二分法的定义-函数的应用（二）知识点月考基础自测题答案-北京市等高一数学必修,平均正确率66.0%

1、['二分法的定义'， '函数零点存在定理']

正确率60.0%用二分法求方程$$\operatorname{l o g}_{4} x-\frac1 {2 x}=0$$的近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{2}{，}{3}{)}}$$

D.$${{(}{3}{，}{4}{)}}$$

2、['二分法的定义']

正确率60.0%在用二分法求函数$${{f}{(}{x}{)}}$$零点的近似值时，若第一次所取区间为$${{[}{−}{2}{，}{6}{]}{，}}$$则第三次所取区间可能是（）

A.$${{[}{−}{2}{，}{−}{1}{]}}$$

B.$${{[}{−}{1}{，}{1}{]}}$$

C.$${{[}{2}{，}{4}{]}}$$

D.$${{[}{5}{，}{6}{]}}$$

4、['二分法的定义'， '函数单调性的判断'， '函数零点存在定理']

正确率60.0%下列函数中，不能用二分法求函数零点的是（）

A.$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{3}{x}{−}{1}}$$

B.$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{x}^{2}}{−}{2}{x}{+}{1}}$$

C.$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{l}{o}{g}_{3}}{x}}$$

D.$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{e}^{x}}{−}{2}}$$

7、['二分法的定义'， '用二分法求函数零点的近似值']

正确率60.0%用二分法判断方程$${{2}{{x}^{3}}{+}{3}{x}{−}{3}{=}{0}}$$在区间$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$内的根(精确度$${{0}{.}{2}{5}{)}}$$可以是(参考数据：$${{0}{.}{7}{5}^{3}{=}{{0}{.}{4}{2}{1}}{{8}{7}{5}}{，}{{0}{.}{6}{2}{5}^{3}}{=}{{0}{.}{2}{4}{4}}{{1}{4}}{)}{(}{)}}$$

A.$${{0}{.}{8}{2}{5}}$$

B.$${{0}{.}{6}{3}{5}}$$

C.$${{0}{.}{3}{7}{5}}$$

D.$${{0}{.}{2}{5}}$$

8、['二分法的定义'， '用二分法求函数零点的近似值']

正确率60.0%在用二分法求方程$${{f}{(}{x}{)}{=}{0}}$$在$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$上的近似解时，要求精确度为$${{0}{.}{1}}$$，经计算$${{f}{{(}{0}{)}}{<}{0}{，}{f}{(}{{0}{.}{6}{2}{5}}{)}{<}{0}{，}{f}{(}{{0}{.}{7}{5}}{)}{>}{0}{，}}$$$${{f}{(}{{0}{.}{6}{8}{7}{5}}{)}{<}{0}{，}{f}{{(}{1}{)}}{>}{0}}$$，可以得到方程一个近似解为（）

A.$${{0}{.}{6}{1}{5}}$$

B.$${{0}{.}{6}{3}{5}}$$

C.$${{0}{.}{7}{2}{5}}$$

D.$${{0}{.}{8}{2}{5}}$$

9、['二分法的定义'， '用二分法求函数零点的近似值']

正确率60.0%已知函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$为$${{[}{0}{，}{1}{]}}$$上的连续数函数，且$${{f}{(}{0}{)}{⋅}{f}{(}{1}{)}{<}{0}}$$，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到$${{0}{.}{1}}$$，则需对区间至多等分的次数为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

1. 解析：方程 $$\log_{4} x - \frac{1}{2x} = 0$$ 等价于 $$\log_{4} x = \frac{1}{2x}$$。设函数 $$f(x) = \log_{4} x - \frac{1}{2x}$$，二分法要求 $$f(a) \cdot f(b) < 0$$。计算各选项端点的函数值：

- A: $$f(0)$$ 无定义，舍去。 - B: $$f(1) = 0 - \frac{1}{2} = -0.5$$，$$f(2) = \log_{4} 2 - \frac{1}{4} \approx 0.5 - 0.25 = 0.25$$，满足 $$f(1) \cdot f(2) < 0$$。 - C、D: 函数值均为正，不满足条件。

故第一个区间可以是 $$(1, 2)$$，选 B。

2. 解析：二分法每次将区间对半分割。初始区间为 $$[-2, 6]$$，长度为 8。

- 第一次分割：中点 $$c = 2$$，新区间为 $$[-2, 2]$$ 或 $$[2, 6]$$。 - 第二次分割：若取 $$[2, 6]$$，中点 $$c = 4$$，新区间为 $$[2, 4]$$ 或 $$[4, 6]$$。 - 第三次分割：若取 $$[2, 4]$$，中点 $$c = 3$$，新区间为 $$[2, 3]$$ 或 $$[3, 4]$$。

选项中只有 $$[2, 4]$$ 可能为第三次区间，选 C。

4. 解析：二分法要求函数在区间内连续且变号。选项分析：

- A: $$f(x) = 3x - 1$$ 连续且可解，可用二分法。 - B: $$f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$$，零点 $$x=1$$ 处导数也为 0，无法变号，不能用二分法。 - C、D: 函数连续且可变号，可用二分法。

故不能用二分法的是 B。

7. 解析：设 $$f(x) = 2x^3 + 3x - 3$$，在 $$(0, 1)$$ 内求根。计算函数值：

- $$f(0) = -3$$，$$f(1) = 2$$，满足 $$f(0) \cdot f(1) < 0$$。 - 中点 $$0.5$$：$$f(0.5) \approx -1.25$$，新区间 $$(0.5, 1)$$。 - 中点 $$0.75$$：$$f(0.75) \approx 0.421875$$，新区间 $$(0.5, 0.75)$$。 - 中点 $$0.625$$：$$f(0.625) \approx -0.24414$$，新区间 $$(0.625, 0.75)$$。

此时区间长度 $$0.125 < 0.25$$，满足精度要求，根近似为 $$0.635$$，选 B。

8. 解析：根据题目条件，函数在 $$[0, 1]$$ 内变号，且经过多次二分：

- 区间 $$[0.625, 0.75]$$：$$f(0.625) < 0$$，$$f(0.75) > 0$$。 - 中点 $$0.6875$$：$$f(0.6875) < 0$$，新区间 $$(0.6875, 0.75)$$。

此时区间长度 $$0.0625 < 0.1$$，满足精度要求，近似解为 $$0.725$$，选 C。

9. 解析：二分法每次将区间长度减半。初始区间长度 $$1$$，要求最终长度 $$\leq 0.1$$。

- 设需分割 $$n$$ 次，则 $$\frac{1}{2^n} \leq 0.1$$，解得 $$n \geq 4$$。

故最多需分割 4 次，选 C。

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