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正确率60.0%已知$${{a}{>}{0}}$$且$${{a}{≠}{1}}$$，则函数$$f ( x )=\frac{a^{x}} {b}-\frac{b} {a^{x}}$$为奇函数的一个充分不必要条件是（）
C
A.$${{b}{<}{0}}$$
B.$${{b}{>}{−}{1}}$$
C.$${{b}{=}{−}{1}}$$
D.$${{b}{=}{±}{1}}$$
3、['实数指数幂的运算性质'， '复数相等的条件及应用'， '复数的除法']正确率60.0%已知$${{i}}$$为虚数单位，若$$\frac{1} {1-\mathrm{i}}=a+b \mathrm{i} ( a， ~ b \in\mathbf{R} )，$$则$${{a}^{b}{=}}$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${{2}}$$
4、['实数指数幂的运算性质'， '有理数指数幂的运算性质'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%已知$${{a}{，}{b}{∈}{R}{且}{a}{−}{2}{b}{+}{2}{=}{0}}$$则$$2^{a}+\frac{1} {4^{b}}$$的最小值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
5、['实数指数幂的运算性质'， '类比推理']正确率60.0%苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理$${{“}}$$大数运算$${{”}}$$做出了巨大贡献．法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：$${{“}}$$对数倍增了天文学家的寿命．$${{”}}$$
比如在下面的部分对数表中，$${{1}{6}{，}{{2}{5}{6}}}$$对应的幂指数分别为$${{4}{，}{8}}$$，幂指数和为$${{1}{2}}$$，而$${{1}{2}}$$对应的幂为$${{4}{0}{9}{6}}$$，因此$${{1}{6}{×}{{2}{5}{6}}{=}{{4}{0}{9}{6}}}$$．根据此表，推算$${{5}{1}{2}{×}{{1}{6}{3}{8}{4}}{=}{（}}$$）
| $${{x}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ |
| $${{y}{=}{{2}^{x}}}$$ | $${{2}}$$ | $${{4}}$$ | $${{8}}$$ | $${{1}{6}}$$ | $${{3}{2}}$$ | $${{6}{4}}$$ | $${{1}{2}{8}}$$ | $${{2}{5}{6}}$$ | $${{5}{1}{2}}$$ | $${{1}{0}{2}{4}}$$ |
| $${{x}}$$ | $${{1}{1}}$$ | $${{1}{2}}$$ | $${{1}{3}}$$ | $${{1}{4}}$$ | $${{1}{5}}$$ | $${{1}{6}}$$ | $${{1}{7}}$$ | $${{1}{8}}$$ | $${{1}{9}}$$ | $${{2}{0}}$$ |
| $${{y}{=}{{2}^{x}}}$$ | $${{2}{0}{4}{8}}$$ | $${{4}{0}{9}{6}}$$ | $${{8}{1}{9}{2}}$$ | $${{1}{6}{3}{8}{4}}$$ | $${{3}{2}{7}{6}{8}}$$ | $${{6}{5}{5}{3}{6}}$$ | $${{1}{3}{1}{0}{7}{2}}$$ | $${{2}{6}{2}{1}{4}{4}}$$ | $${{5}{2}{4}{2}{8}{8}}$$ | $${{1}{0}{4}{8}{5}{7}{6}}$$ |
| $${{x}}$$ | $${{2}{1}}$$ | $${{2}{2}}$$ | $${{2}{3}}$$ | $${{2}{4}}$$ | $${{2}{5}}$$ | |||||
| $${{y}{=}{{2}^{x}}}$$ | $${{2}{0}{9}{7}{1}{5}{2}}$$ | $${{4}{1}{9}{4}{3}{0}{4}}$$ | $${{8}{3}{8}{8}{6}{0}{8}}$$ | $${{1}{6}{7}{7}{7}{2}{1}{6}}$$ | $${{3}{3}{5}{5}{4}{4}{3}{2}}$$ | |||||
B
A.$${{5}{2}{4}{2}{8}{8}}$$
B.$${{8}{3}{8}{8}{6}{0}{8}}$$
C.$${{1}{6}{7}{7}{7}{2}{1}{6}}$$
D.$${{3}{3}{5}{5}{4}{4}{3}{2}}$$
6、['实数指数幂的运算性质'， '函数图象的对称变换']正确率60.0%函数$${{y}{=}{−}{{e}^{x}}}$$的图象$${{(}{)}}$$
D
A.与$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称
B.与$${{y}{=}{{e}^{x}}}$$的图象关于坐标原点对称
C.与$$y=e^{-x}$$的图象关于$${{y}}$$轴对称
D.与$$y=e^{-x}$$的图象关于坐标原点对称
7、['实数指数幂的运算性质'， '函数的对称性']正确率40.0%函数$$y=4^{-x}$$与函数$$y=2^{2 x-3}$$关于（）对称
C
A.$${{x}{=}{0}}$$
B.$$x=\frac{3} {4}$$
C.$$x=\frac{9} {4}$$
D.$$( \frac{3} {4}， 0 )$$
8、['实数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质']正确率80.0%$${{8}^{0}{−}{l}{g}{{1}{0}{0}}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
9、['实数指数幂的运算性质'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{-x}， x < 0，} \\ {f ( x-1 )+1， x \geqslant0，} \\ \end{array} \right.$$则$${{f}{(}{6}{)}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{0}}$$
10、['实数指数幂的运算性质'， '指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%若$$a=\left( \sqrt{3} \right)^{\frac{2} {3}}， \， \， \， b=\sqrt{2}， \， \， c=\operatorname{l o g}_{\sqrt{3}} \sqrt{4}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）
A
A.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
B.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$
C.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$
D.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$
1. 题目解析：
函数 $$f(x) = \frac{a^x}{b} - \frac{b}{a^x}$$ 为奇函数的条件是 $$f(-x) = -f(x)$$。
代入计算：
$$f(-x) = \frac{a^{-x}}{b} - \frac{b}{a^{-x}} = \frac{1}{b a^x} - b a^x$$
要求 $$f(-x) = -f(x)$$，即：
$$\frac{1}{b a^x} - b a^x = -\left( \frac{a^x}{b} - \frac{b}{a^x} \right) = -\frac{a^x}{b} + \frac{b}{a^x}$$
整理得：
$$\frac{1}{b a^x} + \frac{b}{a^x} = \frac{a^x}{b} + b a^x$$
两边乘以 $$b a^x$$ 得：
$$1 + b^2 = a^{2x} + b^2 a^{2x}$$
即：
$$1 + b^2 = a^{2x} (1 + b^2)$$
由于 $$a > 0$$ 且 $$a \neq 1$$，且等式对所有 $$x$$ 成立，必须有 $$1 + b^2 = 0$$ 或 $$a^{2x} = 1$$。
$$a^{2x} = 1$$ 对所有 $$x$$ 成立是不可能的，因此必须有 $$1 + b^2 = 0$$，即 $$b = \pm i$$，但 $$b$$ 为实数，故无解。
但题目要求的是充分不必要条件，即只需满足 $$f(0) = 0$$（奇函数在 $$x=0$$ 有定义时需满足的条件）：
$$f(0) = \frac{1}{b} - b = 0 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1$$
选项中 $$b = -1$$ 是一个具体的充分不必要条件，因此选 C。
3. 题目解析：
给定 $$\frac{1}{1 - i} = a + b i$$，计算左边：
$$\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i}{1 - i^2} = \frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$$
因此 $$a = \frac{1}{2}$$，$$b = \frac{1}{2}$$。
计算 $$a^b = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，选 C。
4. 题目解析：
由 $$a - 2b + 2 = 0$$ 得 $$a = 2b - 2$$。
表达式为 $$2^a + \frac{1}{4^b} = 2^{2b - 2} + 4^{-b} = \frac{1}{4} \cdot 4^b + 4^{-b}$$。
设 $$t = 4^b$$（$$t > 0$$），则表达式为 $$\frac{t}{4} + \frac{1}{t}$$。
由 AM-GM 不等式：
$$\frac{t}{4} + \frac{1}{t} \geq 2 \sqrt{\frac{t}{4} \cdot \frac{1}{t}} = 1$$，当且仅当 $$\frac{t}{4} = \frac{1}{t}$$ 即 $$t = 2$$ 时取等。
因此最小值为 1，选 B。
5. 题目解析：
根据对数表，$$512 = 2^9$$，$$16384 = 2^{14}$$。
$$512 \times 16384 = 2^9 \times 2^{14} = 2^{23}$$。
查表得 $$2^{23} = 8388608$$，选 B。
6. 题目解析：
函数 $$y = -e^x$$ 与 $$y = e^x$$ 关于 $$x$$ 轴对称，与 $$y = e^{-x}$$ 关于原点对称。
选项中 D 描述正确，选 D。
7. 题目解析：
函数 $$y = 4^{-x} = 2^{-2x}$$，函数 $$y = 2^{2x - 3}$$。
设对称轴为 $$x = c$$，则对于任意 $$x$$，有 $$-2(2c - x) = 2x - 3$$。
解得 $$-4c + 2x = 2x - 3 \Rightarrow -4c = -3 \Rightarrow c = \frac{3}{4}$$。
因此关于 $$x = \frac{3}{4}$$ 对称，选 B。
8. 题目解析：
计算 $$8^0 - \lg 100 = 1 - 2 = -1$$，选 C。
9. 题目解析：
函数分段定义，对于 $$x \geq 0$$，有 $$f(x) = f(x - 1) + 1$$。
递推得：
$$f(6) = f(5) + 1 = f(4) + 2 = \cdots = f(0) + 6$$。
对于 $$x < 0$$，$$f(0^-) = 2^0 = 1$$，但 $$f(0)$$ 需要通过递推定义。
假设 $$f(0) = f(-1) + 1 = 2^1 + 1 = 3$$，则 $$f(6) = 3 + 6 = 9$$，选 C。
10. 题目解析：
计算各值：
$$a = (\sqrt{3})^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \approx 1.442$$，
$$b = \sqrt{2} \approx 1.414$$，
$$c = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{4} = \frac{\ln 2}{\ln \sqrt{3}} = \frac{2 \ln 2}{\ln 3} \approx \frac{1.386}{1.0986} \approx 1.262$$。
因此大小关系为 $$a > b > c$$，选 A。