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正确率60.0%某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，已知该种植物的覆盖面积$${{y}}$$$${{(}}$$单位：平方米$${{)}}$$与经过的时间$${{x}}$$$${{(}}$$单位：月$$， ~ x \in{\bf N} )$$的关系有三种函数模型$$y=p a^{x} ( p > 0， ~ a > 1 )， ~ y=m \mathrm{l o g}_{a} x ( m > 0， ~ a > 1 )$$和$$y=n x^{\alpha} ( n > 0， \; 0 < \alpha< 1 )$$可供选择，则下列说法正确的是（）
A
A.应选择$$y=p a^{x} ( p > 0， ~ a > 1 )$$作为函数模型
B.应选择$$y=m \mathrm{l o g}_{a} x ( m > 0， \， \， \， a > 1 )$$作为函数模型
C.应选择$$y=n x^{\alpha} ( n > 0， \; 0 < \alpha< 1 )$$作为函数模型
D.三种函数模型都可以
3、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关的确诊病例人数$${{H}{(}{t}{)}}$$与传染源感染后至隔离前时长$${{t}}$$(单位：天)的模型：$$H ( t )=\mathrm{e}^{k t+\lambda}$$.已知甲传染源感染后至隔离前时长为$${{5}}$$天，与之相关的确诊病例人数为$${{8}}$$；乙传染源感染后至隔离前时长为$${{8}}$$天，与之相关的确诊病例人数为$${{2}{0}}$$.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关的确诊病例人数约为（）
D
A.$${{4}{4}}$$
B.$${{4}{8}}$$
C.$${{8}{0}}$$
D.$${{1}{2}{5}}$$
4、['建立函数模型解决实际问题'， '指数型函数模型的应用']正确率60.0%随着我国经济的不断发展$${，{{2}{0}{1}{4}}}$$年年底某偏远地区农民人均年收入为$${{3}{0}{0}{0}}$$元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年$${{6}{\%}}$$的平均增长率增长，那么$${{2}{0}{2}{2}}$$年年底该地区农民的人均年收入为（）
D
A.$$3 0 0 0 \times1. 0 6 \times7$$元
B.$$3 0 0 0 \times1. 0 6^{7}$$元
C.$$3 0 0 0 \times1. 0 6 \times8$$元
D.$$3 0 0 0 \times1. 0 6^{8}$$元
5、['指数型函数模型的应用'， '等比模型'， '等比数列的基本量'， '对数的运算性质']正确率40.0%在流行病学中，基本传染数$${{R}_{0}}$$是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．$${{R}_{0}}$$一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数$${{R}_{0}{=}{2}}$$，平均感染周期为$${{7}}$$天，那么感染人数由$${{1}}$$个初始感染者增加到$${{4}{9}{9}}$$人大约需要的天数为（）（初始感染者传染$${{R}_{0}}$$个人为第一轮传染，这个$${{R}_{0}}$$个人每人再传染$${{R}_{0}}$$个人为第二轮传染$${{…}{…}}$$．可利用数据$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0$$）
B
A.$${{5}{0}}$$
B.$${{5}{6}}$$
C.$${{6}{0}}$$
D.$${{6}{3}}$$
6、['正态分布及概率密度函数'， '正态曲线的性质'， '指数型函数模型的应用']正确率60.0%随机变量$${{a}}$$服从正态分布$$N ( 1， \sigma^{2} )$$，且$$P ( 0 \! < \! a \! < \! 1 ) \!=\! 0. 3 0 0 0$$.已知$$a \! > \! 0， \! a \! \neq\! 1$$，则函数$$y=a^{x} \!+\! 1 \!-\! a$$图象不经过第二象限的概率为（）
C
A.$${{0}{.}{{3}{7}{5}{0}}}$$
B.$${{0}{.}{{3}{0}{0}{0}}}$$
C.$${{0}{.}{{2}{5}{0}{0}}}$$
D.$${{0}{.}{{2}{0}{0}{0}}}$$
7、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']正确率60.0%某科技研发公司$${{2}{0}{2}{1}}$$年全年投入的研发资金为$${{3}{0}{0}}$$万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上年增加$${{1}{0}{\%}{，}}$$则该公司全年投入的研发资金开始超过$${{6}{0}{0}}$$万元的年份是（）(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1，$$$$\operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7，$$$$\operatorname{l g} 5 \approx0. 6 9 9，$$$$\operatorname{l g} 1 1 \approx1. 0 4 1$$)
C
A.$${{2}{0}{2}{6}}$$
B.$${{2}{0}{2}{8}}$$
C.$${{2}{0}{2}{9}}$$
D.$${{2}{0}{3}{2}}$$
8、['指数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年我国$${{8}{3}{2}}$$个贫困县全部$${{“}}$$摘帽$${{”}}$$，脱贫攻坚战取得伟大胜利$${{.}}$$湖北秭归是$${{“}}$$中国脐橙之乡$${{”}}$$，全县脐橙综合产值年均$${{2}{0}}$$亿元，被誉为促进农民增收的$${{“}}$$黄金果$${{”}{.}}$$已知某品种脐橙失去的新鲜度$${{h}}$$与其采摘后的时间$${{t}}$$(天$${{)}}$$满足关系式：$$h=m \cdot a^{t}$$$${{.}}$$若采摘后$${{1}{0}}$$天，这种脐橙失去的新鲜度为$${{1}{0}{\%}}$$，采摘后$${{2}{0}}$$天失去的新鲜度为$${{2}{0}{\%}}$$，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去$${{5}{0}{\%}}$$的新鲜度（）(已知$$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3$$，结果四舍五入取整数)
B
A.$${{2}{3}}$$天
B.$${{3}{3}}$$天
C.$${{4}{3}}$$天
D.$${{5}{0}}$$天
9、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%某商品价格，第一年递增$${{2}{0}{\%}{，}}$$第二年递增$${{1}{0}{\%}{，}}$$第三年递减$${{1}{0}{\%}{，}}$$第四年递减$${{2}{0}{\%}{，}}$$则四年后该商品的价格与原价格比较，变化情况为
D
A.不变
B.减少$$4. 9 6 7_{0}$$
C.增加$$4. 9 6 7_{0}$$
D.减少$$5. 0 4 \%$$
10、['指数型函数模型的应用']正确率40.0%某种药物的含量在病人血液中以每小时$${{2}{0}{\%}}$$的比例递减.现医生为某病人注射了$${{2}{{0}{0}{0}}{m}{g}}$$该药物，那么$${{x}}$$小时后病人血液中这种药物的含量为 （）
B
A.$$2. 0 0 0 ( 1-0. 2 x ) \mathrm{m g}$$
B.$$2 ~ 0 0 0 ( 1-0. 2 )^{x} \mathrm{m g}$$
C.$$2. 0 0 0 ( 1-0. 2^{x} ) \mathrm{m}$$
D.$$2 ~ 0 0 0 \cdot0. 2^{x} \， \mathrm{m g}$$
第2题解析：
已知植物覆盖面积增长越来越快，即函数增长速率递增。
1. $$y=pa^x$$（指数函数）：$$y'=pa^x\ln a>0$$，$$y''=pa^x(\ln a)^2>0$$，增长速率递增
2. $$y=m\log_a x$$（对数函数）：$$y'=\frac{{m}}{{x\ln a}}>0$$，$$y''=-\frac{{m}}{{x^2\ln a}}<0$$，增长速率递减
3. $$y=nx^\alpha$$（幂函数）：$$y'=n\alpha x^{\alpha-1}>0$$，$$y''=n\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}<0$$，增长速率递减
只有指数函数模型满足增长速率递增的条件。
正确答案：A
第3题解析：
已知$$H(t)=e^{kt+\lambda}$$，代入已知条件：
当$$t=5$$时，$$H(5)=e^{5k+\lambda}=8$$
当$$t=8$$时，$$H(8)=e^{8k+\lambda}=20$$
两式相除：$$\frac{{e^{8k+\lambda}}}{{e^{5k+\lambda}}}=e^{3k}=\frac{{20}}{{8}}=2.5$$
解得：$$3k=\ln 2.5$$，$$k=\frac{{\ln 2.5}}{{3}}$$
两周为14天，$$H(14)=e^{14k+\lambda}=e^{9k}\cdot e^{5k+\lambda}=(e^{3k})^3\cdot 8=(2.5)^3\times 8=15.625\times 8=125$$
正确答案：D
第4题解析：
2014年底到2022年底共8年，年均增长率6%
计算公式：$$3000\times (1+6\%)^8=3000\times 1.06^8$$
正确答案：D
第5题解析：
基本传染数$$R_0=2$$，感染周期7天
第n轮感染后总人数：$$1+2+2^2+\cdots+2^n=2^{n+1}-1$$
设$$2^{n+1}-1\geq 499$$，即$$2^{n+1}\geq 500$$
取对数：$$(n+1)\lg 2\geq \lg 500$$，$$(n+1)\times 0.3010\geq \lg (5\times 100)=0.699+2=2.699$$
$$n+1\geq \frac{{2.699}}{{0.3010}}\approx 8.97$$，$$n\geq 7.97$$，取$$n=8$$
需要天数：$$8\times 7=56$$天
正确答案：B
第6题解析：
$$a\sim N(1,\sigma^2)$$，$$P(0 由正态分布对称性：$$P(a<1)=0.5$$，$$P(a<0)=0.5-0.3000=0.2000$$ 函数$$y=a^x+1-a$$不经过第二象限的条件： 1. $$x=0$$时，$$y=2-a>0$$，即$$a<2$$ 2. 底数$$a>1$$时函数递增，且$$a^0+1-a=2-a>0$$ 综合条件：$$1 概率：$$P(1 正确答案：B
第7题解析：
设经过n年研发资金超过600万元
$$300\times (1+10\%)^n>600$$，即$$1.1^n>2$$
取对数：$$n\lg 1.1>\lg 2$$，$$n>\frac{{\lg 2}}{{\lg 1.1}}=\frac{{0.3010}}{{0.041}}\approx 7.34$$
取$$n=8$$，从2021年开始，经过8年到2029年
正确答案：C
第8题解析：
设$$h=m\cdot a^t$$，代入已知条件：
$$t=10$$时，$$h=0.1=m\cdot a^{10}$$
$$t=20$$时，$$h=0.2=m\cdot a^{20}$$
两式相除：$$\frac{{m\cdot a^{20}}}{{m\cdot a^{10}}}=a^{10}=\frac{{0.2}}{{0.1}}=2$$，$$a=2^{0.1}$$
求$$h=0.5$$时的时间：$$0.5=m\cdot a^t$$
由$$0.1=m\cdot a^{10}$$得$$m=\frac{{0.1}}{{a^{10}}}=\frac{{0.1}}{{2}}$$
代入：$$0.5=\frac{{0.1}}{{2}}\cdot a^t$$，$$a^t=10$$，$$2^{0.1t}=10$$
取对数：$$0.1t\lg 2=\lg 10$$，$$0.1t\times 0.3=1$$，$$t=\frac{{1}}{{0.03}}\approx 33.33$$
四舍五入取33天
正确答案：B
第9题解析：
设原价格为1，四年后价格：
$$1\times 1.2\times 1.1\times 0.9\times 0.8=1.2\times 1.1\times 0.9\times 0.8$$
$$=1.32\times 0.72=0.9504$$
变化率：$$\frac{{0.9504-1}}{{1}}\times 100\%=-4.96\%$$
减少4.96%
正确答案：B
第10题解析：
每小时递减20%，即保留80%
x小时后含量：$$2000\times (1-20\%)^x=2000\times 0.8^x$$
即$$2000(1-0.2)^x\mathrm{mg}$$
正确答案：B