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正确率60.0%下列函数中，满足$$f ( x ) f ( y )=f ( x+y )$$恒成立，且在$${{R}}$$上是增函数的是（）
D
A.$$f ( x )=x^{3}$$
B.$$f ( x )=\left( \frac{2} {3} \right)^{x}$$
C.$$f ( x )=x^{\frac{2} {3}}$$
D.$$f ( x )=\mathrm{e}^{x}$$
2、['实数指数幂的运算性质']正确率60.0%若$$n \in\mathbf{N}， ~ a \in\mathbf{R}，$$给出下列四个式子：①$$\sqrt{(-7 )^{4 n}}$$；②$$\sqrt{(-7 )^{3 n}}$$；③$${^{3}\sqrt {{a}^{2}}}$$；④$${\sqrt {{a}^{3}}}$$.其中一定有意义的式子是（）
C
A.①②③
B.②④
C.①③
D.③④
3、['实数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系'， '对数的定义']正确率60.0%设$$\operatorname{l o g}_{a} 2=m， \， \， \operatorname{l o g}_{a} 3=n，$$则$$a^{m+n}$$的值为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$${{6}}$$
4、['实数指数幂的运算性质'， '抽象函数的应用'， '对数的运算性质'， '三角函数的性质综合'， '函数性质的综合应用']正确率60.0%给出下列三个等式：$$f ( x y )=f ( x )+f ( y )$$，$$f ( x+y )=f ( x ) f ( y )$$，$$f ( x+y )=\frac{f ( x )+f ( y )} {1-f ( x ) f ( y )}$$．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）
B
A.$$f ( x )=3^{x}$$
B.$$f ( x )=\operatorname{s i n} x$$
C.$$f ( x )=\operatorname{l o g}_{2} x$$
D.$$f ( x )=\operatorname{t a n} x$$
5、['数列的前n项和'， '实数指数幂的运算性质'， '数列的递推公式'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+2 a_{2}+2^{2} a_{3}+\cdots+2^{n-1} a_{n}=$$$$\frac{n} {2} ( n \in{\bf N}_{+} )$$，则$$a_{1} a_{2} a_{3} \cdots\cdots a_{1 0}$$等于（）
A
A.$$( \frac{1} {2} )^{5 5}$$
B.$$1-( \frac{1} {2} )^{1 0}$$
C.$$1-( \frac{1} {2} )^{9}$$
D.$$( \frac{1} {2} )^{6 6}$$
6、['实数指数幂的运算性质'， '利用基本不等式求最值']正确率60.0%设$${{a}{，}{b}}$$为实数，且$$a+b=3$$，则$${{2}^{a}{+}{{2}^{b}}}$$的最小值是（）
B
A.$${{6}}$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{8}}$$
7、['实数指数幂的运算性质'， '类比推理']正确率60.0%苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理$${{“}}$$大数运算$${{”}}$$做出了巨大贡献．法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：$${{“}}$$对数倍增了天文学家的寿命．$${{”}}$$
比如在下面的部分对数表中，$${{1}{6}{，}{{2}{5}{6}}}$$对应的幂指数分别为$${{4}{，}{8}}$$，幂指数和为$${{1}{2}}$$，而$${{1}{2}}$$对应的幂为$${{4}{0}{9}{6}}$$，因此$$1 6 \times2 5 6=4 0 9 6$$．根据此表，推算
）
| $${{x}}$$ | $${{1}}$$ | $${{2}}$$ | $${{3}}$$ | $${{4}}$$ | $${{5}}$$ | $${{6}}$$ | $${{7}}$$ | $${{8}}$$ | $${{9}}$$ | $${{1}{0}}$$ |
| $${{y}{=}{{2}^{x}}}$$ | $${{2}}$$ | $${{4}}$$ | $${{8}}$$ | $${{1}{6}}$$ | $${{3}{2}}$$ | $${{6}{4}}$$ | $${{1}{2}{8}}$$ | $${{2}{5}{6}}$$ | $${{5}{1}{2}}$$ | $${{1}{0}{2}{4}}$$ |
| $${{x}}$$ | $${{1}{1}}$$ | $${{1}{2}}$$ | $${{1}{3}}$$ | $${{1}{4}}$$ | $${{1}{5}}$$ | $${{1}{6}}$$ | $${{1}{7}}$$ | $${{1}{8}}$$ | $${{1}{9}}$$ | $${{2}{0}}$$ |
| $${{y}{=}{{2}^{x}}}$$ | $${{2}{0}{4}{8}}$$ | $${{4}{0}{9}{6}}$$ | $${{8}{1}{9}{2}}$$ | $$1 6 3 8 4$$ | $$3 2 7 6 8$$ | $$6 5 5 3 6$$ | $$1 3 1 0 7 2$$ | $$2 6 2 1 4 4$$ | $$5 2 4 2 8 8$$ | $$1 0 4 8 5 7 6$$ |
| $${{x}}$$ | $${{2}{1}}$$ | $${{2}{2}}$$ | $${{2}{3}}$$ | $${{2}{4}}$$ | $${{2}{5}}$$ | |||||
| $${{y}{=}{{2}^{x}}}$$ | $$2 0 9 7 1 5 2$$ | $$4 1 9 4 3 0 4$$ | $$8 3 8 8 6 0 8$$ | $$1 6 7 7 7 2 1 6$$ | $$3 3 5 5 4 4 3 2$$ | |||||
B
A.$$5 2 4 2 8 8$$
B.$$8 3 8 8 6 0 8$$
C.$$1 6 7 7 7 2 1 6$$
D.$$3 3 5 5 4 4 3 2$$
8、['函数奇偶性的应用'， '实数指数幂的运算性质'， '对数（型）函数的定义域'， '函数图象的识别']正确率60.0%函数$$f \ ( \textbf{x} ) ~=~ ( \textbf{3}^{x}-3^{-x} ) \ \operatorname{l o g}_{3} x^{2}$$的图象大致为（）
B
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
9、['实数指数幂的运算性质'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l} {3^{x}， x \leqslant1} \\ {-x， x > 1} \\ \end{array} \right.$$，则$$f ( f ( 2 ) )=( \textsubscript{\Pi} )$$
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
10、['实数指数幂的运算性质'， '对数的性质'， '分段函数求值']正确率60.0%已知函数$$f \sp{( \textbf{x} )}=\left\{\begin{matrix} {\operatorname{l o g}_{2} x， x > 0} \\ {4^{x}+1， x \leq0} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f \left( \textbf{1} \right) \ +f \left( \textbf{-} \frac{1} {2} \right)$$的值是（）
B
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$$\sqrt{2}+1$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {2}+1$$
1. 解析：函数需满足 $$f(x)f(y)=f(x+y)$$ 且在 $$R$$ 上为增函数。
- A. $$f(x)=x^3$$：满足 $$f(x)f(y)=x^3 y^3=(xy)^3 \neq f(x+y)$$，不成立。
- B. $$f(x)=\left( \frac{2}{3} \right)^x$$：满足 $$f(x)f(y)=\left( \frac{2}{3} \right)^{x+y}=f(x+y)$$，但在 $$R$$ 上是减函数，不成立。
- C. $$f(x)=x^{\frac{2}{3}}$$：不满足 $$f(x)f(y)=x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}} \neq f(x+y)$$，不成立。
- D. $$f(x)=e^x$$：满足 $$f(x)f(y)=e^x e^y=e^{x+y}=f(x+y)$$，且在 $$R$$ 上是增函数，成立。
正确答案：D。
2. 解析：判断各表达式是否有意义。
- ① $$\sqrt{(-7)^{4n}}$$：$$4n$$ 为偶数，$$(-7)^{4n}$$ 为正数，有意义。
- ② $$\sqrt{(-7)^{3n}}$$：$$3n$$ 为奇数时，$$(-7)^{3n}$$ 为负数，无意义。
- ③ $$\sqrt[3]{a^2}$$：立方根对任意实数 $$a$$ 都有意义。
- ④ $$\sqrt{a^3}$$：$$a^3$$ 为负数时无意义。
一定有意义的式子是①③。
正确答案：C。
3. 解析：已知 $$\log_a 2=m$$，$$\log_a 3=n$$，求 $$a^{m+n}$$。
由对数定义，$$a^m=2$$，$$a^n=3$$，因此 $$a^{m+n}=a^m \cdot a^n=2 \times 3=6$$。
正确答案：D。
4. 解析：判断函数是否满足任意一个等式。
- A. $$f(x)=3^x$$：满足 $$f(x+y)=f(x)f(y)$$。
- B. $$f(x)=\sin x$$：不满足任何等式。
- C. $$f(x)=\log_2 x$$：满足 $$f(xy)=f(x)+f(y)$$。
- D. $$f(x)=\tan x$$：满足 $$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$$。
不满足任何等式的是 B。
正确答案：B。
5. 解析：数列满足 $$a_1+2a_2+2^2a_3+\cdots+2^{n-1}a_n=\frac{n}{2}$$。
令 $$n=1$$，得 $$a_1=\frac{1}{2}$$。
令 $$n=2$$，得 $$a_1+2a_2=1$$，解得 $$a_2=\frac{1}{4}$$。
类似地，可求得 $$a_n=\frac{1}{2^n}$$。
因此 $$a_1 a_2 \cdots a_{10}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdots \frac{1}{2^{10}}=\left( \frac{1}{2} \right)^{1+2+\cdots+10}=\left( \frac{1}{2} \right)^{55}$$。
正确答案：A。
6. 解析：$$a+b=3$$，求 $$2^a+2^b$$ 的最小值。
由不等式 $$2^a+2^b \geq 2 \sqrt{2^{a+b}}=2 \sqrt{2^3}=4\sqrt{2}$$，当且仅当 $$a=b=\frac{3}{2}$$ 时取等。
正确答案：B。
7. 解析：根据对数表，$$16=2^4$$，$$256=2^8$$，$$4096=2^{12}$$，因此 $$16 \times 256=4096$$。
题目中 $$512=2^9$$，$$1024=2^{10}$$，$$512 \times 1024=2^{9+10}=2^{19}=524288$$。
正确答案：A。
8. 解析：函数 $$f(x)=(3^x-3^{-x})\log_3 x^2$$ 的图像分析。
- 定义域：$$x \neq 0$$。
- 奇偶性：$$f(-x)=(3^{-x}-3^x)\log_3 x^2=-f(x)$$，为奇函数。
- 渐近线：$$x \to 0^+$$ 时 $$f(x) \to -\infty$$，$$x \to +\infty$$ 时 $$f(x) \to +\infty$$。
根据选项描述，正确答案应为 D（具体图像未提供）。
正确答案：D。
9. 解析：函数 $$f(x)=\begin{cases} 3^x, & x \leq 1 \\ -x, & x > 1 \end{cases}$$，求 $$f(f(2))$$。
$$f(2)=-2$$，$$f(f(2))=f(-2)=3^{-2}=\frac{1}{9}$$。
正确答案：B。
10. 解析：函数 $$f(x)=\begin{cases} \log_2 x, & x > 0 \\ 4^x+1, & x \leq 0 \end{cases}$$，求 $$f(1)+f\left(-\frac{1}{2}\right)$$。
$$f(1)=\log_2 1=0$$，$$f\left(-\frac{1}{2}\right)=4^{-1/2}+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$$。
因此和为 $$0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$。
正确答案：B。