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正确率60.0%朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为$$A=\mathrm{l g} \frac{1} {T}=K b c，$$其中$${{A}}$$为吸光度$${，{T}}$$为透光度$${，{K}}$$为摩尔吸光系数$${，{c}}$$为溶液的浓度$${{(}}$$单位：$$\mathrm{m o l / L} )， \， \， b$$为液层厚度$${{(}}$$单位：$${{c}{m}{)}}$$．现保持$${{K}{，}{b}}$$不变，当溶液的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的$${{T}}$$变为（）
C
A.$${{4}{T}}$$
B.$${{2}{{T}^{2}}}$$
C.$${{T}^{2}}$$
D.$${{2}{T}}$$
2、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年$${{7}}$$月$${{3}{1}}$$日，中国宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通，这标志着北斗事业进入到全球服务新时代.北斗卫星由长征三号乙运载火箭成功送入太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音.声音的等级$${{d}{(}{x}{)}}$$(单位：$${{d}{B}{)}}$$与声音的强度$${{x}}$$(单位：$$\mathrm{W / m^{2} )}$$满足$$d ( x )=9 \mathrm{l g} \frac{x} {1 \times1 0^{-1 3}}，$$火箭发射时的声音等级约为$$1 5 3 d \mathrm{B}，$$两人交谈时的声音等级约为$${{5}{4}{{d}{B}}{，}}$$那么火箭发射时的声音强度约是两人交谈时声音强度的（）
C
A.$${{1}{0}^{9}}$$倍
B.$$1 0^{1 0}$$倍
C.$$1 0^{1 1}$$倍
D.$$1 0^{1 2}$$倍
3、['对数型函数模型的应用'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%中国的$${{5}{G}}$$技术领先世界$${，{5}{G}}$$技术的数学原理之一便是著名的香农公式：$$C=W \mathrm{l o g}_{2} \left( 1+\frac{S} {N} \right)$$.它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度$${{C}}$$取决于信道带宽$${{W}{，}}$$信道内信号的平均功率$${{S}{，}}$$信道内高斯噪声功率$${{N}}$$的大小，其中$$\frac{S} {N}$$叫作信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的$${{1}}$$可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽$${{W}{，}}$$而将信噪比$$\frac{S} {N}$$从$${{1}{0}{0}{0}}$$提升至$$8 0 0 0，$$则$${{C}}$$大约增加了$$( \mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1 0 )$$（）
B
A.$${{1}{0}{\%}}$$
B.$${{3}{0}{\%}}$$
C.$${{6}{0}{\%}}$$
D.$${{9}{0}{\%}}$$
4、['对数型函数模型的应用']正确率60.0%某公司为了提升销售部的业绩，制定了一个奖励方案：在销售额为$${{8}}$$万元时，奖励$${{1}}$$万元，在销售额为$${{6}{4}}$$万元时，奖励$${{4}}$$万元，拟定销售额$${{x}}$$（万元）与奖励金额$${{y}}$$（万元）之间的函数关系为$$y=a \mathrm{l o g}_{4} x+b ( a， b \in\mathbf{R} )$$.若该公司销售部的某员工想要得到$${{6}}$$万元奖励，则他的销售额应达到（）
B
A.$${{1}{2}{8}}$$万元
B.$${{2}{5}{6}}$$万元
C.$${{5}{1}{2}}$$万元
D.$${{1}{0}{2}{4}}$$万元
5、['对数型函数模型的应用']正确率40.0%当某种药物的浓度大于$$1 0 0 m g / L ($$有效水平$${{)}}$$时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过$$1 0 0 0 m g / L ($$安全水平$${{)}{.}}$$从实验知道该药物浓度以每小时按现有量$${{1}{4}{％}}$$的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为$$6 0 0 m g / L$$，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为$${{(}{)}}$$
$${{(}}$$ 参考数据： $$\operatorname{l g} 2 \approx0. 3 0 1$$ ， $$\operatorname{l g} 3 \approx0. 4 7 7$$ ， $$\operatorname{l g} 8 6 \approx1. 9 3 5 )$$
D
A.$${{4}}$$小时
B.$${{6}}$$小时
C.$${{8}}$$小时
D.$${{1}{2}}$$小时
6、['指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用'， '散点图与正相关、负相关'， '反比例函数模型的应用']正确率60.0%在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
| $${{x}}$$ | $${{−}{2}}$$ | $${{−}{1}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ |
| $${{y}}$$ | $${{0}{.}{2}{4}}$$ | $${{0}{.}{5}{1}}$$ | $${{2}{.}{0}{2}}$$ | $${{3}{.}{9}{8}}$$ | $${{8}{.}{0}{2}}$$ |
D
A.$$y=a+b x$$
B.$$y=a+\frac{b} {x}$$
C.$$y=a+\operatorname{l o g}_{b} x$$
D.$$y=a+b^{x}$$
8、['二次函数模型的应用'， '建立函数模型解决实际问题'， '指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用'， '散点图与正相关、负相关']正确率60.0%有一组实验数据如下表所示:
| $${{t}}$$ | $${{1}{.}{9}{9}}$$ | $${{3}{.}{0}}$$ | $${{4}{.}{0}}$$ | $${{5}{.}{1}}$$ | $${{6}{.}{1}{2}}$$ |
| $${{u}}$$ | $${{1}{.}{5}}$$ | $${{4}{.}{0}{4}}$$ | $${{7}{.}{5}}$$ | $${{1}{2}}$$ | $$1 8. 0 1$$ |
C
A.$${{u}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{t}}$$
B.$$u=2^{t}-2$$
C.$$u=\frac{t^{2}-1} {2}$$
D.$$u=2 t-2$$
9、['对数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%在声学中，声强级$${{L}}$$(单位：$${{d}{B}}$$)由公式$$L=1 0 \operatorname{l g} \Bigl( \frac{I} {1 0^{-1 2}} \Bigr)$$给出，其中$${{I}}$$为声强(单位：$${{W}{/}{{m}^{2}}}$$)$${{.}}$$$$L_{1}=6 0 ~ \mathrm{d B}$$，$$L_{2}=7 5 ~ \mathrm{d B}$$，那么$$\frac{I_{1}} {I_{2}}=$$（）
D
A.$$1 0^{\frac{4} {5}}$$
B.$$1 0^{-\frac{4} {5}}$$
C.$$- \frac{3} {2}$$
D.$$1 0^{-\frac{3} {2}}$$
10、['指数与对数的关系'， '对数型函数模型的应用']正确率60.0%$$\mathrm{L o g i s t i c}$$模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数$$I ( t ) ( t$$的单位：天$${{)}}$$的$$\mathrm{L o g i s t i c}$$模型：$$I ( t )=\frac{K} {1+\mathrm{e}^{-0. 2 3 ( t-5 3 )}}$$，其中$${{K}}$$为最大确诊病例数．当$${{I}}$$($${{t}^{∗}}$$$${{)}{=}{{0}{.}{9}{5}}{K}}$$时，标志着已初步遏制疫情，则$${{t}^{∗}}$$约为（）$$( \mathrm{~ l n ~} 1 9 \approx3 )$$
C
A.$${{6}{0}}$$
B.$${{6}{3}}$$
C.$${{6}{6}}$$
D.$${{6}{9}}$$
1. 朗伯比尔定律：$$A = \lg \frac{1}{T} = K b c$$。当$$K$$和$$b$$不变，浓度$$c$$变为原来的2倍时，吸光度$$A$$也变为原来的2倍：$$A' = 2A$$。
由$$A = \lg \frac{1}{T}$$得$$\frac{1}{T} = 10^A$$，即$$T = 10^{-A}$$。原透光度$$T = 10^{-A}$$，新透光度$$T' = 10^{-A'} = 10^{-2A} = (10^{-A})^2 = T^2$$。
答案：C.$$T^2$$
2. 声音等级公式：$$d(x) = 9 \lg \frac{x}{1 \times 10^{-13}}$$。
火箭发射时$$d_1 = 153$$，两人交谈时$$d_2 = 54$$。
由公式得：$$153 = 9 \lg \frac{x_1}{10^{-13}}$$，解得$$\lg \frac{x_1}{10^{-13}} = 17$$，即$$\frac{x_1}{10^{-13}} = 10^{17}$$，$$x_1 = 10^4$$。
同理：$$54 = 9 \lg \frac{x_2}{10^{-13}}$$，解得$$\lg \frac{x_2}{10^{-13}} = 6$$，即$$\frac{x_2}{10^{-13}} = 10^6$$，$$x_2 = 10^{-7}$$。
强度比：$$\frac{x_1}{x_2} = \frac{10^4}{10^{-7}} = 10^{11}$$。
答案：C.$$10^{11}$$倍
3. 香农公式：$$C = W \log_2 \left(1 + \frac{S}{N}\right)$$。
当信噪比较大时，忽略1：$$C \approx W \log_2 \frac{S}{N}$$。
原信噪比$$\frac{S_1}{N_1} = 1000$$，新信噪比$$\frac{S_2}{N_2} = 8000$$。
原速率：$$C_1 \approx W \log_2 1000$$，新速率：$$C_2 \approx W \log_2 8000$$。
增加比例：$$\frac{C_2 - C_1}{C_1} = \frac{\log_2 8000 - \log_2 1000}{\log_2 1000} = \frac{\log_2 8}{\log_2 1000} = \frac{3}{10}$$（因为$$\log_2 1000 = \frac{\lg 1000}{\lg 2} \approx \frac{3}{0.3010} \approx 10$$）。
即增加30%。
答案：B.$$30\%$$
4. 奖励函数：$$y = a \log_4 x + b$$。
已知：当$$x=8$$时$$y=1$$；当$$x=64$$时$$y=4$$。
代入：$$1 = a \log_4 8 + b$$，$$4 = a \log_4 64 + b$$。
计算：$$\log_4 8 = \frac{3}{2}$$，$$\log_4 64 = 3$$。
得方程组：$$\frac{3}{2}a + b = 1$$，$$3a + b = 4$$。
相减：$$\frac{3}{2}a = 3$$，解得$$a=2$$，代入得$$b=-2$$。
函数为：$$y = 2 \log_4 x - 2$$。
令$$y=6$$：$$2 \log_4 x - 2 = 6$$，即$$\log_4 x = 4$$，$$x = 4^4 = 256$$。
答案：B.$$256$$万元
5. 药物浓度衰减：每小时衰减14%，即保留86%。
首次浓度$$C_0 = 600$$ mg/L，经过$$t$$小时后浓度$$C = 600 \times 0.86^t$$。
需在浓度低于100 mg/L时再次服用，即$$600 \times 0.86^t < 100$$。
解得$$0.86^t < \frac{1}{6}$$，取对数：$$t \lg 0.86 < \lg \frac{1}{6}$$。
$$\lg 0.86 = \lg 86 - 2 \approx 1.935 - 2 = -0.065$$，$$\lg \frac{1}{6} = -\lg 6 \approx -0.778$$。
即$$-0.065t < -0.778$$，$$t > 11.97$$小时。
同时需确保最高浓度不超过1000 mg/L。每次服用后浓度增加600 mg/L，但衰减后叠加需计算。验证各选项：
A.4小时：衰减后浓度$$600 \times 0.86^4 \approx 600 \times 0.547 \approx 328$$，加上新剂量600后为928<1000，安全。
但4<12，未低于有效水平，不合适。
B.6小时：$$600 \times 0.86^6 \approx 600 \times 0.405 \approx 243$$，加600后843<1000，但6<12，仍未低于有效水平。
C.8小时：$$600 \times 0.86^8 \approx 600 \times 0.299 \approx 179$$，加600后779<1000，但8<12，未低于有效水平。
D.12小时：$$600 \times 0.86^{12} \approx 600 \times 0.164 \approx 98.4 < 100$$，达到有效水平以下，加600后698<1000，安全。
故最合适为12小时。
答案：D.$$12$$小时
6. 数据点：$$(-2,0.24)$$, $$(-1,0.51)$$, $$(1,2.02)$$, $$(2,3.98)$$, $$(3,8.02)$$。
观察$$y$$值随$$x$$增大而快速增加，可能为指数增长。
尝试指数模型$$y = a + b^x$$。当$$x=1$$时$$y=2.02$$，$$x=2$$时$$y=3.98 \approx 4$$，$$x=3$$时$$y=8.02 \approx 8$$，符合$$y \approx 2^x$$（因为$$2^1=2$$, $$2^2=4$$, $$2^3=8$$）。
其他模型如线性（A）、反比例（B）、对数（C）均不匹配快速增长趋势。
答案：D.$$y=a+b^x$$
8. 数据点：$$(1.99,1.5)$$, $$(3.0,4.04)$$, $$(4.0,7.5)$$, $$(5.1,12)$$, $$(6.12,18.01)$$。
观察$$u$$随$$t$$增大而增大，且增长加快，可能为二次函数。
尝试$$u = \frac{t^2 - 1}{2}$$：
$$t=2$$时$$u=\frac{4-1}{2}=1.5$$（匹配1.99≈2时1.5），
$$t=3$$时$$u=\frac{9-1}{2}=4$$（匹配3.0时4.04），
$$t=4$$时$$u=\frac{16-1}{2}=7.5$$（匹配4.0时7.5），
$$t=5$$时$$u=\frac{25-1}{2}=12$$（匹配5.1≈5时12），
$$t=6$$时$$u=\frac{36-1}{2}=17.5$$（接近6.12≈6时18.01）。
其他模型如对数（A）、指数（B）、线性（D）均不如二次函数匹配度高。
答案：C.$$u=\frac{t^2-1}{2}$$
9. 声强级公式：$$L = 10 \lg \frac{I}{10^{-12}}$$。
已知$$L_1=60$$, $$L_2=75$$。
由公式：$$60 = 10 \lg \frac{I_1}{10^{-12}}$$，即$$\lg \frac{I_1}{10^{-12}} = 6$$，$$\frac{I_1}{10^{-12}} = 10^6$$，$$I_1 = 10^{-6}$$。
同理：$$75 = 10 \lg \frac{I_2}{10^{-12}}$$，即$$\lg \frac{I_2}{10^{-12}} = 7.5$$，$$\frac{I_2}{10^{-12}} = 10^{7.5}$$，$$I_2 = 10^{-4.5}$$。
比值：$$\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^{-6}}{10^{-4.5}} = 10^{-1.5} = 10^{-\frac{3}{2}}$$。
答案：D.$$10^{-\frac{3}{2}}$$
10. Logistic模型：$$I(t) = \frac{K}{1 + e^{-0.23(t-53)}}$$。
当$$I(t^*) = 0.95K$$时，有$$\frac{K}{1 + e^{-0.23(t^*-53)}} = 0.95K$$。
化简：$$\frac{1}{1 + e^{-0.23(t^*-53)}} = 0.95$$，即$$1 + e^{-0.23(t^*-53)} = \frac{1}{0.95} = \frac{20}{19}$$。
所以$$e^{-0.23(t^*-53)} = \frac{20}{19} - 1 = \frac{1}{19}$$。
取自然对数：$$-0.23(t^*-53) = \ln \frac{1}{19} = -\ln 19$$。
即$$0.23(t^*-53) = \ln 19 \approx 3$$。
解得$$t^* - 53 \approx \frac{3}{0.23} \approx 13.04$$，$$t^* \approx 66$$。
答案：C.$$66$$