有理数指数幂的运算性质-4.1 指数知识点月考基础单选题自测题答案-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['正分数指数幂'， 'N次方根的定义与性质'， '有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%化简$$\sqrt{-a} \cdot\sqrt{a}$$的结果为（）

A.$$- a^{\frac{2} {5}}$$

B.$$- a^{\frac{5} {6}}$$

C.$$(-a )^{\frac{5} {6}}$$

D.$$- (-a )^{\frac{5} {6}}$$

2、['有理数指数幂的运算性质']

正确率80.0%计算：$$\left( a^{\frac{2} {3}} b^{\frac{1} {2}} \right) \cdot\left(-3 a^{\frac{1} {2}} b^{\frac{1} {3}} \right) \div\left( \frac{1} {3} a^{\frac{1} {6}} b^{\frac{5} {6}} \right)=$$（）

A.$${{6}{a}}$$

B.$${{−}{a}}$$

C.$${{−}{9}{a}}$$

D.$${{9}{{a}^{2}}}$$

3、['正分数指数幂'， '有理数指数幂的运算性质']

正确率60.0%设$${{a}{>}{0}{，}}$$将$$\frac{a^{2}} {\sqrt{a \cdot\sqrt{a^{2}}}}$$表示成分数指数幂的形式，其结果是（）

A.$$\boldsymbol{a}^{\frac{1} {2}}$$

B.$$a^{\frac{5} {6}}$$

C.$$a^{\frac{7} {6}}$$

D.$$\boldsymbol{a}^{\frac{3} {2}}$$

4、['有理数指数幂的运算性质'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知$$x， y \in( 0，+\infty)， 2^{x-4}=\left( \frac{1} {4} \right)^{y}$$，则$${{x}{y}}$$的最大值为（）

A.$${{2}}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{9} {4}$$

5、['函数奇偶性的应用'， '有理数指数幂的运算性质'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=m^{x}+n^{x} ( m > 0， n > 0， m \neq1， n \neq1 )$$是偶函数，则$${{m}{+}{2}{n}}$$的最小值是（）

A.$${{6}}$$

B.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

6、['有理数指数幂的运算性质'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用']

正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是各项均为正数的等比数列，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和，若$$a_{1}=1， \， \， a_{3} \cdot a_{5}=6 4$$，则$${{S}_{6}{=}{（}}$$）

A.$${{6}{5}}$$

B.$${{6}{4}}$$

C.$${{6}{3}}$$

D.$${{6}{2}}$$

7、['有理数指数幂的运算性质'， '子集'， '指数与对数的关系'， '对数的运算性质']

正确率60.0%已知$$a > b > 1$$，若$$l o g_{a} b+l o g_{b} a=\frac{1 0} {3}， \， \， \， a^{b}=b^{a}$$，则由$$a， \， \， b， \， \， 3 b， \， \， b^{2}， \， \， a-2 b$$构成的包含元素最多的集合的子集个数是（）

A.$${{3}{2}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{4}}$$

8、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=\left\{\begin{matrix} {2^{x}-1， x \leq1} \\ {l o g_{2} ( x-1 )， x > 1} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f [ f ~ ( \frac{7} {3} ) ~ ]=~ ($$）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\frac{4} {3}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{1}}$$

9、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质']

正确率60.0%若实数$${{x}}$$满足$$\operatorname{l o g}_{4} [ \operatorname{l o g}_{3} ( \operatorname{l o g}_{2} x ) ]=0$$，则$$x^{-\frac{1} {2}}$$等于（）

A.$$- \frac{\sqrt{2}} {4}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

10、['有理数指数幂的运算性质']

正确率80.0%若$$1 0^{x}=3， 1 0^{y}=4$$，则$$1 0^{3 x-2 y}=$$（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{1}}$$

C.$$\frac{2 7} {1 6}$$

D.$$\frac{9} {1 0}$$

1. 化简 $$\sqrt{-a} \cdot \sqrt{a}$$：

由于 $$\sqrt{-a}$$ 要求 $$-a \geq 0$$，即 $$a \leq 0$$。设 $$a = -b$$（$$b \geq 0$$），则： $$\sqrt{-a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{b} \cdot i\sqrt{b} = i b$$。选项中无复数形式，可能是题目描述有误或选项不全。重新审视题目，可能为 $$\sqrt[3]{-a} \cdot \sqrt{a}$$： $$\sqrt[3]{-a} \cdot \sqrt{a} = (-a)^{1/3} \cdot a^{1/2} = -a^{1/3} \cdot a^{1/2} = -a^{5/6}$$。正确答案为 B。

2. 计算 $$\left( a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}} \right) \cdot \left(-3 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}} \right) \div \left( \frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}} \right)$$：

先计算乘法部分： $$a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}}$$，再乘以系数 $$-3$$。然后除以 $$\frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}}$$： $$\frac{-3 a^{\frac{7}{6}} b^{\frac{5}{6}}}{\frac{1}{3} a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}}} = -9 a^{\frac{7}{6} - \frac{1}{6}}} = -9 a$$。正确答案为 C。

3. 将 $$\frac{a^{2}}{\sqrt{a \cdot \sqrt{a^{2}}}}$$ 表示为分数指数幂：

化简分母： $$\sqrt{a \cdot \sqrt{a^{2}}} = \sqrt{a \cdot a} = \sqrt{a^2} = a$$，所以表达式为 $$\frac{a^2}{a} = a$$。但选项中没有 $$a$$，可能是题目描述有误。假设题目为 $$\frac{a^2}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}}$$：分母为 $$a^{1/2} \cdot a^{2/3 \cdot 1/2} = a^{1/2 + 1/3} = a^{5/6}$$，表达式为 $$a^{2 - 5/6} = a^{7/6}$$。正确答案为 C。

4. 求 $$xy$$ 的最大值：

由 $$2^{x-4} = \left( \frac{1}{4} \right)^y$$ 得 $$2^{x-4} = 2^{-2y}$$，所以 $$x - 4 = -2y$$，即 $$x + 2y = 4$$。由均值不等式： $$xy = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2y \leq \frac{1}{2} \left( \frac{x + 2y}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$。当 $$x = 2$$，$$y = 1$$ 时取等。正确答案为 A。

5. 求 $$m + 2n$$ 的最小值：

由 $$f(x) = m^x + n^x$$ 为偶函数，得 $$f(-x) = f(x)$$，即 $$m^{-x} + n^{-x} = m^x + n^x$$。取 $$x = 1$$，得 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = m + n$$，整理得 $$mn = 1$$。由均值不等式： $$m + 2n \geq 2\sqrt{2mn} = 2\sqrt{2}$$，当 $$m = \sqrt{2}$$，$$n = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 时取等。正确答案为 D。

6. 求 $$S_6$$：

由等比数列性质，$$a_3 \cdot a_5 = a_4^2 = 64$$，所以 $$a_4 = 8$$（舍负），公比 $$q^3 = \frac{a_4}{a_1} = 8$$，$$q = 2$$。 $$S_6 = \frac{1 \cdot (2^6 - 1)}{2 - 1} = 63$$。正确答案为 C。

7. 求集合的子集个数：

由 $$\log_a b + \log_b a = \frac{10}{3}$$，设 $$t = \log_a b$$，则 $$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$$，解得 $$t = 3$$ 或 $$\frac{1}{3}$$。由 $$a^b = b^a$$，得 $$a = b^{\frac{b}{a}}$$。若 $$t = 3$$，即 $$b = a^3$$，代入得 $$a = a^{3a^{2}}}$$，无解。若 $$t = \frac{1}{3}$$，即 $$b = a^{\frac{1}{3}}$$，代入得 $$a = a^{\frac{a^{-2/3}}{3}}}$$，解得 $$a = 27$$，$$b = 3$$。集合为 $$\{27, 3, 9, 9, 21\}$$，去重后为 $$\{3, 9, 21, 27\}$$，子集个数为 $$2^4 = 16$$。正确答案为 B。

8. 求 $$f[f(\frac{7}{3})]$$：

先计算 $$f(\frac{7}{3})$$，因为 $$\frac{7}{3} > 1$$，所以 $$f(\frac{7}{3}) = \log_2 \left( \frac{7}{3} - 1 \right) = \log_2 \left( \frac{4}{3} \right)$$。再计算 $$f[f(\frac{7}{3})]$$，因为 $$\log_2 \left( \frac{4}{3} \right) < 1$$，所以 $$f[f(\frac{7}{3})] = 2^{\log_2 \left( \frac{4}{3} \right)} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$$。正确答案为 A。

9. 求 $$x^{-\frac{1}{2}}$$：

由 $$\log_4 [\log_3 (\log_2 x)] = 0$$，得 $$\log_3 (\log_2 x) = 1$$，所以 $$\log_2 x = 3$$，$$x = 8$$。因此 $$x^{-\frac{1}{2}} = 8^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$。正确答案为 B。

10. 求 $$10^{3x - 2y}$$：

由 $$10^x = 3$$，$$10^y = 4$$，得 $$10^{3x - 2y} = \frac{(10^x)^3}{(10^y)^2} = \frac{27}{16}$$。正确答案为 C。

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