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正确率60.0%据统计，第$${{x}}$$年某湿地公园越冬的白鹭数量$${{y}}$$(只)近似满足$${{y}{=}{k}{{l}{o}{g}_{3}}{(}{x}{+}{1}{)}{，}}$$观测发现第$${{2}}$$年有越冬的白鹭$${{1}{0}{0}{0}}$$只，则估计第$${{5}}$$年有越冬的白鹭$${{(}{{l}{n}}{2}{≈}{{0}{.}{6}{9}{3}}{，}{{l}{n}}{3}{≈}{{1}{.}{0}{9}{9}}{)}}$$（）
B
A.$${{1}{5}{3}{1}}$$只
B.$${{1}{6}{3}{1}}$$只
C.$${{1}{8}{3}{1}}$$只
D.$${{1}{9}{3}{1}}$$只
2、['函数与数学文化结合'， '对数型函数模型的应用']正确率40.0%天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯($${{H}{i}{p}{p}{a}{r}{c}{h}{u}{s}}$$，又名依巴谷$${{)}}$$在公元前二世纪首先提出了星等这个概念$${{.}}$$星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗$${{.}}$$到了$${{1}{8}{5}{0}}$$年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森($${{M}{.}{R}{.}{{P}{o}{g}{s}{o}{n}}}$$$${{)}}$$又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念$${{.}}$$天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述$${{.}}$$两颗星的星等与亮度满足$${{m}_{1}{−}{{m}_{2}}{=}{{2}{.}{5}}{{(}{{l}{g}}{{E}_{2}}{−}{{l}{g}}{{E}_{1}}{)}}}$$$${{.}}$$其中星等为$${{m}_{i}}$$的星的亮度为$${{E}_{i}{(}{i}{=}{1}{，}{2}{)}}$$$${{.}}$$已知$${{“}}$$心宿二$${{”}}$$的星等是$${{1}{.}{0}{0}{.}{“}}$$天津四$${{”}}$$的星等是$${{1}{.}{2}{5}{.}{“}}$$心宿二$${{”}}$$的亮度是$${{“}}$$天津四$${{”}}$$的$${{r}}$$倍，则与$${{r}}$$最接近的是（）
(当$${{|}{x}{|}}$$较小时，$${{1}{0}^{x}{≈}{1}{+}{{2}{.}{3}}{x}{+}{{2}{.}{7}}{{x}^{2}}}$$)
C
A.$${{1}{.}{2}{4}}$$
B.$${{1}{.}{2}{5}}$$
C.$${{1}{.}{2}{6}}$$
D.$${{1}{.}{2}{7}}$$
3、['一次函数模型的应用'， '二次函数模型的应用'， '指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率60.0%某学校开展研究性学习活动，一组同学获得的一组试验数据如下表：
| $${{x}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ | $${{2}{.}{8}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{8}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{0}{.}{9}{9}}$$ | $${{1}{.}{5}{8}}$$ | $${{2}{.}{0}{1}}$$ | $${{2}{.}{3}{5}}$$ | $${{3}{.}{0}{0}}$$ |
①$${{y}{=}{{0}{.}{6}}{x}{−}{{0}{.}{2}}}$$；②$${{y}{=}{{x}^{2}}{−}{{5}{5}}{x}{+}{8}}$$；③$${{y}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}}$$；
④$${{y}{=}{{2}^{x}}{−}{{3}{.}{0}{2}}}$$.
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的变化规律，应选（）
C
A.①
B.②
C.③
D.④
4、['正弦曲线的对称轴'， '对数型函数模型的应用'， '函数零点所在区间的判定'， '分段函数模型的应用']正确率19.999999999999996%已知函数$$f \sp{( \textup{}} x \sp{)} \ =\left\{\begin{matrix} {\operatorname{s i n} \frac{\pi} {2} x ( 0 \leqslant x \leqslant2 )} \\ {l o g_{2 0 1 7} ( x-1 ) ( x > 2 )} \\ \end{matrix} \right.$$，若$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$互不相等，且$${{f}{（}{a}{）}{=}{f}{（}{b}{）}{=}{f}{（}{c}{）}}$$，则$${{a}{+}{b}{+}{c}}$$的取值范围是（）
B
A.$${（{4}{，}{{2}{0}{1}{8}}{）}}$$
B.$${（{4}{，}{{2}{0}{2}{0}}{）}}$$
C.$${（{3}{，}{{2}{0}{2}{0}}{）}}$$
D.$${（{2}{，}{{2}{0}{2}{0}}{）}}$$
5、['一次函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用']正确率80.0%洞庭湖是我国的第二大淡水湖，俗称八百里洞庭，洞庭湖盛产鳙鱼$${{(}}$$俗称胖头鱼$${{)}}$$，记鳙鱼在湖中的游速为$${{v}{(}{m}{/}{s}{)}}$$，鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为$${{x}}$$，已知鳙鱼的游速$${{v}}$$与$$\operatorname{l o g}_{2} \frac x {1 0 0} ( x \geqslant1 0 0 )$$成正比，当鳙鱼的耗氧量为$${{2}{0}{0}}$$单位时，其游速为$${\frac{1} {2} ( m / s )}$$，若鳙鱼的速度提高到$${\frac{3} {2} ( m / s )}$$，那么它的耗氧量的单位数是原来的$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}}$$倍
B.$${{4}}$$倍
C.$${{6}}$$倍
D.$${{8}}$$倍
6、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率40.0%一种药在病人血液中的量保持在不低于$${{1}{5}{0}{0}{{m}{g}}}$$，才有疗效；而低于$${{5}{0}{0}{{m}{g}}}$$，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药$${{2}{5}{0}{0}{{m}{g}}}$$，如果药在血液中以每小时$${{2}{0}{%}}$$的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（）
A
A.$$\left( \frac{1-\operatorname{l o g}_{5} 3} {1-\operatorname{l o g}_{5} 4}， \frac{1} {1-\operatorname{l o g}_{5} 4} \right]$$
B.$$\left( \frac{1-\operatorname{l o g}_{5} 3} {1-\operatorname{l o g}_{5} 4}， \frac{1} {1-\operatorname{l o g}_{5} 4} \right)$$
C.$${{(}{1}{−}{{l}{o}{g}_{5}}{3}{，}{1}{]}}$$
D.$${{(}{1}{−}{{l}{o}{g}_{5}}{3}{，}{1}{)}}$$
7、['指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']正确率60.0%放射性元素在许多科学研究$${、}$$工业生产$${、}$$军事战略中都有十分重要的应用。现有一种放射性元素$${{P}}$$，它每年衰减$${{8}{%}{，}}$$那么这种放射性物质的半衰期(剩余量为原来的一半时的时间$${{)}{T}}$$为（）
C
A.$$\operatorname{l o g}_{0. 9 5} 0. 5$$年
B.$$\operatorname{l o g}_{0. 5} 0. 9 5$$年
C.$$\operatorname{l o g}_{0. 9 2} 0. 5$$年
D.$$\operatorname{l o g}_{0. 5} 0. 9 2$$年
8、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%$${{5}{G}}$$技术的数学原理之一便是著名的香农公式：$$C=W \operatorname{l o g}_{2} \left( 1+\frac{S} {N} \right)$$$${{.}}$$它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率$${{C}}$$取决于信道带宽$${{W}}$$、信道内信号的平均功率$${{S}}$$、信道内部的高斯噪声功率$${{N}}$$的大小，其中$$\frac{S} {N}$$叫做信噪比$${{.}}$$按照香农公式，若不改变带宽$${{W}}$$，而将信噪比$$\frac{S} {N}$$从$${{1}{0}{0}{0}}$$提升至$${{2}{0}{0}{0}}$$，则$${{C}}$$大约增加了（）
A
A.$${{1}{0}{%}}$$
B.$${{3}{0}{%}}$$
C.$${{5}{0}{%}}$$
D.$${{1}{0}{0}{%}}$$
9、['函数图象的识别'， '对数型函数模型的应用']正确率60.0%下表是某次测量中两个变量$${{x}{，}{y}}$$的一组数据，若将$${{y}}$$表示为$${{x}}$$的函数，则最有可能的函数模型是（）
| $${{x}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ | $${{9}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{0}{.}{0}{1}}$$ | $${{0}{.}{6}{3}}$$ | $${{1}{.}{0}{1}}$$ | $${{1}{.}{2}{6}}$$ | $${{1}{.}{4}{6}}$$ | $${{1}{.}{6}{3}}$$ | $${{1}{.}{7}{7}}$$ | $${{1}{.}{8}{9}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ |
D
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
10、['对数型函数模型的应用']正确率40.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{1}{7}}$$日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度$${{v}{(}}$$单位：$${{m}{/}{s}{)}}$$和燃料的质量$${{M}{(}}$$单位：$${{k}{g}{)}}$$、火箭$${{(}}$$除燃料外$${{)}}$$的质量$${{m}{(}}$$单位：$${{k}{g}{)}}$$的函数关系表达式为$$v=2 0 0 0 \operatorname{l n} ( 1+\frac{\mathrm{M}} {m} ).$$如果火箭的最大速度达到$${{1}{2}{k}{m}{/}{s}}$$，则燃料的质量与火箭的质量的关系是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{M}{=}{{e}^{6}}{m}}$$
B.$${{M}{m}{=}{{e}^{6}}{−}{1}}$$
C.$${{l}{n}{M}{+}{{l}{n}}{m}{=}{6}}$$
D.$$\frac{\mathrm{M}} {m}=\mathrm{e}^{6}-1$$
1. 根据题目，白鹭数量满足 $$y = k \log_3 (x + 1)$$。已知第2年 $$y = 1000$$，代入得：
$$1000 = k \log_3 3 = k \times 1 \Rightarrow k = 1000$$
第5年的数量为：
$$y = 1000 \log_3 6 = 1000 \times \frac{\ln 6}{\ln 3} = 1000 \times \frac{\ln 2 + \ln 3}{\ln 3} \approx 1000 \times \frac{0.693 + 1.099}{1.099} \approx 1631$$
答案为 B。
2. 根据星等与亮度的关系：
$$m_1 - m_2 = 2.5 (\lg E_2 - \lg E_1)$$
代入“心宿二”和“天津四”的数据：
$$1.00 - 1.25 = 2.5 (\lg E_2 - \lg E_1) \Rightarrow -0.25 = 2.5 \lg \frac{E_2}{E_1}$$
解得：
$$\lg r = \lg \frac{E_1}{E_2} = 0.1 \Rightarrow r = 10^{0.1}$$
利用近似公式：
$$10^{0.1} \approx 1 + 2.3 \times 0.1 + 2.7 \times 0.01 = 1.257$$
最接近的是 C。
3. 观察数据变化规律，$$y$$ 随 $$x$$ 增长而增长，但增速逐渐放缓，符合对数函数特征。验证选项③：
$$y = \log_2 x$$，代入 $$x = 4$$ 时 $$y = 2$$，与表中数据一致。其他选项不符。
答案为 C。
4. 函数 $$f(x)$$ 分为两部分：
- 当 $$0 \leq x \leq 2$$ 时，$$f(x) = \sin \frac{\pi}{2} x$$，对称轴为 $$x = 1$$，$$f(a) = f(b)$$ 时 $$a + b = 2$$。
- 当 $$x > 2$$ 时，$$f(x) = \log_{2017} (x - 1)$$，单调递增，$$f(c)$$ 的取值范围为 $$(0, +\infty)$$。
因此 $$c \in (2, 2018)$$，且 $$a + b + c = 2 + c \in (4, 2020)$$。
答案为 B。
5. 设 $$v = k \log_2 \frac{x}{100}$$，当 $$x = 200$$ 时 $$v = \frac{1}{2}$$：
$$\frac{1}{2} = k \log_2 2 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$$
当 $$v = \frac{3}{2}$$ 时：
$$\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \log_2 \frac{x}{100} \Rightarrow \log_2 \frac{x}{100} = 3 \Rightarrow x = 800$$
耗氧量单位数为原来的 $$4$$ 倍，答案为 B。
6. 药物衰减模型为 $$y = 2500 \times 0.8^t$$，需满足：
$$500 \leq 2500 \times 0.8^t < 1500 \Rightarrow 0.2 \leq 0.8^t < 0.6$$
取对数得：
$$\log_{0.8} 0.6 < t \leq \log_{0.8} 0.2$$
换底后：
$$\frac{1 - \log_5 3}{1 - \log_5 4} < t \leq \frac{1}{1 - \log_5 4}$$
答案为 A。
7. 剩余量公式为 $$P = P_0 (1 - 0.08)^t = P_0 \times 0.92^t$$，半衰期时：
$$0.5 = 0.92^T \Rightarrow T = \log_{0.92} 0.5$$
答案为 C。
8. 香农公式为 $$C = W \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right)$$，信噪比从 $$1000$$ 提升至 $$2000$$：
$$\Delta C = W \log_2 \left(\frac{1 + 2000}{1 + 1000}\right) \approx W \log_2 2 = W$$
原 $$C$$ 为 $$W \log_2 1001 \approx 10W$$，增加比例约为 $$10\%$$。
答案为 A。
9. 观察数据，$$y$$ 随 $$x$$ 增长而增长，但增速逐渐放缓，符合对数函数特征。
答案为 D。
10. 火箭速度公式为 $$v = 2000 \ln \left(1 + \frac{M}{m}\right)$$，当 $$v = 12000$$ 时：
$$12000 = 2000 \ln \left(1 + \frac{M}{m}\right) \Rightarrow \ln \left(1 + \frac{M}{m}\right) = 6 \Rightarrow \frac{M}{m} = e^6 - 1$$
答案为 D。