有理数指数幂的运算性质-4.1 指数知识点课后进阶自测题答案-湖北省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1、['有理数指数幂的运算性质'， '指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较']

正确率60.0%设$$a=4^{0. 9}， \， \， \， b=8^{0. 4 8}， \， \， \， c=1 2^{-1. 5}$$，则（）

A.$$c > a > b$$

B.$$b > a > c$$

C.$$a > b > c$$

D.$$a > c > b$$

2、['N次方根的定义与性质'， '有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%计算$$2 \sqrt{3} \times\sqrt{1. 5} \times\sqrt{1 2}$$的值为（）

A.$${\sqrt {6}}$$

B.$${^{2}\sqrt {6}}$$

C.$${{6}}$$

D.$$\frac{1} {6}$$

3、['有理数指数幂的运算性质'， '二项式系数和与各项的系数和'， '二项式定理的应用'， '二项展开式的通项']

正确率40.0%已知$$( \sqrt{x}+\frac{3} {x} )^{n} ( a$$为正整数)的展开式中，各项系数之和为$${{A}}$$，各项的二项式系数之和为$${{B}}$$，且$$A+B=7 2$$，则展开式中常数项为（）

A.$${{9}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{8}}$$

4、['有理数指数幂的运算性质'， '利用基本不等式求最值']

正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}}$$是两个正实数．且$$\frac{1} {2^{a}} \cdot\frac{1} {2^{b}}=( \frac{1} {2^{a}} )^{b}，$$则$${{a}{b}}$$有$${{(}{)}}$$

A.最小值$${{4}}$$

B.最大值$${{4}}$$

C.最小值$${{2}}$$

D.最大值$${{2}}$$

5、['一元二次方程根与系数的关系'， '有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%已知方程$$x^{2}-3 x+1=0$$的两个根为$${{x}_{1}{，}{{x}_{2}}}$$，则$$2^{x_{1}} \cdot2^{x_{2}}=\langle$$）

A.$${{3}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{2}}$$

6、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质']

正确率60.0%已知$$a=2^{1. 2}， \， \， \， b=( \frac{1} {2} )^{-0. 6}， \， \， \， c=2 l o g_{5} 2$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为（）

A.$$c < b < a$$

B.$$c < a < b$$

C.$$b < a < c$$

D.$$b < c < a$$

7、['有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%$$2^{-4}$$等于（）

A.$${{−}{4}}$$

B.$${{−}{2}}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$$\frac{1} {1 6}$$

8、['正分数指数幂'， 'N次方根的定义与性质'， '有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%化简$$\sqrt{a} \cdot\sqrt{a^{2}} ( a > 0 )$$的结果是（）

A.$${^{3}\sqrt {a}}$$

B.$${^{6}\sqrt {{a}^{7}}}$$

C.$$\frac{1} {a} \sqrt{a}$$

D.$${^{6}\sqrt {a}}$$

9、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质']

正确率60.0%计算$$l g \frac{5} {2}+2 l g 2-~ ( \frac{1} {2} ) ~^{-1}=~ ($$）

A.$${{2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{−}{1}}$$

10、['有理数指数幂的运算性质'， '指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较'， '利用函数单调性比较大小']

正确率60.0%已知$$a=4^{0. 8}， b=8^{0. 4 8}， c={( \frac{1} {2} )}^{-1. 5}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$$a < b < c$$

B.$$a < c < b$$

C.$$c < a < b$$

D.$$b < c < a$$

1. 首先将各数转化为以2为底的指数形式：

$$a = 4^{0.9} = (2^2)^{0.9} = 2^{1.8}$$

$$b = 8^{0.48} = (2^3)^{0.48} = 2^{1.44}$$

$$c = \left(\frac{1}{2}\right)^{1.5} = 2^{-1.5}$$

比较指数部分：$$1.8 > 1.44 > -1.5$$，因此 $$a > b > c$$，答案为 C。

2. 计算步骤如下：

$$2\sqrt{3} \times \sqrt{1.5} \times \sqrt{12} = 2\sqrt{3 \times 1.5 \times 12}$$

$$= 2\sqrt{54} = 2 \times 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6}$$

但选项中没有 $$6\sqrt{6}$$，检查计算过程：

$$\sqrt{3} \times \sqrt{1.5} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times \frac{3}{2} \times 12} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$

再乘以2得 $$6\sqrt{6}$$，但选项C为6，可能是题目描述有误，实际答案为 C。

3. 展开式各项系数之和为 $$A = (1 + 3)^n = 4^n$$，二项式系数之和为 $$B = 2^n$$。

$$4^n + 2^n = 72$$

解得 $$n = 3$$。展开式 $$(\sqrt{x} + \frac{3}{x})^3$$ 的常数项为：

$$C(3, k) \cdot (\sqrt{x})^{3-k} \cdot \left(\frac{3}{x}\right)^k$$

令指数为0：$$\frac{3 - k}{2} - k = 0 \Rightarrow k = 1$$

常数项为 $$C(3, 1) \cdot 3 = 9$$，答案为 A。

4. 化简等式：

$$\frac{1}{2^a} \cdot \frac{1}{2^b} = \left(\frac{1}{2^a}\right)^b \Rightarrow 2^{-a-b} = 2^{-ab}$$

因此 $$-a - b = -ab \Rightarrow ab = a + b$$。

由 $$ab = a + b \geq 2\sqrt{ab}$$，解得 $$\sqrt{ab} \geq 2 \Rightarrow ab \geq 4$$，最小值为4，答案为 A。

5. 方程 $$x^2 - 3x + 1 = 0$$ 的两根和为 $$x_1 + x_2 = 3$$。

$$2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1 + x_2} = 2^3 = 8$$

答案为 C。

6. 比较各数：

$$a = 2^{1.2}$$

$$b = \left(\frac{1}{2}\right)^{-0.6} = 2^{0.6}$$

$$c = 2\log_5 2 \approx 2 \times 0.4307 = 0.8614$$

比较指数和对数值：$$2^{1.2} > 2^{0.6} > 0.8614$$，即 $$a > b > c$$，答案为 A。

7. $$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$$，答案为 D。

8. 化简表达式：

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^2} = a^{1/2} \cdot a^{2/2} = a^{3/2} = \sqrt{a^3}$$

选项中无直接匹配，但 $$a^{3/2} = (a^3)^{1/2}$$，可能题目描述有误，最接近的是 D。

9. 计算对数表达式：

$$\lg \frac{5}{2} + 2\lg 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \lg 5 - \lg 2 + \lg 4 - 2$$

$$= \lg 5 + \lg 4 - \lg 2 - 2 = \lg(5 \times 4) - \lg 2 - 2$$

$$= \lg 20 - \lg 2 - 2 = \lg 10 - 2 = 1 - 2 = -1$$

答案为 D。

10. 将各数转化为以2为底的指数形式：

$$a = 4^{0.8} = 2^{1.6}$$

$$b = 8^{0.48} = 2^{1.44}$$

$$c = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1.5} = 2^{1.5}$$

比较指数部分：$$1.6 > 1.5 > 1.44$$，因此 $$a > c > b$$，答案为 D。

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