有理数指数幂的运算性质-4.1 指数知识点专题进阶选择题自测题解析-吉林省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 计算 $$\frac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^{2}}}$$，其中 $$a > 0$$。

化简：$$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$$，$$\sqrt{a^{2}} = a$$，因此分母为 $$a^{\frac{1}{2}} \times a = a^{\frac{3}{2}}$$。

原式变为 $$\frac{a^{2}}{a^{\frac{3}{2}}} = a^{2 - \frac{3}{2}} = a^{\frac{1}{2}}$$。

选项中没有 $$a^{\frac{1}{2}}$$，但选项 B 是 $$a^{\frac{1}{6}}$$，C 是 $$a^{\frac{5}{6}}$$，D 是 $$a^{\frac{6}{5}}$$，A 是 $$a^{\frac{3}{2}}$$。检查发现原题可能有误，但根据计算，正确结果应为 $$a^{\frac{1}{2}}$$，但选项不符。重新审视：$$\sqrt{a^{2}} = |a| = a$$（因为 $$a > 0$$），所以分母为 $$a^{\frac{1}{2}} \times a = a^{\frac{3}{2}}$$，分子为 $$a^{2}$$，因此结果为 $$a^{\frac{1}{2}}$$。但选项无此，可能题目或选项有误，但根据标准计算，应为 $$a^{\frac{1}{2}}$$。

然而，对比第6题相同，选项有 $$a^{\frac{1}{6}}$$ 等，可能原意是 $$\frac{a^{2}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a^{2}}}$$ 或其他，但按给定，结果应为 $$a^{\frac{1}{2}}$$，但无选项，暂保留。

2. 已知 $$m > 0, n > 0$$，且 $$\log_{2} m = \log_{4} n = \log_{8} (4m + 3n)$$。

设 $$\log_{2} m = k$$，则 $$m = 2^{k}$$。

$$\log_{4} n = k$$，则 $$n = 4^{k} = (2^{2})^{k} = 2^{2k}$$。

$$\log_{8} (4m + 3n) = k$$，则 $$4m + 3n = 8^{k} = (2^{3})^{k} = 2^{3k}$$。

代入：$$4 \times 2^{k} + 3 \times 2^{2k} = 2^{3k}$$。

令 $$t = 2^{k}$$，则 $$4t + 3t^{2} = t^{3}$$，即 $$t^{3} - 3t^{2} - 4t = 0$$，$$t(t^{2} - 3t - 4) = 0$$。

$$t > 0$$，所以 $$t^{2} - 3t - 4 = 0$$，解得 $$t = 4$$ 或 $$t = -1$$（舍去），所以 $$t = 4$$，即 $$2^{k} = 4$$，$$k = 2$$。

因此 $$m = 2^{2} = 4$$，$$n = 2^{4} = 16$$。

验证选项：A. $$n = 2m$$，即 $$16 = 2 \times 4 = 8$$，不成立。

B. $$\frac{\ln m}{\ln n} = \frac{\ln 4}{\ln 16} = \frac{2 \ln 2}{4 \ln 2} = \frac{1}{2}$$，而 $$-2 \ln 2$$ 为负，不成立。

C. $$\frac{1}{e m} \times 4$$，含义不明，可能为 $$\frac{1}{e^{m}} \times 4$$ 或其它，但 $$e^{m} = e^{4}$$，很大，不可能是2。

D. $$\log_{3} m - 2 \log_{9} n = \log_{3} 4 - 2 \log_{9} 16$$。

$$\log_{9} 16 = \frac{\log_{3} 16}{\log_{3} 9} = \frac{4 \log_{3} 2}{2} = 2 \log_{3} 2$$。

所以原式 $$= \log_{3} 4 - 2 \times 2 \log_{3} 2 = \log_{3} 4 - 4 \log_{3} 2 = \log_{3} \frac{4}{16} = \log_{3} \frac{1}{4} = -\log_{3} 4$$。

而 $$2 \log_{3} 2 = \log_{3} 4$$，所以 $$-\log_{3} 4 \neq 2 \log_{3} 2$$，不成立。

可能选项有误，但根据计算，无正确选项，但原题要求选正确，可能D是 $$\log_{3} m - 2 \log_{9} n = -2 \log_{3} 2$$，但计算为 $$-\log_{3} 4 = -2 \log_{3} 2$$，成立，所以D正确。

因此选D。

3. 等比数列 $$\{a_{n}\}$$ 满足 $$a_{1} + a_{3} = 10$$，$$a_{4} + a_{6} = \frac{5}{4}$$。

设首项为 $$a$$，公比为 $$q$$，则 $$a_{1} = a$$，$$a_{3} = a q^{2}$$，所以 $$a + a q^{2} = a(1 + q^{2}) = 10$$。

$$a_{4} = a q^{3}$$，$$a_{6} = a q^{5}$$，所以 $$a q^{3} + a q^{5} = a q^{3} (1 + q^{2}) = \frac{5}{4}$$。

两式相除：$$\frac{a q^{3} (1 + q^{2})}{a (1 + q^{2})} = q^{3} = \frac{5/4}{10} = \frac{1}{8}$$，所以 $$q = \frac{1}{2}$$。

代入 $$a(1 + (\frac{1}{2})^{2}) = a(1 + \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} a = 10$$，所以 $$a = 8$$。

因此通项 $$a_{n} = a q^{n-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{8}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{n-4}}$$。

所以选A。

4. 集合 $$P = \{x | 2^{x} + \ln x > 5\}$$。

考虑函数 $$f(x) = 2^{x} + \ln x$$，求 $$f(x) > 5$$。

$$f(x)$$ 在 $$x > 0$$ 定义，且单调增（因为导数 $$f'(x) = 2^{x} \ln 2 + \frac{1}{x} > 0$$）。

试 $$x = 2$$：$$2^{2} + \ln 2 = 4 + 0.693 = 4.693 < 5$$。

$$x = 3$$：$$2^{3} + \ln 3 = 8 + 1.099 = 9.099 > 5$$。

所以当 $$x > 3$$ 时，$$f(x) > 5$$，但需精确解。

解 $$2^{x} + \ln x = 5$$，近似解在2和3之间。

选项：A. $$3 \notin P$$，但 $$f(3) > 5$$，所以 $$3 \in P$$，A错。

B. $$\pi \notin P$$，$$\pi \approx 3.14$$，$$f(3.14) > f(3) > 5$$，所以 $$\pi \in P$$，B错。

C. $$\sqrt{e} \notin P$$，$$\sqrt{e} \approx 1.648$$，$$f(1.648) = 2^{1.648} + \ln 1.648 \approx 3.12 + 0.5 = 3.62 < 5$$，所以 $$\sqrt{e} \notin P$$，C正确。

D. $$\log_{2} 5 \notin P$$，$$\log_{2} 5 \approx 2.32$$，$$f(2.32) = 2^{2.32} + \ln 2.32 \approx 5 + 0.84 = 5.84 > 5$$，所以 $$\log_{2} 5 \in P$$，D错。

因此选C。

5. 由实数 $$x, -x, |x|, \sqrt{x^{2}}, -\sqrt[3]{x^{3}}$$ 所有的集合，最多含几个元素。

$$\sqrt{x^{2}} = |x|$$，所以 $$|x|$$ 和 $$\sqrt{x^{2}}$$ 相同。

$$-\sqrt[3]{x^{3}} = -x$$，所以 $$-x$$ 和 $$-\sqrt[3]{x^{3}}$$ 相同。

因此集合为 $$\{x, -x, |x|\}$$。

当 $$x > 0$$，$$|x| = x$$，所以集合为 $$\{x, -x\}$$，2个元素。

当 $$x < 0$$，$$|x| = -x$$，所以集合为 $$\{x, -x\}$$，2个元素。

当 $$x = 0$$，所有为0，1个元素。

所以最多2个元素，选A。

6. 同第1题，计算 $$\frac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a^{2}}}$$。

如前，结果为 $$a^{\frac{1}{2}}$$，但选项无，可能题目有误，但选项有 $$a^{\frac{1}{6}}$$ 等，可能原意为 $$\frac{a^{2}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a^{2}}}$$ 或其他。

假设为 $$\frac{a^{2}}{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a^{2}}} = \frac{a^{2}}{a^{\frac{1}{3}} \cdot a} = \frac{a^{2}}{a^{\frac{4}{3}}} = a^{\frac{2}{3}}$$，仍无选项。

或 $$\frac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^{2}}} = \frac{a^{2}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{2}}{a^{\frac{7}{6}}} = a^{\frac{5}{6}}$$，对应选项C。

所以可能原题有误，但根据选项，选 $$a^{\frac{5}{6}}$$，即D。

7. 计算 $$\left[ \left(-\frac{1}{27}\right)^{-2} \right]^{\frac{1}{3}} + \log_{2} 5 - \log_{2} 10$$。

首先 $$\left(-\frac{1}{27}\right)^{-2} = \left(-27\right)^{2} = 729$$。

然后 $$729^{\frac{1}{3}} = 9$$。

$$\log_{2} 5 - \log_{2} 10 = \log_{2} \frac{5}{10} = \log_{2} \frac{1}{2} = -1$$。

所以总和 $$9 + (-1) = 8$$。

选A。

8. 函数定义为 $$f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^{x}$$ 当 $$x \geq 4$$，$$f(x) = f(x+1)$$ 当 $$x < 4$$。

求 $$f(\log_{2} 3)$$，其中 $$\log_{2} 3 \approx 1.585 < 4$$，所以用递归 $$f(x) = f(x+1)$$。

因此 $$f(\log_{2} 3) = f(\log_{2} 3 + 1) = f(\log_{2} 3 + \log_{2} 2) = f(\log_{2} 6)$$。

$$\log_{2} 6 \approx 2.585 < 4$$，继续 $$f(\log_{2} 6) = f(\log_{2} 6 + 1) = f(\log_{2} 6 + \log_{2} 2) = f(\log_{2} 12)$$。

$$\log_{2} 12 \approx 3.585 < 4$$，继续 $$f(\log_{2} 12) = f(\log_{2} 12 + 1) = f(\log_{2} 12 + \log_{2} 2) = f(\log_{2} 24)$$。

$$\log_{2} 24 \approx 4.585 \geq 4$$，所以 $$f(\log_{2} 24) = \left( \frac{1}{2} \right)^{\log_{2} 24} = 2^{-\log_{2} 24} = 24^{-1} = \frac{1}{24}$$。

因此 $$f(\log_{2} 3) = \frac{1}{24}$$，选A。

9. 若 $$a + a^{-1} = 3$$，求 $$a^{2} + a^{-2}$$。

$$(a + a^{-1})^{2} = a^{2} + 2 + a^{-2} = 9$$，所以 $$a^{2} + a^{-2} = 7$$。

选B。

10. 已知 $$\ln(\log_{4}(\log_{2} x)) = 0$$，求 $$x^{-\frac{1}{2}}$$。

$$\ln(\log_{4}(\log_{2} x)) = 0$$，所以 $$\log_{4}(\log_{2} x) = e^{0} = 1$$。

因此 $$\log_{2} x = 4^{1} = 4$$，所以 $$x = 2^{4} = 16$$。

那么 $$x^{-\frac{1}{2}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$$。

选C。