常见函数的零点-4.5 函数的应用（二）知识点课后进阶选择题自测题解析-河北省等高一数学必修,平均正确率50.0%

1. 已知函数 $$f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^{x} - x$$，$$g(x) = \log_{\frac{1}{4}} x - x$$，$$h(x) = x^{3} - x (x > 0)$$ 的零点分别为 $$a, b, c$$，则 $$a, b, c$$ 的大小关系为（ ）。

解析：

对于 $$f(x) = 0$$，即 $$\left( \frac{1}{2} \right)^{x} = x$$，由于 $$\left( \frac{1}{2} \right)^{x}$$ 递减，$$x$$ 递增，存在唯一零点 $$a > 0$$，且 $$f(0) = 1 > 0$$，$$f(1) = \frac{1}{2} - 1 < 0$$，故 $$a \in (0,1)$$。

对于 $$g(x) = 0$$，即 $$\log_{\frac{1}{4}} x = x$$，由于 $$\log_{\frac{1}{4}} x$$ 递减，$$x$$ 递增，存在唯一零点 $$b > 0$$，且 $$g(1) = 0 - 1 < 0$$，$$g\left( \frac{1}{4} \right) = 1 - \frac{1}{4} > 0$$，故 $$b \in \left( \frac{1}{4}, 1 \right)$$。

对于 $$h(x) = 0$$，即 $$x^{3} - x = 0$$，$$x(x^{2} - 1) = 0$$，由于 $$x > 0$$，得 $$x = 1$$，即 $$c = 1$$。

比较：$$a \in (0,1)$$，$$b \in \left( \frac{1}{4}, 1 \right)$$，$$c = 1$$。由于 $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 的零点需进一步比较：令 $$x = \frac{1}{2}$$，$$f\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \approx 0.707 - 0.5 > 0$$，$$g\left( \frac{1}{2} \right) = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$$，故 $$b = \frac{1}{2}$$。而 $$f\left( \frac{1}{2} \right) > 0$$，$$f(1) < 0$$，故 $$a \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$$。因此 $$b = \frac{1}{2} < a < 1 = c$$，即 $$b < a < c$$，对应选项 B：$$c > a > b$$。

答案：B

2. 已知函数 $$f(x) = \cos x, x \in (0, 2\pi)$$ 有两个不同的零点 $$x_{1}, x_{2}$$，且方程 $$f(x) = m (m \neq 0)$$ 有两个不同的实根 $$x_{3}, x_{4}$$，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数 $$m = ( )$$。

解析：

$$f(x) = \cos x$$ 在 $$(0, 2\pi)$$ 的零点为 $$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$，$$x_{2} = \frac{3\pi}{2}$$。

方程 $$\cos x = m$$ 有两个不同实根 $$x_{3}, x_{4}$$ 在 $$(0, 2\pi)$$，且 $$m \neq 0$$，故 $$x_{3} = \arccos m$$，$$x_{4} = 2\pi - \arccos m$$。

四个数从小到大排列为 $$x_{1}, x_{3}, x_{4}, x_{2}$$ 或 $$x_{3}, x_{1}, x_{2}, x_{4}$$，但需构成等差数列。

考虑对称性，可能为 $$x_{1}, x_{3}, x_{4}, x_{2}$$ 成等差，设公差为 $$d$$，则 $$x_{3} = \frac{\pi}{2} + d$$，$$x_{4} = \frac{\pi}{2} + 2d$$，$$x_{2} = \frac{\pi}{2} + 3d = \frac{3\pi}{2}$$，解得 $$d = \frac{\pi}{3}$$，故 $$x_{3} = \frac{5\pi}{6}$$，$$x_{4} = \frac{7\pi}{6}$$。

则 $$m = \cos x_{3} = \cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。

验证另一顺序不成立。

答案：D

3. 方程 $$x^{2} - (m+1)x + 1 = 0$$ 有实数根，则 $$m$$ 的范围是（ ）。

解析：

判别式 $$\Delta = (m+1)^{2} - 4 \geq 0$$，即 $$(m+1)^{2} \geq 4$$，解得 $$m+1 \leq -2$$ 或 $$m+1 \geq 2$$，即 $$m \leq -3$$ 或 $$m \geq 1$$。

答案：A

4. “函数 $$f(x) = a + \ln x (x \geq e)$$ 存在零点” 是 “$$a < -1$$” 的（ ）。

解析：

$$f(x)$$ 存在零点即存在 $$x \geq e$$ 使 $$a + \ln x = 0$$，即 $$a = -\ln x$$。

由于 $$x \geq e$$，则 $$\ln x \geq 1$$，故 $$-\ln x \leq -1$$，即 $$a \leq -1$$。

但 “存在零点” 要求 $$a \leq -1$$，而 “$$a < -1$$” 是其真子集，故是充分不必要条件。

答案：A

5. 若函数 $$y = a^{|x|} + m - 1 (0 < a < 1)$$ 的图象和 $$x$$ 轴有交点，则实数 $$m$$ 的取值范围是（ ）。

解析：

函数与 $$x$$ 轴有交点即方程 $$a^{|x|} + m - 1 = 0$$ 有解，即 $$a^{|x|} = 1 - m$$。

由于 $$0 < a < 1$$，$$a^{|x|} \in (0, 1]$$，故需 $$0 < 1 - m \leq 1$$，即 $$0 \leq m < 1$$。

答案：D

6. 已知函数 $$f(x)$$ 在定义域 $$(0, +\infty)$$ 内单调且对任意 $$x \in (0, +\infty)$$ 时，都有 $$f(f(x) - \log_{2} x) = 3$$，若方程 $$|f(x) - 2| = -x^{2} + 2x + a$$ 在区间 $$(0, 2)$$ 上有 2 个解，则实数 $$a$$ 的取值范围（ ）。

解析：

由 $$f(f(x) - \log_{2} x) = 3$$ 恒成立，且 $$f$$ 单调，可设 $$f(x) - \log_{2} x = C$$（常数），则 $$f(C) = 3$$，代入得 $$f(x) = \log_{2} x + C$$，且 $$f(C) = \log_{2} C + C = 3$$。

由于 $$f$$ 单调，$$C$$ 唯一，解得 $$C = 2$$（因为 $$\log_{2} 2 + 2 = 1 + 2 = 3$$），故 $$f(x) = \log_{2} x + 2$$。

方程变为 $$|\log_{2} x + 2 - 2| = |\log_{2} x| = -x^{2} + 2x + a$$。

在 $$(0, 2)$$ 上，$$|\log_{2} x|$$ 在 $$(0,1)$$ 递减从 $$+\infty$$ 到 0，在 $$(1,2)$$ 递增从 0 到 1；$$-x^{2} + 2x + a = -(x-1)^{2} + 1 + a$$，在 $$(0,2)$$ 上最大值为 $$1 + a$$ 在 $$x=1$$。

方程有 2 个解，需 $$1 + a > 0$$ 即 $$a > -1$$，且由于左侧非负，需 $$1 + a \geq 0$$，同时需考虑函数形态，当 $$a \leq 1$$ 时，右侧最大值 $$1 + a \leq 2$$，与左侧交点情况，综合分析得 $$a \in (-1, 1]$$。

答案：B

7. 下列函数中，零点个数最多的奇函数是（ ）。

解析：

A: $$y = -x^{3} - 1$$，非奇（$$f(-x) = -(-x)^3 - 1 = x^3 - 1 \neq -f(x)$$），零点个数 1。

B: $$y = x + \frac{1}{x}$$，奇函数，零点由 $$x + \frac{1}{x} = 0$$ 得 $$x^{2} = -1$$ 无实根，零点个数 0。

C: $$y = -x^{3} - x = -x(x^{2} + 1)$$，奇函数，零点 $$x = 0$$，个数 1。

D: $$y = -x^{3} (x^{2} - 1) = -x^{5} + x^{3}$$，奇函数，零点 $$x = 0, \pm 1$$，个数 3。

故 D 零点最多。

答案：D

8. 已知函数 $$f(x) = \begin{cases} \frac{1-x}{1+x}, & x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1, & x < 0 \end{cases}$$，函数 $$g(x) = f(1-x) - k x + k - \frac{1}{2}$$ 恰有三个不同的零点，则 $$k$$ 的取值范围是（ ）。

解析：

先求 $$f(1-x)$$：当 $$1-x \geq 0$$ 即 $$x \leq 1$$ 时，$$f(1-x) = \frac{1 - (1-x)}{1 + (1-x)} = \frac{x}{2-x}$$；当 $$1-x < 0$$ 即 $$x > 1$$ 时，$$f(1-x) = (1-x)^{2} + 2(1-x) + 1 = x^{2} - 4x + 4$$。

故 $$g(x) = \begin{cases} \frac{x}{2-x} - k x + k - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \\ x^{2} - 4x + 4 - k x + k - \frac{1}{2}, & x > 1 \end{cases}$$。

需 $$g(x) = 0$$ 有三个不同实根。通过分析函数形态及参数 $$k$$ 的影响，结合选项验证，可得 $$k \in (-2+\sqrt{2}, 0] \cup \left\{ \frac{9}{2} \right\}$$。

答案：B

9. 方程 $$4^{x} - \frac{6}{x} - 5 = 0$$ 的根 $$x_{0} \in [k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2}], k \in Z$$，则 $$k$$ 的值为（ ）。

解析：

令 $$h(x) = 4^{x} - \frac{6}{x} - 5$$，求根区间。

$$h(1) = 4 - 6 - 5 = -7 < 0$$，$$h(2) = 16 - 3 - 5 = 8 > 0$$，故根在 $$(1,2)$$。

$$[k - \frac{1}{2}, k + \frac{1}{2}]$$ 覆盖 $$(1,2)$$，则 $$k = 1$$（因 $$[0.5,1.5]$$ 和 $$[1.5,2.5]$$，但 $$(1,2)$$ 主要在 $$[1,2]$$，$$k=1$$ 时区间为 $$[0.5,1.5]$$ 包含 $$(1,1.5)$$，但需验证：$$h(1.5) = 4^{1.5} - \frac{6}{1.5} - 5 = 8 - 4 - 5 = -1 < 0$$，$$h(2) > 0$$，故根在 $$(1.5,2)$$，属于 $$[1,2.5]$$？但 $$k=1$$ 时区间为 $$[0.5,1.5]$$ 不包含 $$(1.5,2)$$，$$k=2$$ 时区间为 $$[1.5,2.5]$$ 包含 $$(1.5,2)$$。

重新计算：$$h(1.5) < 0$$，$$h(1.6) = 4^{1.6} - \frac{6}{1.6} - 5 \approx 10.56 - 3.75 - 5 = 1.81 > 0$$，故根在 $$(1.5,1.6)$$。

$$k=2$$ 时区间为 $$[1.5,2.5]$$ 包含 $$(1.5,1.6)$$。

答案：C

10. 已知函数 $$f(x) = \begin{cases} -x^{2} + 2x, & -3 \leq x \leq 0 \\ \ln(x+1), & 0 < x \leq 3 \end{cases}$$，若 $$g(x) = |f(x)| - a x - a$$ 有 3 个不同的零点，则实数 $$a$$ 的取值范围是（ ）。

解析：

$$g(x) = 0$$ 即 $$|f(x)| = a(x + 1)$$。

当 $$x \in [-3,0]$$，$$f(x) = -x^{2} + 2x = -x(x-2)$$，值域 $$[-15,0]$$，故 $$|f(x)| = x^{2} - 2x$$（因非正）。

当 $$x \in (0,3]$$，$$f(x) = \ln(x+1) > 0$$，故 $$|f(x)| = \ln(x+1)$$。

方程变为分段：$$x^{2} - 2x = a(x+1)$$ 在 $$[-3,0]$$，$$\ln(x+1) = a(x+1)$$ 在 $$(0,3]$$。

需有 3 个零点，通过分析函数图像及参数 $$a$$，可得 $$a \in \left( \frac{1}{e}, \ln 2 \right]$$。

答案：A