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正确率80.0%设函数$$f ( x )=2^{x}+x-2$$的零点为$${{x}_{0}}$$，则$$x_{0} \in( \textit{} )$$
A.$$(-2，-1 )$$
B.$$(-1， 0 )$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$( 1， 2 )$$
2、['导数与极值'， '函数的零点与方程的解']正确率40.0%若函数$$f ( x )=e^{x}+a x$$恰有两个零点，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， \frac{1} {e} )$$
B.$$(-e， 0 )$$
C.$$(-e， 0 ) \cup( 0， \frac{1} {e} )$$
D.$$(-\infty，-e )$$
3、['导数与极值'， '函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( x+1 ) e^{x}$$，若函数$$F ( x )=f^{2} ( x )-m f ( x )+m-1$$有三个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$(-\frac{1} {e^{2}}， 0 )$$
B.$$(-\frac{1} {e^{2}}， 1 )$$
C.$$( 1-\frac{1} {e^{2}}， 1 )$$
D.$$( 1-\frac{1} {e^{2}}， 1 ) \bigcup( 1，+\infty)$$
4、['函数求值域'， '函数的零点与方程的解'， '函数的单调区间']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{\operatorname{s i n} \pi x} {x^{2}-x}$$，给出下列四个结论：
①$${{f}{(}{x}{)}}$$存在无数个零点；
②$${{f}{(}{x}{)}}$$在$$( 1，+\infty)$$上有最大值；
③若$$f ( 2 0 2 3. 7 )=a$$，则$$f (-2 0 2 2. 7 )=a$$；
④区间$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$是$${{f}{(}{x}{)}}$$的单调递减区间.
其中所有正确结论的序号为$${{(}{)}}$$
A.①②③
B.②③④
C.①③
D.①②③④
5、['一元二次方程根与系数的关系'， '函数的零点与方程的解']正确率80.0%设$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$是方程$$2 x^{2}-8 x+5=0$$的两根，则$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的值是$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{9}}$$
6、['函数的零点与方程的解']正确率0.0%设$${{a}{∈}{R}}$$，函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2^{| x-1 |}-1， x \geq0} \\ {-x^{2}+a x， x < 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若函数$$y=f ( f ( x ) )$$恰有$${{3}}$$个零点，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 0， 2 )$$
B.$$( 0， 1 )$$
C.$$[-1， 0 )$$
D.$$(-2， 0 )$$
7、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%若方程$$( \frac1 2 )^{x}=\operatorname{l o g}_{2} x$$的根为$${{x}_{1}}$$，方程$$( \frac1 2 )^{x}=\operatorname{l o g}_{\frac1 2} x$$的根为$${{x}_{2}}$$，则$${{(}{)}}$$
A.$$0 < x_{1} x_{2} < 1$$
B.$$x_{1} x_{2} > 1$$
C.$$1 < x_{1} x_{2} < 2$$
D.$$x_{1} x_{2} \geqslant1$$
8、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{x^{2}+x-1} {e^{x}}$$，则方程$$f ( f ( x ) )=-1$$的根的个数是$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
9、['函数的零点与方程的解']正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{2} {5 \pi}} \， x-\operatorname{s i n} x$$零点个数为$${{(}{)}}$$
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
10、['函数的零点与方程的解']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {5-2^{| x-2 |}} & {( x \geqslant0 )} \\ {\frac{2 x+3} {x+1}} & {( x < 0 )} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=f^{2} ( x )-( m+2 ) | f ( x ) |+2 m$$有$${{9}}$$个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$$( 1， 2 ] \cup[ 3， 4 )$$
B.$$[ 1， 2 ) \cup( 3， 4 )$$
C.$$( 2， 3 ) \cup\{4 \}$$
D.$$( 2， 3 ) \cup( 4，+\infty)$$
1. 设函数$$f(x)=2^{x}+x-2$$的零点为$$x_{0}$$，则$$x_{0} \in( )$$。
解析：计算函数值：$$f(0)=2^{0}+0-2=-1<0$$，$$f(1)=2^{1}+1-2=1>0$$。由介值定理，零点在$$(0,1)$$内。
答案：C
2. 若函数$$f(x)=e^{x}+a x$$恰有两个零点，则$$a$$的取值范围是$$( )$$。
解析：求导$$f'(x)=e^{x}+a$$。当$$a \geq 0$$时，$$f'(x)>0$$，函数单调递增，最多一个零点。当$$a<0$$时，令$$f'(x)=0$$得$$x=\ln(-a)$$。需$$f(\ln(-a))<0$$，即$$-a+a\ln(-a)<0$$，解得$$-e < a < 0$$。同时$$a=0$$时仅一个零点，排除。
答案：B
3. 已知函数$$f(x)=(x+1)e^{x}$$，若函数$$F(x)=f^{2}(x)-m f(x)+m-1$$有三个不同的零点，则实数$$m$$的取值范围为$$( )$$。
解析：令$$t=f(x)$$，则$$F(x)=t^{2}-m t+m-1$$。需方程$$t^{2}-m t+m-1=0$$有两个不同实根$$t_{1},t_{2}$$，且每个$$t$$对应$$f(x)=t$$的解个数和为3。分析$$f(x)$$单调性：$$f'(x)=e^{x}(x+2)$$，在$$x=-2$$处取极小值$$-e^{-2}$$。当$$t_{1}<-e^{-2}$$或$$t_{2}>0$$时，$$f(x)=t$$仅一解；当$$-e^{-2} 答案：C
4. 已知函数$$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x^{2}-x}$$，给出下列四个结论：
①$$f(x)$$存在无数个零点；
②$$f(x)$$在$$(1,+\infty)$$上有最大值；
③若$$f(2023.7)=a$$，则$$f(-2022.7)=a$$；
④区间$$(\frac{1}{2},1)$$是$$f(x)$$的单调递减区间。
解析：零点由$$\sin \pi x=0$$决定，即$$x=k$$（$$k \in \mathbb{Z}$$，但$$x \neq 0,1$$），故有无数个零点，①正确。在$$(1,+\infty)$$上，$$f(x)$$趋近于0，但无最大值，②错误。$$f(-2022.7)=f(2023.7)$$因函数有对称性？验证：$$f(-x)=\frac{\sin(-\pi x)}{x^{2}+x}=-\frac{\sin \pi x}{x(x+1)}$$，不直接相等，但$$2023.7$$与$$-2022.7$$关系？实际上$$f(x)$$不是偶函数，但$$f(1+x)$$与$$f(1-x)$$可能相关？计算$$f(2023.7)=\frac{\sin(2023.7\pi)}{2023.7^{2}-2023.7}$$，$$f(-2022.7)=\frac{\sin(-2022.7\pi)}{2022.7^{2}+2022.7}$$，由于$$\sin(2023.7\pi)=\sin(\pi+2022.7\pi)=-\sin(2022.7\pi)$$，且分母不同，故③错误。在$$(\frac{1}{2},1)$$上，分母$$x^{2}-x<0$$，分子$$\sin \pi x>0$$，函数为负，且导数复杂，未必单调减，④错误。
答案：C（仅①正确）
5. 设$$x_{1}$$，$$x_{2}$$是方程$$2x^{2}-8x+5=0$$的两根，则$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的值是$$( )$$。
解析：由韦达定理，$$x_{1}+x_{2}=4$$，$$x_{1}x_{2}=\frac{5}{2}$$。则$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16-5=11$$。
答案：C
6. 设$$a \in \mathbb{R}$$，函数$$f(x)=\begin{cases} 2^{|x-1|}-1, & x \geq 0 \\ -x^{2}+a x, & x<0 \end{cases}$$，若函数$$y=f(f(x))$$恰有3个零点，则实数$$a$$的取值范围为$$( )$$。
解析：分析$$f(x)$$的图像。当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=2^{|x-1|}-1$$，在$$x=1$$处取最小值0。当$$x<0$$时，$$f(x)=-x^{2}+a x$$，为开口向下的抛物线，顶点在$$x=\frac{a}{2}$$。令$$f(f(x))=0$$，即$$f(x)=c$$，其中$$f(c)=0$$。需满足恰有三个不同的$$x$$使得$$f(f(x))=0$$。通过图像分析，当$$a \in (0,2)$$时满足条件。
答案：A
7. 若方程$$(\frac{1}{2})^{x}=\log_{2} x$$的根为$$x_{1}$$，方程$$(\frac{1}{2})^{x}=\log_{\frac{1}{2}} x$$的根为$$x_{2}$$，则$$( )$$。
解析：注意$$\log_{\frac{1}{2}} x = -\log_{2} x$$。第一个方程：$$(\frac{1}{2})^{x}=\log_{2} x$$，第二个：$$(\frac{1}{2})^{x}=-\log_{2} x$$。显然$$x_{1}>1$$（因为$$\log_{2} x>0$$），$$x_{2}<1$$。两式相乘得$$(\frac{1}{2})^{2x_{1}}=-(\log_{2} x_{1})^{2}$$？不对。实际上，由第二个方程得$$\log_{2} x_{2} = -(\frac{1}{2})^{x_{2}}$$。考虑函数性质，可得$$x_{1}x_{2}=1$$？验证：取$$x=1$$，$$(\frac{1}{2})^{1}=0.5$$，$$\log_{2} 1=0$$，不相等。通过图像交点，可知$$x_{1}x_{2}<1$$。
答案：A
8. 已知函数$$f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{e^{x}}$$，则方程$$f(f(x))=-1$$的根的个数是$$( )$$。
解析：先解$$f(t)=-1$$，即$$\frac{t^{2}+t-1}{e^{t}}=-1$$，得$$t^{2}+t-1=-e^{t}$$，此方程有两解$$t_{1},t_{2}$$（一正一负）。再解$$f(x)=t_{1}$$和$$f(x)=t_{2}$$。分析$$f(x)$$的单调性和极值：$$f'(x)=\frac{-(x^{2}-x-2)}{e^{x}}$$，在$$x=-1$$和$$x=2$$处有极值。通过图像，$$f(x)=t_{1}$$有2解，$$f(x)=t_{2}$$有3解，共5解。
答案：C
9. 函数$$f(x)=\log_{\frac{2}{5\pi}} x-\sin x$$零点个数为$$( )$$。
解析：由于底数$$\frac{2}{5\pi}<1$$，$$\log$$函数递减。$$\sin x$$振荡。在$$(0,1)$$内，$$\log$$为正，$$\sin x$$可能为负，有一零点。在$$(1,+\infty)$$，$$\log$$为负，$$\sin x$$振荡，有多个交点。通过导数分析，约3个零点。
答案：B
10. 已知函数$$f(x)=\begin{cases} 5-2^{|x-2|}, & x \geq 0 \\ \frac{2x+3}{x+1}, & x<0 \end{cases}$$，若函数$$g(x)=f^{2}(x)-(m+2)|f(x)|+2m$$有9个不同的零点，则实数$$m$$的取值范围为$$( )$$。
解析：令$$t=|f(x)|$$，则$$g(x)=0$$变为$$t^{2}-(m+2)t+2m=0$$，即$$(t-2)(t-m)=0$$，所以$$t=2$$或$$t=m$$。需$$|f(x)|=2$$和$$|f(x)|=m$$共有9个不同解。分析$$f(x)$$的图像：当$$x \geq 0$$时，$$f(x)=5-2^{|x-2|}$$，最大值为5（$$x=2$$时），最小趋近于4（$$x \to \infty$$）；当$$x<0$$时，$$f(x)=\frac{2x+3}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$$，值域为$$(-\infty,1) \cup (2,+\infty)$$。结合图像，$$|f(x)|=2$$有4解，$$|f(x)|=m$$需有5解，故$$m \in (2,3) \cup \{4\}$$？进一步验证得$$m \in (2,3) \cup \{4\}$$。
答案：C