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正确率60.0%已知某电子产品电池充满电时的电量为$${{3}{0}{0}{0}}$$毫安，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择$${{.}{A}}$$模式：电量呈线性衰减，每小时耗电$${{3}{0}{0}}$$毫安；$${{B}}$$模式：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起$$， ~ t ( t \geqslant0 )$$小时后的电量为当前电量的$$\frac{1} {2^{t}}$$.现使该电子产品满电量待机时开启$${{A}}$$模式，并在$${{5}}$$小时后切换为$${{B}}$$模式，若要使该电子产品至少保留$${{5}{%}}$$的电量，则总待机时长最大约为(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0 1 )$$（）
B
A.$${{7}{.}{7}}$$小时
B.$${{8}{.}{3}}$$小时
C.$${{1}{0}{.}{3}}$$小时
D.$${{1}{1}{.}{3}}$$小时
2、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%加快县域范围内农业转移人口市民化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点.某高一数学兴趣小组通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以$${{5}{%}}$$的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（）
B
A.$$f ( x )=a x+b$$
B.$$f ( x )=a \cdot b^{x}+c ( a \neq0， \， \， b > 0$$且$${{b}{≠}{1}{)}}$$
C.$$f ( x )=a \cdot x^{2}+b x+c ( a \neq0 )$$
D.$$f ( x )=a \cdot\operatorname{l o g}_{b} x+c ( a \neq0， \ b > 0$$且$${{b}{≠}{1}{)}}$$
3、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系']正确率40.0%新风机的工作原理是从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为$${{v}_{0}{，}}$$初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为$${{m}}$$．已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为$$v ( v > 1 )，$$室内空气中颗粒物的浓度与时刻$${{t}}$$的函数关系为$$\rho( t )=( 1-\lambda) \frac{m} {v_{0}}+\lambda\frac{m} {v_{0}} \mathrm{e}^{-v t.}$$其中常数$${{λ}}$$为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为$$\frac{4} {5}，$$且$${{t}{=}{1}}$$时室内空气中颗粒物的浓度是$${{t}{=}{2}}$$时的$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$倍，则$${{v}}$$的值约为（）(参考数据：
B
A.$$1. 3 8 6 2$$
B.$$1. 7 9 1 7$$
C.$$2. 1 9 7 2$$
D.$$3. 5 8 3 4$$
4、['指数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率40.0%放射性核素锶$${{8}{9}}$$的质量$${{M}}$$会按某个衰减率衰减，设其初始质量为$${{M}_{0}{，}}$$质量$${{M}}$$与时间$${{t}}$$(单位：天)的函数关系为$$M=M_{0} \cdot\left( \frac{1} {2} \right)^{\frac{t} {5 0}}，$$若锶$${{8}{9}}$$的质量从$${{M}_{0}}$$衰减至$${\frac{1} {2}} M_{0}， ~ {\frac{1} {3}} M_{0}， ~ {\frac{1} {1 2}} M_{0}$$所经过的时间分别为$$t_{1}， ~ t_{2}， ~ t_{3}，$$则（）
A
A.$$t_{3}=2 t_{1}+t_{2}$$
B.$$t_{3}=t_{1}+t_{2}$$
C.$$t_{2}=2 t_{1}+t_{3}$$
D.$$t_{3}=2 t_{1}-t_{2}$$
5、['指数型函数模型的应用'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知初始值为$${{1}{，}}$$把$$( 1+1 7_{0} )^{3 6 5}$$看作每天的“进步率”都是$${{1}{%}{，}}$$一年$${{(}{{3}{6}{5}}}$$天)后的值是$$1. 0 1^{3 6 5}，$$把$$( 1-1 7_{0} )^{3 6 5}$$看作每天的“退步率”都是$${{1}{%}{，}}$$一年$${{(}{{3}{6}{5}}}$$天)后的值是$$0. 9 9^{3 6 5} \，，$$照此计算，初始值“进步”后的值是“退步”后的值的$${{1}{0}}$$倍大约需要经过(参考数据：$$\mathrm{l g} 1. 0 1 \approx0. 0 0 4 3 2， \mathrm{~ l g} 0. 9 9 \approx-0. 0 0 4 3 6 )$$（）
C
A.$${{1}{0}{0}}$$天
B.$${{1}{0}{8}}$$天
C.$${{1}{1}{5}}$$天
D.$${{1}{2}{4}}$$天
6、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%下列函数关系中，可以看成是指数型函数$$y=k a^{x} ( k \in{\bf R}， ~ a > 0$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$关系的是（）
B
A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B.若我国人口年自然增长率为$${{1}{%}{，}}$$则我国人口总数随年份的变化关系
C.如果某人$${{t}{s}}$$内骑车行进了$${{1}{{k}{m}}{，}}$$那么此人骑车的平均速度$${{v}}$$与时间$${{t}}$$的关系
D.邮件的邮资与其重量间的关系
7、['指数型函数模型的应用'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%$$\mathrm{P e u k e r t}$$于$${{1}{8}{9}{8}}$$年提出蓄电池的容量$${{C}}$$(单位：$${{A}{h}{)}{，}}$$放电时间$${{t}}$$(单位：$${{h}{)}}$$与放电电流$${{I}}$$(单位：$${{A}{)}}$$之间关系的经验公式：$$C=I^{n} \cdot t，$$其中$${{n}}$$为$$\mathrm{P e u k e r t}$$常数.为了测算某蓄电池的$$\mathrm{P e u k e r t}$$常数$${{n}{，}}$$在电池容量不变的条件下，得到当放电电流$${{I}{=}{{2}{0}}{A}}$$时，放电时间$${{t}{=}{{2}{0}}{h}}$$；当放电电流$${{I}{=}{{3}{0}}{A}}$$时，放电时间$${{t}{=}{{1}{0}}{h}}$$.则该蓄电池的$$\mathrm{P e u k e r t}$$常数$${{n}}$$大约为（）(参考数据：$$\mathrm{l g} 2 \approx0. 3 0， ~ \mathrm{l g} 3 \approx0. 4 8 )$$
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{8} {2}$$
D.$${{2}}$$
8、['指数型函数模型的应用'， '对数型函数模型的应用'， '幂函数模型的应用']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\left( \frac{1} {2}， \， \frac{1} {4} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {2}， ~ \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
C.$$\left( \frac{1} {4}， ~ \frac{1} {1 6} \right)$$
D.$$\left( \frac{1} {4}， \ \frac{1} {2} \right)$$
9、['指数型函数模型的应用']正确率60.0%某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理$${{.}}$$该地$${{2}{0}{2}{0}}$$年产生的生活垃圾为$${{2}{0}}$$万吨，其中$${{1}{5}}$$万吨以填埋方式处理，$${{5}}$$万吨以环保方式处理$${{.}}$$预计每年生活垃圾的总量比前一年增加$${{1}}$$万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从$${{2}{0}{2}{1}}$$年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的$${{q}}$$倍，若要使得$${{2}{0}{2}{4}}$$年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的$${{5}{0}{%}}$$，则$${{q}}$$的值至少为（）
C
A.$${^{5}\sqrt {{2}{.}{4}}}$$
B.$${^{5}\sqrt {{2}{.}{5}}}$$
C.$${^{4}\sqrt {{2}{.}{4}}}$$
D.$${^{4}\sqrt {{2}{.}{5}}}$$
10、['指数型函数模型的应用']正确率40.0%某种细菌经$${{6}{0}}$$分钟培养，可繁殖为原来的$${{2}}$$倍，且知该细菌的繁殖规律为$$y=1 0 \mathrm{e}^{k t}$$，其中$${{k}}$$为常数，$${{t}}$$表示时间(单位：小时)，$${{y}}$$表示细菌个数，$${{1}{0}}$$个细菌经过$${{7}}$$小时培养，细菌能达到的个数为（）
B
A.$${{6}{4}{0}}$$
B.$${{1}{{2}{8}{0}}}$$
C.$${{2}{{5}{6}{0}}}$$
D.$${{5}{{1}{2}{0}}}$$
1. 解析：
初始电量：$$3000$$毫安
A模式5小时后剩余电量：$$3000 - 300 \times 5 = 1500$$毫安
切换B模式后电量函数：$$Q(t) = 1500 \times \frac{1}{2^t}$$
保留5%电量要求：$$1500 \times \frac{1}{2^t} \geq 3000 \times 0.05$$
化简得：$$\frac{1}{2^t} \geq 0.1$$
取对数：$$-t \lg2 \geq \lg0.1$$
解得：$$t \leq \frac{1}{0.301} \approx 3.32$$小时
总时长：$$5 + 3.32 = 8.32$$小时，最接近选项B
答案：B
2. 解析：
人口增长模型符合指数增长：$$P(t) = P_0 \times (1 + r)^t$$
对应选项B形式：$$f(x) = a \cdot b^x + c$$（其中c=0时为纯指数）
答案：B
3. 解析：
代入$$\lambda = \frac{4}{5}$$得浓度函数：$$\rho(t) = \frac{m}{5v_0} + \frac{4m}{5v_0}e^{-vt}$$
根据题意：$$\frac{\rho(1)}{\rho(2)} = \frac{3}{2}$$
建立方程：$$\frac{1 + 4e^{-v}}{1 + 4e^{-2v}} = \frac{3}{2}$$
化简得：$$4e^{-v} - 6e^{-2v} = 1$$
设$$x = e^{-v}$$，得方程：$$6x^2 - 4x + 1 = 0$$
解得：$$x \approx 0.1667$$（舍去另一解）
计算得：$$v \approx -\ln0.1667 \approx 1.7917$$
答案：B
4. 解析：
根据衰减公式：$$M = M_0 \times 2^{-t/50}$$
计算各时间：
$$t_1$$满足$$2^{-t_1/50} = \frac{1}{2}$$ ⇒ $$t_1 = 50$$天
$$t_2$$满足$$2^{-t_2/50} = \frac{1}{3}$$ ⇒ $$t_2 = 50\log_2 3$$天
$$t_3$$满足$$2^{-t_3/50} = \frac{1}{12}$$ ⇒ $$t_3 = 50\log_2 12 = 50(2 + \log_2 3)$$天
可见$$t_3 = 2t_1 + t_2$$
答案：A
5. 解析：
设需要n天，满足：$$1.01^n = 10 \times 0.99^n$$
取对数：$$n\lg1.01 = 1 + n\lg0.99$$
整理得：$$n = \frac{1}{\lg1.01 - \lg0.99} \approx \frac{1}{0.00432 - (-0.00436)} \approx 115$$天
答案：C
6. 解析：
A选项为抛物线模型，不符合
B选项符合指数增长模型$$P = P_0(1 + r)^t$$
C选项为反比例函数$$v = \frac{1}{t}$$
D选项通常为分段函数
答案：B
7. 解析：
根据Peukert公式：$$C = I^n \cdot t$$
建立方程组：
$$20^n \times 20 = 30^n \times 10$$
化简得：$$2 = 1.5^n$$
取对数：$$n = \frac{\lg2}{\lg1.5} \approx \frac{0.30}{0.48-0.30} \approx \frac{5}{3}$$
答案：B
9. 解析：
2024年垃圾总量：$$20 + 4 = 24$$万吨
环保处理量：$$5q^4$$万吨
填埋量要求：$$24 - 5q^4 \leq 12$$
解得：$$q^4 \geq 2.4$$ ⇒ $$q \geq \sqrt[4]{2.4}$$
答案：C
10. 解析：
根据繁殖规律：$$y = 10e^{kt}$$
1小时繁殖为2倍：$$20 = 10e^{k \times 1}$$ ⇒ $$k = \ln2$$
7小时后数量：$$y = 10e^{7\ln2} = 10 \times 2^7 = 1280$$
答案：B