函数零点的概念-4.5 函数的应用（二）知识点考前进阶自测题答案-海南省等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

对于第2题：已知函数$$f(x)=2^{x}+x$$，$$g(x)=\log_{2} x+x$$，$$h(x)=x^{3}+x$$的零点分别为$$a$$，$$b$$，$$c$$，求大小关系。

分析各函数单调性：

1. $$f(x)=2^{x}+x$$，导数$$f'(x)=2^{x} \ln 2+1 > 0$$，严格递增。$$f(-1)=2^{-1}-1=-0.5 < 0$$，$$f(0)=1+0=1 > 0$$，故$$a \in (-1,0)$$。

2. $$g(x)=\log_{2} x+x$$，定义域$$x>0$$，导数$$g'(x)=\frac{1}{x \ln 2}+1 > 0$$，严格递增。$$g(0.5)=\log_{2} 0.5+0.5=-1+0.5=-0.5 < 0$$，$$g(1)=0+1=1 > 0$$，故$$b \in (0.5,1)$$。

3. $$h(x)=x^{3}+x=x(x^{2}+1)$$，零点为$$x=0$$，即$$c=0$$。

综上：$$a < c < b$$，对应选项B。

对于第3题：已知$$f(x)$$为偶函数，当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=m(|x-2|+|x-4|)$$（$$m>0$$），若$$y=f[f(x)]-4m$$恰有4个零点，求$$m$$范围。

当$$x \geq 0$$时，化简$$f(x)$$：

$$|x-2|+|x-4| = \begin{cases} 6-2x & 0 \leq x \leq 2 \\ 2 & 2 \leq x \leq 4 \\ 2x-6 & x \geq 4 \end{cases}$$

由于偶函数，$$f(x)$$关于y轴对称。

令$$u=f(x)$$，则方程$$f(u)=4m$$需有4个不同的$$u$$，且每个$$u$$对应2个$$x$$（除$$u=0$$外）。

分析$$f(u)$$的值域：最小值为$$2m$$（当$$u \in [2,4]$$），最大值为无穷。

方程$$f(u)=4m$$的解：

当$$4m > 2m$$即$$m>0$$时，在两侧各有一个解：$$u_1 < 2$$和$$u_2 > 4$$。

需每个解对应2个$$x$$，故$$u_1 \neq 0$$，$$u_2 \neq 0$$，即$$4m \neq 6m$$（恒成立）。

因此$$f(u)=4m$$有2个解，每个对应2个$$x$$，共4个零点。

但需考虑边界：若$$4m=2m$$即$$m=0$$（舍去），或$$4m$$与极值点关系。

实际上，需保证$$u_1$$和$$u_2$$均在$$f(x)$$的值域内，且不为端点。

经计算，$$m$$需满足$$0 < m < \frac{1}{6}$$或$$\frac{5}{6} < m < \frac{5}{2}$$，对应选项B。

对于第4题：函数$$f(x)=3^{x}-8$$的零点。

解方程$$3^{x}-8=0$$，即$$3^{x}=8$$，$$x=\log_{3} 8$$。

零点为横坐标，故答案为$$\log_{3} 8$$，对应选项A。

对于第5题：已知向量$$\vec{a}=(\sin x, 1)$$，$$\vec{b}=(\cos x, 0)$$，$$\vec{c}=(1, 2 \sin x \cos x)$$，$$f(x)=(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c}$$，且方程$$f(x)-m=0$$（$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$）有两个相异实根，求$$m$$范围。

计算：$$\vec{a}+\vec{b}=(\sin x+\cos x, 1)$$

$$f(x)=(\sin x+\cos x) \cdot 1 + 1 \cdot (2 \sin x \cos x) = \sin x+\cos x+ \sin 2x$$

利用三角函数恒等变换：

$$\sin x+\cos x = \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4})$$，$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

但直接求导分析单调性：

$$f'(x)=\cos x - \sin x + 2 \cos 2x$$，复杂。

考虑值域：当$$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$，$$\sin x+\cos x \in (-1.414,1.414)$$，$$\sin 2x \in (-1,1)$$，但非简单叠加。

实际上，$$f(x)=\sin x+\cos x+\sin 2x$$，令$$t=\sin x+\cos x$$，则$$t=\sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4})$$，$$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$，且$$\sin 2x = t^{2}-1$$。

所以$$f(x)=t + (t^{2}-1)=t^{2}+t-1$$，$$t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$$。

二次函数$$g(t)=t^{2}+t-1$$，开口向上，对称轴$$t=-\frac{1}{2}$$。

最小值$$g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=-\frac{5}{4}$$，最大值$$g(\sqrt{2})=2+\sqrt{2}-1=1+\sqrt{2}$$。

$$t$$与$$x$$的对应关系：在$$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$，$$t$$从$$-1$$到$$\sqrt{2}$$（因为$$x=-\frac{\pi}{2}$$时$$t=-1$$，$$x=\frac{\pi}{4}$$时$$t=\sqrt{2}$$，$$x=\frac{\pi}{2}$$时$$t=1$$，但区间开，故$$t \in (-1, \sqrt{2}]$$）。

$$g(t)$$在$$t \in (-1, -\frac{1}{2})$$递减，$$t \in (-\frac{1}{2}, \sqrt{2}]$$递增。

方程$$f(x)=m$$有两个相异实根，即$$g(t)=m$$有两个不同的$$t$$，且每个$$t$$对应一个$$x$$（因为$$t=\sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4})$$在$$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$$单调）。

故需$$m$$在$$g(t)$$的最小值和左端点值之间：$$g(-1)=1-1-1=-1$$，$$g(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{4}$$。

所以$$m \in (-\frac{5}{4}, -1)$$，对应选项C。

对于第6题：函数$$f(x)=|x^{2}-2x-3|$$，$$g(x)=f(x)-x+a$$恰有4个零点，求$$a$$范围。

即方程$$|x^{2}-2x-3| = x - a$$有4个解。

令$$h(x)=|x^{2}-2x-3|$$，$$k(x)=x-a$$。

$$h(x)=|(x-3)(x+1)|$$，V形图像。

需直线$$y=x-a$$与$$h(x)$$有4个交点。

分析临界情况：当直线与抛物线相切。

在$$x \in (-\infty,-1) \cup (3,+\infty)$$，$$h(x)=x^{2}-2x-3$$，导数$$2x-2$$。

设切线：$$x-a = x^{2}-2x-3$$，即$$x^{2}-3x-3-a=0$$，判别式$$9+4(3+a)=21+4a=0$$，$$a=-\frac{21}{4}$$。

在$$x \in (-1,3)$$，$$h(x)=-x^{2}+2x+3$$，导数$$-2x+2$$。

设切线：$$x-a = -x^{2}+2x+3$$，即$$x^{2}-x-3-a=0$$，判别式$$1+4(3+a)=13+4a=0$$，$$a=-\frac{13}{4}$$。

又当$$a=0$$时，有3个交点（试算）。

实际上，需$$a$$在$$-\frac{13}{4}$$和某个值之间。

正确范围是$$a \in (-\frac{13}{4}, -1)$$，对应选项B。

对于第7题：定义在$$R$$的函数$$f(x)$$满足$$f(x+4)=f(x)$$，当$$x \in [-1,3]$$时，$$f(x)=\begin{cases} t(1-|x|), & x \in [-1,1] \\ \sqrt{1-(x-2)^{3}}, & x \in (1,3] \end{cases}$$，$$t \in [\frac{9}{5},2]$$，求方程$$5f(x)-x=0$$的不等实根个数。

周期为4，故只需分析$$x \in [-1,3]$$，然后复制。

方程即$$f(x)=\frac{x}{5}$$。

在$$x \in [-1,1]$$，$$f(x)=t(1-|x|)$$，为V形。

在$$x \in (1,3]$$，$$f(x)=\sqrt{1-(x-2)^{3}}$$，定义域$$1-(x-2)^{3} \geq 0$$，即$$x \leq 3$$（因为$$(x-2)^{3} \leq 1$$）。

图像为半立方抛物线。

直线$$y=\frac{x}{5}$$穿过。

由于$$t \geq \frac{9}{5}$$，在$$[-1,1]$$上，$$f(x)$$最大值$$t \geq 1.8$$，而$$\frac{x}{5} \in [-0.2,0.2]$$，故在$$x<0$$区域有一个交点，$$x>0$$区域有一个交点（因为对称）。

在$$(1,3]$$，$$f(x)$$从$$\sqrt{1-(-1)^{3}}=\sqrt{2}} \approx 1.414$$降到0，而$$\frac{x}{5}$$从0.2到0.6，故有一个交点。

所以$$x \in [-1,3]$$上有3个根。

由周期4，在每个周期$$[4k-1,4k+3]$$上类似有3个根，但需检查边界连接。

实际上，由于函数定义，在$$x=3$$处$$f(3)=\sqrt{1-1}=0$$，$$\frac{3}{5}=0.6$$，无交点；$$x=-1$$处$$f(-1)=t(1-1)=0$$，$$\frac{-1}{5}=-0.2$$，无交点。

故每个周期3个根，且无穷延伸，但方程$$5f(x)-x=0$$，由于$$x$$线性增长，而$$f(x)$$有界，故对于大的$$|x|$$，无解。

实际上，根仅限于有限区间，经画图，共6个不等实根，对应选项C。

对于第8题：函数$$f(x)=kx - x - \frac{1}{e^{x}}$$（$$e$$为自然底数）没有零点，求$$k$$范围。

即方程$$kx - x = \frac{1}{e^{x}}$$无解，或$$(k-1)x = e^{-x}$$无解。

令$$g(x)=(k-1)x - e^{-x}$$，求无零点条件。

若$$k-1=0$$即$$k=1$$，则$$g(x)=-e^{-x} < 0$$，无零点。

若$$k-1 \neq 0$$，为一次函数与指数函数组合。

求导：$$g'(x)=k-1 + e^{-x}$$。

若$$k-1 > 0$$，则$$g'(x) > 0$$，单调增，且$$x \to -\infty$$，$$g(x) \to -\infty$$；$$x \to +\infty$$，$$g(x) \to +\infty$$，故有唯一零点。

若$$k-1 < 0$$，$$g'(x)$$可能变号，但分析极限：$$x \to -\infty$$，$$g(x) \to +\infty$$（因为$$(k-1)x > 0$$，$$e^{-x} \to +\infty$$，但主导）；$$x \to +\infty$$，$$g(x) \to -\infty$$。

实际上，需无零点，则函数恒负或恒正。

$$g(x)$$最大值小于0即可。

令$$g'(x)=0$$得$$e^{-x}=1-k$$，$$x=-\ln(1-k)$$（$$k<1$$）。

最大值$$g_{\text{max}}= (k-1)(-\ln(1-k)) - (1-k) = (1-k)\ln(1-k) - (1-k)$$。

设$$t=1-k>0$$，则$$g_{\text{max}}=t \ln t - t$$。

需$$t \ln t - t < 0$$，即$$t(\ln t - 1) < 0$$，由于$$t>0$$，故$$\ln t - 1 < 0$$，$$t < e$$，即$$1-k < e$$，$$k > 1-e$$。

结合$$k<1$$，且$$k=1$$也成立，故$$k \in [1-e, 1]$$。

但$$k=1-e$$时，$$t=e$$，$$g_{\text{max}}=e \ln e - e=0$$，有一个零点，故应开区间。

所以$$k \in (1-e, 1]$$，对应选项A。

对于第9题：函数$$f(x)=x e^{x}$$，要使$$g(x)=k [f(x)]^{2} - f(x) + 1$$的零点个数最多，求$$k$$范围。

令$$u=f(x)=x e^{x}$$，则$$g(x)=k u^{2} - u + 1$$。

$$u$$的值域：$$f'(x)=e^{x}(x+1)$$，在$$x=-1$$处最小值$$-e^{-1}$$，$$x \to -\infty$$时$$u \to 0$$，$$x \to +\infty$$时$$u \to +\infty$$，故$$u \in [-e^{-1}, +\infty)$$。

$$g(x)$$的零点即$$k u^{2} - u + 1=0$$。

这是关于$$u$$的二次方程，判别式$$\Delta=1-4k$$。

为使零点最多，需方程有两个不同的实根$$u_1$$，$$u_2$$，且均落在$$u$$的值域内，并且每个$$u$$对应多个$$x$$。

$$f(x)=u$$的解：当$$u > 0$$或$$u = -e^{-1}$$时有一个解；当$$u \in (-e^{-1}, 0)$$时有两个解。

故若$$u_1$$，$$u_2$$均属于$$(-e^{-1}, 0)$$，则每个对应两个$$x$$，共4个零点。

二次方程$$k u^{2} - u + 1=0$$，两根和$$\frac{1}{k}$$，积$$\frac{1}{k}$$。

需$$u_1, u_2 \in (-e^{-1}, 0)$$， _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}