geq 2$$ 时为 $$e^{2-x}$$。

分析图像：$$(x-1)^3$$ 单调递增，$$e^{2-x}$$ 单调递减。

当 $$a < 1$$ 时，$$(x-1)^3 = a$$ 有一解，$$e^{2-x} = a$$ 也有一解，共两解。因此 $$a \in (-\infty, 1)$$，选 B。

3. 解析：

方程 $$e^x \sin x = x - 1$$ 在 $$(0, \pi)$$ 上的解个数。

设 $$h(x) = e^x \sin x - x + 1$$，求导 $$h'(x) = e^x (\sin x + \cos x) - 1$$。

分析 $$h(x)$$ 的极值点和单调性，结合 $$h(0) = 1$$ 和 $$h(\pi) = -\pi + 1 < 0$$，函数在 $$(0, \pi)$$ 上先增后减，最多有两个零点。

通过计算具体值判断，选 B。

4. 解析：

函数 $$g(x) = [f(x)]^2 - 2a f(x) + a^2 - 1$$ 有 4 个零点，即 $$f(x) = a \pm 1$$ 各有两解。

分段函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为 $$|3^{x+1} - 1|$$，在 $$x > 0$$ 时为 $$\ln x$$。

分析图像：$$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时有最小值 0，在 $$x > 0$$ 时单调递增。

要求 $$a \pm 1$$ 均在 $$(0, 1)$$ 或 $$(1, +\infty)$$ 内，解得 $$a \in (-1, 0) \cup (1, 2)$$，选 A。

5. 解析：

方程 $$\frac{\sqrt{2x - x^2}}{mx + 3} = 1$$ 有两个不等实根。

首先定义域 $$2x - x^2 \geq 0$$，即 $$x \in [0, 2]$$。

平方后整理得 $$2x - x^2 = (mx + 3)^2$$，展开为二次方程。

要求判别式大于 0 且根在 $$[0, 2]$$ 内，解得 $$m \in \left(-\frac{3}{2}, -\frac{4}{3}\right)$$，选 D。

6. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分段为 $$\frac{x}{e^x}$$（$$x \geq 0$$）和 $$3x - x^3$$（$$x < 0$$）。

分析图像：$$\frac{x}{e^x}$$ 在 $$x \geq 0$$ 有最大值 $$\frac{1}{e}$$，$$3x - x^3$$ 在 $$x < 0$$ 有极值点 $$x = -1$$。

方程 $$f(x) = a$$ 有三解时，$$a \in (0, \frac{1}{e})$$，选 B。

7. 解析：

函数 $$f(x)$$ 是偶函数且满足 $$f(2 - x) = f(x)$$，周期为 2。

在 $$[0, 1]$$ 上 $$f(x) = 2^x - 1$$，通过对称性和周期性画出图像。

方程 $$f(x) - |\log_4 |x|| = 0$$ 的根的个数为 6，选 C。

8. 解析：

函数 $$f(x) = \left(\frac{1}{e}\right)^{|x|} + 1$$，值域为 $$(1, 2]$$。

方程 $$2f^2(x) - (2a + 3)f(x) + 3a = 0$$ 化为 $$f(x) = a$$ 或 $$f(x) = \frac{3}{2}$$。

要求有 4 个不同的根，需 $$a \in (1, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 2)$$，选 D。

9. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分段为 $$x + 2$$（$$x \leq 0$$）和 $$x + \frac{1}{x}$$（$$x > 0$$）。

分析图像：$$f(x)$$ 在 $$x > 0$$ 有最小值 2。

函数 $$g(x) = [f(x)]^2 + 4f(x) + a$$ 有三解时，$$a \in (-\infty, -12)$$，选 C。

10. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分段为 $$2^{|x|}$$（$$x \leq 1$$）和 $$f(2 - x)$$（$$x > 1$$），对称于 $$x=1$$。

方程 $$f(x) = a$$ 有四个根时，$$a \in (1, 2)$$，且 $$x_1 + x_4 = x_2 + x_3 = 2$$。

计算 $$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2$$ 的范围为 $$(8, 12)$$，选 C。

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