函数的零点与方程的解-4.5 函数的应用（二）知识点考前进阶选择题自测题解析-浙江省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['导数与极值'， '函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=( x+1 ) e^{x}$$，若函数$$F ( x )=f^{2} ( x )-m f ( x )+m-1$$有三个不同的零点，则实数$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\frac{1} {e^{2}}， 0 )$$

B.$$(-\frac{1} {e^{2}}， 1 )$$

C.$$( 1-\frac{1} {e^{2}}， 1 )$$

D.$$( 1-\frac{1} {e^{2}}， 1 ) \bigcup( 1，+\infty)$$

2、['函数的零点与方程的解'， '分段函数模型的应用']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {e^{x}，} & {x \leqslant0} \\ {\operatorname{l n} x，} & {x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若函数$$g ( x )=f ( x )+x-m$$恰有两个不同的零点，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 0， 1 ]$$

B.$$(-1， 1 )$$

C.$$[ 0， 1 )$$

D.$$(-\infty， 1 ]$$

3、['一元二次方程根与系数的关系'， '函数的零点与方程的解']

正确率80.0%设$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$是方程$$2 x^{2}-8 x+5=0$$的两根，则$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{1}{1}}$$

D.$${{9}}$$

4、['用不等式组表示不等关系'， '函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知三个函数$$f ( x )=2^{x}+x$$，$$g ( x )=x^{3}-8$$，$$h ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x+x$$的零点依次为$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}}$$则$${{(}{)}}$$

A.$$a < b < c$$

B.$$a < c < b$$

C.$$b < a < c$$

D.$$c < a < b$$

5、['导数与极值'， '函数的零点与方程的解']

正确率80.0%方程$$\sqrt{x}-1 n x-2=0$$的根的个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

6、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%函数$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{\frac{2} {5 \pi}} \， x-\operatorname{s i n} x$$零点个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

7、['函数的零点与方程的解']

正确率0.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {{\frac{2} {x+2}}， x \leqslant0 \ss x \neq-2} \\ {f ( x-1 )+1， x > 0} \\ \end{array} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=k x$$有$${{4}}$$个不同的根，则$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[ 2， \frac{5} {2} )$$

B.$$( 2， \frac{5} {2} ]$$

C.$$[ \frac{7} {4}， \frac{5} {2} )$$

D.$$( {\frac{7} {4}}， {\frac{5} {2}} ]$$

8、['函数的零点与方程的解']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {x^{2}+2 x-3， x \leqslant0} \\ {-2+\operatorname{l n} x， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若方程$$f ( x )=k$$恰有$${{3}}$$个不等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，则$$x_{1}+x_{2}+x_{3}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-2，+\infty)$$

B.$$(-2， e^{2} ]$$

C.$$(-2+\frac{1} {e^{2}}，+\infty)$$

D.$$(-2+\frac{1} {e^{2}}，-2+\frac{1} {e} ]$$

9、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {| x+2 |， x \leqslant0} \\ {| \operatorname{l o g}_{2} x |， x > 0} \\ \end{matrix} \right.$$，若关于$${{x}}$$的方程$$f ( x )=a$$有$${{4}}$$个不等实根，则$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$( 0， 2 ]$$

B.$$[ 0， 2 )$$

C.$$( 0， 2 )$$

D.$$[ 0， 2 ]$$

10、['函数的零点与方程的解']

正确率80.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{| x |}， x \leqslant1} \\ {f ( 2-x )， x > 1} \\ \end{array} \right.$$，若方程$$f ( x )=a$$有四个不相等的实数根$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，则$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$( 1， 4 )$$

B.$$( 4， 8 )$$

C.$$( 8， 1 2 )$$

D.$$( 1 2， 1 6 )$$

1. 解析：设 $$t = f(x) = (x+1)e^x$$，则 $$F(x) = t^2 - m t + m - 1$$。要求 $$F(x)$$ 有三个不同的零点，即方程 $$t^2 - m t + m - 1 = 0$$ 有两个不同的实数解 $$t_1$$ 和 $$t_2$$，且 $$t = f(x)$$ 的图像与 $$t_1$$ 和 $$t_2$$ 有三个交点。分析 $$f(x)$$ 的极值点：$$f'(x) = e^x (x+2)$$，极小值在 $$x=-2$$ 处取得，$$f(-2) = -1/e^2$$。当 $$t_1 = 1$$ 时，$$t_2 = m-1$$。为了保证有三个交点，需要 $$-1/e^2 < t_2 < 0$$，即 $$1 - 1/e^2 < m < 1$$。但若 $$t_2 = 1$$ 且 $$t_1 = m-1$$，则需 $$m > 1$$ 且 $$t_1 > -1/e^2$$，即 $$m \in (1 - 1/e^2, 1) \cup (1, +\infty)$$。故选 D。

2. 解析：函数 $$g(x) = f(x) + x - m$$ 的零点即 $$f(x) = m - x$$。对于 $$x \leq 0$$，$$f(x) = e^x$$，与 $$y = m - x$$ 的交点需满足 $$e^x = m - x$$。对于 $$x > 0$$，$$f(x) = \ln x$$，与 $$y = m - x$$ 的交点需满足 $$\ln x = m - x$$。分析图像可知，当 $$m \in [0, 1)$$ 时，$$g(x)$$ 恰有两个零点。故选 C。

3. 解析：由韦达定理，$$x_1 + x_2 = 4$$，$$x_1 x_2 = 2.5$$。则 $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = 16 - 5 = 11$$。故选 C。

4. 解析：分别求零点： - $$f(x) = 2^x + x$$ 的零点 $$a$$：$$2^x = -x$$，显然 $$a < 0$$。 - $$g(x) = x^3 - 8$$ 的零点 $$b = 2$$。 - $$h(x) = \log_2 x + x$$ 的零点 $$c$$：$$\log_2 x = -x$$，通过图像法可知 $$0 < c < 1$$。因此 $$a < c < b$$。故选 B。

5. 解析：方程 $$\sqrt{x} - \ln x - 2 = 0$$ 可改写为 $$\sqrt{x} - 2 = \ln x$$。设 $$t = \sqrt{x}$$，则 $$t - 2 = 2 \ln t$$。分析函数 $$y = t - 2 - 2 \ln t$$ 的零点，求导得 $$y' = 1 - 2/t$$，极小值在 $$t=2$$ 处取得，$$y(2) = 0$$。因此方程仅有一个根 $$t=2$$，即 $$x=4$$。故选 B。

6. 解析：函数 $$f(x) = \log_{\frac{2}{5\pi}} x - \sin x$$ 的零点即 $$\log_{\frac{2}{5\pi}} x = \sin x$$。由于底数 $$\frac{2}{5\pi} < 1$$，对数函数单调递减，而 $$\sin x$$ 在 $$(0, \pi)$$ 上为正。通过图像分析可知，函数在 $$(0, 1)$$ 和 $$(1, \pi)$$ 各有一个零点，共 2 个。故选 C。

7. 解析：函数 $$f(x)$$ 是分段函数，对于 $$x > 0$$，$$f(x)$$ 是周期为 1 的线性递增函数。方程 $$f(x) = k x$$ 的四个根需满足直线 $$y = k x$$ 与 $$f(x)$$ 的图像有四个交点。通过分析斜率范围，$$k \in \left( \frac{7}{4}, \frac{5}{2} \right)$$ 时满足条件。故选 C。

8. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为二次函数，在 $$x > 0$$ 时为对数函数。方程 $$f(x) = k$$ 有三个根时，需 $$k$$ 与 $$f(x)$$ 的图像在 $$x \leq 0$$ 有两个交点，在 $$x > 0$$ 有一个交点。设 $$x_1, x_2$$ 为负根，$$x_3$$ 为正根，则 $$x_1 + x_2 = -2$$，$$x_3 \in (1, e^2]$$。因此 $$x_1 + x_2 + x_3 \in (-2 + 1, -2 + e^2] = (-1, -2 + e^2]$$。但更精确的范围是 $$(-2 + \frac{1}{e^2}, -2 + \frac{1}{e}]$$。故选 D。

9. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 0$$ 时为 $$|x+2|$$，在 $$x > 0$$ 时为 $$|\log_2 x|$$。方程 $$f(x) = a$$ 有四个实根时，需 $$0 < a < 2$$。因为 $$a=0$$ 时只有三个根，$$a=2$$ 时只有两个根。故选 C。

10. 解析：函数 $$f(x)$$ 在 $$x \leq 1$$ 时为 $$2^{|x|}$$，在 $$x > 1$$ 时对称。方程 $$f(x) = a$$ 有四个根时，需 $$1 < a < 2$$。设四个根为 $$x_1, x_2, x_3, x_4$$，则 $$x_1 = -x_2$$，$$x_3 = 2 - x_4$$。计算 $$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 2 x_1^2 + 2 x_3^2 - 4 x_3 + 4$$，其范围为 $$(8, 12)$$。故选 C。

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