常见函数的零点-4.5 函数的应用（二）知识点月考进阶自测题解析-青海省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '常见函数的零点'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=3^{x}+x， \ g ( x )=x^{3}+x， \ h ( x )=\operatorname{l o g}_{3} x+x$$的零点依次为$$a， ~ b， ~ c$$，则

A.$$c < b < a$$

B.$$a < b < c$$

C.$$c < a < b$$

D.$$b < a < c$$

2、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '绝对值的概念与几何意义'， '常见函数的零点'， '对数的运算性质'， '函数单调性的判断'， '函数零点的概念']

正确率40.0%已知$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$是方程$$\mathrm{e}^{-x}+2=\left| \operatorname{l n} x \right|$$的两个解，则（）

A.$$0 < x_{1} x_{2} < \frac1 \mathrm{e}$$

B.$$\frac{1} {\mathrm{e}} < x_{1} x_{2} < 1$$

C.$$1 < x_{1} x_{2} < \mathrm{e}$$

D.$$x_{1} x_{2} > \mathrm{e}$$

3、['余弦（型）函数的零点'， '常见函数的零点'， '对数函数的定义']

正确率60.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l g} x-\operatorname{c o s} x$$的零点的个数是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{3}}$$

D.无数个

4、['函数的周期性'， '常见函数的零点']

正确率60.0%定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足$$f \left( 4-x \right) ~=f \left( x \right)$$，且当$$x \in~ ( \textsubscript{-1， 3} ]$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {| x-2 |， 1 < x \leq3} \\ {x^{2}，-1 < x \leq1} \\ \end{matrix} \right.$$，则函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{x} ) ~-\l g | x |$$的零点个数为（）

A.$${{9}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{2}{0}}$$

6、['常见函数的零点'， '函数求解析式'， '分段函数的图象']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {x^{2}+b x+c ( x \leq0 )} \\ {l n ( x+1 )+2 ( x > 0 )} \\ \end{aligned} \right.$$，若$$f ( \textbf{-4} ) \textbf{}=f ( \textbf{0} ) \， \ f ( \textbf{-2} ) \textbf{}=-2$$，则关于$${{x}}$$的方程$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right) \ =x$$的解的个数为（）

A.$${{1}}$$个

B.$${{2}}$$个

C.$${{3}}$$个

D.$${{4}}$$个

7、['函数奇偶性的应用'， '函数奇、偶性的图象特征'， '函数的对称性'， '常见函数的零点']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x} {x-1}+\operatorname{s i n} ( x-1 )， g ( x )=k x+1-k$$，若函数$${{f}{(}{x}{)}}$$与$${{g}{(}{x}{)}}$$有$${{m}}$$个交点，分别为$$A_{1} ( x_{1}， y_{1} )， A_{2} ( x_{2}， y_{2} )， \cdots， A_{m} ( x_{m}， y_{m} )$$，则$$y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{m}=( \mathit{\Pi} )$$

A.$${{0}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{m}}$$

D.$${{2}{m}}$$

8、['导数与单调性'， '导数与极值'， '利用导数讨论函数单调性'， '常见函数的零点']

正确率60.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {\left( a-1 \right) e^{x} \!-\! x， x \! > \! 0，} \\ {2 x^{2} \!+\! 4 x \!-\! a， x \! < \! 0，} \\ \end{matrix} \right.$$其中$${{e}}$$为自然对数的底数.若函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$有三个不同的零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$\left[ 1， 1+\frac{1} {e} \right) \cup(-2， 0 )$$

B.$$( 1， 1+\frac{1} {e} )$$

C.$$(-2， 1+\frac{1} {e} )$$

D.$$(-2， 1 )$$

9、['常见函数的零点']

正确率19.999999999999996%已知函数$$f \left( \right. x ) \ =\left\{\begin{matrix} {x^{2}-4， x \leq a} \\ {3^{x-2}-1， x > a} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$g ~ ( \textbf{x} ) ~=f ~ ( \textbf{f} ~ ( \textbf{x} ) ~ )$$有四个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \sqrt{2}， ~ 2 ) ~ \cup~ ( \sqrt{6}， ~+\infty)$$

B.$$[ \sqrt{2}， ~ \sqrt{6} ) ~ \cup[ 3， ~+\infty)$$

C.$$[ \sqrt{2}， ~+\infty)$$

D.$$[ \sqrt{6}， ~+\infty)$$

10、['常见函数的零点'， '函数零点的概念']

正确率60.0%函数$$f ( x )=x-\frac{4} {x}$$的零点是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{±}{2}}$$

D.$${{2}}$$

1. 解析：

对于函数 $$f(x)=3^x + x$$，由于 $$3^x > 0$$ 且 $$x$$ 单调递增，$$f(x)$$ 单调递增。当 $$x=-1$$ 时，$$f(-1)=3^{-1}-1<0$$；当 $$x=0$$ 时，$$f(0)=1>0$$，故零点 $$a \in (-1,0)$$。

对于函数 $$g(x)=x^3 + x$$，求导得 $$g'(x)=3x^2+1>0$$，故 $$g(x)$$ 单调递增。当 $$x=0$$ 时，$$g(0)=0$$，故零点 $$b=0$$。

对于函数 $$h(x)=\log_3 x + x$$，定义域为 $$x>0$$，且 $$h(x)$$ 单调递增。当 $$x=1$$ 时，$$h(1)=1>0$$；当 $$x=\frac{1}{3}$$ 时，$$h\left(\frac{1}{3}\right)=-1+\frac{1}{3}<0$$，故零点 $$c \in \left(\frac{1}{3},1\right)$$。

综上，$$a < b < c$$，选 B。

2. 解析：

设 $$y_1 = e^{-x} + 2$$，$$y_2 = |\ln x|$$，两函数的交点即为方程的解。

当 $$x=1$$ 时，$$y_1(1)=e^{-1}+2 \approx 2.368$$，$$y_2(1)=0$$；当 $$x=e^{-2}$$ 时，$$y_1(e^{-2})=e^{2}+2 \approx 9.389$$，$$y_2(e^{-2})=2$$。由于 $$y_1$$ 单调递减，$$y_2$$ 在 $$(0,1)$$ 单调递减，在 $$(1,+\infty)$$ 单调递增，故存在两个解 $$x_1 \in (0,1)$$ 和 $$x_2 \in (1,+\infty)$$。

设 $$x_1 x_2 = k$$，由对称性和函数性质可得 $$k \in \left(\frac{1}{e},1\right)$$，选 B。

3. 解析：

函数 $$f(x)=\lg x - \cos x$$ 的零点即 $$\lg x = \cos x$$。

定义域为 $$x>0$$，$$\lg x$$ 单调递增，$$\cos x$$ 在 $$(0,+\infty)$$ 振荡衰减。当 $$x=1$$ 时，$$\lg 1=0$$，$$\cos 1 \approx 0.5403 > 0$$；当 $$x=10$$ 时，$$\lg 10=1$$，$$\cos 10 \approx -0.8391 < 1$$。由中间值定理和函数性质可知，$$f(x)$$ 有 3 个零点，选 C。

4. 解析：

由 $$f(4-x)=f(x)$$ 知 $$f(x)$$ 关于 $$x=2$$ 对称，且为偶函数。当 $$x \in (-1,3]$$ 时，$$f(x)$$ 分为两段：$$x^2$$（$$-1

函数 $$g(x)=f(x)-\lg |x|$$ 的零点即 $$f(x)=\lg |x|$$。通过图像分析，$$f(x)$$ 在 $$x \in (-1,3]$$ 有 3 个交点，由对称性和周期性扩展后共有 10 个零点，选 B。

6. 解析：

由 $$f(-4)=f(0)$$ 和 $$f(-2)=-2$$ 可解得 $$b=4$$，$$c=2$$，故 $$f(x)=\begin{cases} x^2+4x+2 & x \leq 0 \\ \ln(x+1)+2 & x>0 \end{cases}$$。

方程 $$f(x)=x$$ 的解：

1. 当 $$x \leq 0$$ 时，$$x^2+3x+2=0$$，解得 $$x=-1$$ 或 $$x=-2$$；

2. 当 $$x>0$$ 时，$$\ln(x+1)+2=x$$，通过图像分析有 1 个解。

综上，共有 3 个解，选 C。

7. 解析：

函数 $$f(x)=\frac{x}{x-1}+\sin(x-1)$$ 和 $$g(x)=kx+1-k$$ 的交点满足 $$\frac{x}{x-1}+\sin(x-1)=kx+1-k$$。

当 $$x=1$$ 时，$$f(1)$$ 无定义，但 $$g(1)=1$$。通过图像分析，交点 $$(x_i,y_i)$$ 满足 $$y_i=1$$，故 $$y_1+y_2+\cdots+y_m=m$$，选 C。

8. 解析：

函数 $$f(x)$$ 分为两部分：

1. 当 $$x>0$$ 时，$$f(x)=(a-1)e^x - x$$，要求 $$a>1$$ 且极小值 $$f(\ln a)=-a \ln a + a - \ln a < 0$$，解得 $$a \in \left(1,1+\frac{1}{e}\right)$$；

2. 当 $$x<0$$ 时，$$f(x)=2x^2+4x-a$$，要求判别式 $$\Delta=16+8a>0$$ 且 $$f(0^-)=-a>0$$，解得 $$a \in (-2,0)$$。

综上，$$a \in \left[1,1+\frac{1}{e}\right) \cup (-2,0)$$，选 A。

9. 解析：

函数 $$g(x)=f(f(x))$$ 的零点需满足 $$f(x)=2$$ 或 $$f(x)=-2$$。

1. 当 $$f(x)=2$$ 时，解得 $$x=\sqrt{6}$$ 或 $$x=1+\log_3 3=2$$；

2. 当 $$f(x)=-2$$ 时，解得 $$x=\sqrt{2}$$ 或 $$x=1+\log_3 (-1)$$（无解）。

通过图像分析，$$a$$ 需满足 $$\sqrt{2} \leq a < \sqrt{6}$$ 或 $$a \geq 3$$，选 B。

10. 解析：

函数 $$f(x)=x-\frac{4}{x}$$ 的零点满足 $$x=\frac{4}{x}$$，即 $$x^2=4$$，解得 $$x=\pm 2$$，选 C。

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