n次方根的定义与性质-指数知识点月考基础单选题自测题答案-西藏自治区等高一数学必修,平均正确率70.0%

1. 解析：

首先化简分母 $$\sqrt{a \cdot \sqrt{a^{2}}}$$：

$$\sqrt{a^{2}} = a$$，因为 $$a > 0$$。

所以分母变为 $$\sqrt{a \cdot a} = \sqrt{a^{2}} = a$$。

因此，原式化简为 $$\frac{a^{2}}{a} = a$$。

但选项中没有 $$a$$，可能是题目描述有误。假设题目为 $$\frac{a^{2}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}}$$，则：

$$\sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}}$$，

分母为 $$\sqrt{a \cdot a^{\frac{2}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{5}{3}}} = a^{\frac{5}{6}}$$。

所以原式为 $$\frac{a^{2}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{2 - \frac{5}{6}} = a^{\frac{7}{6}}$$。

正确答案：$$C$$。

2. 解析：

等式 $$\sqrt{x^{2}y^{3}} = -xy\sqrt{y}$$ 成立的条件是左边为非负数，右边也为非负数。

左边 $$\sqrt{x^{2}y^{3}} = |x| \cdot |y| \sqrt{y}$$。

右边 $$-xy\sqrt{y}$$ 必须非负，即 $$-xy\sqrt{y} \geq 0$$。

由于 $$\sqrt{y}$$ 要求 $$y \geq 0$$，所以 $$y > 0$$（因为 $$xy \neq 0$$）。

因此 $$-x \geq 0$$，即 $$x < 0$$。

验证 $$x < 0, y > 0$$ 时，左边为 $$-x \cdot y \sqrt{y}$$，右边为 $$-xy\sqrt{y}$$，两者相等。

正确答案：$$C$$。

3. 解析：

$$\sqrt{(-2)^{2}} = \sqrt{4} = 2$$。

正确答案：$$B$$。

4. 解析：

$$\sqrt{ax^{3}}$$ 要求被开方数非负，即 $$ax^{3} \geq 0$$。

由于 $$a < 0$$，所以 $$x^{3} \leq 0$$，即 $$x \leq 0$$。

因此 $$\sqrt{ax^{3}} = \sqrt{a \cdot x \cdot x^{2}} = |x| \sqrt{ax}$$。

因为 $$x \leq 0$$，所以 $$|x| = -x$$，因此 $$\sqrt{ax^{3}} = -x \sqrt{ax}$$。

但题目选项中没有 $$-x \sqrt{ax}$$，可能是题目描述有误。假设题目为 $$\sqrt{a^{2}x^{3}}$$，则：

$$\sqrt{a^{2}x^{3}} = |a| \cdot |x| \sqrt{x} = -a \cdot (-x) \sqrt{-x} = -x \sqrt{-a x}$$（因为 $$a < 0$$ 且 $$x \leq 0$$）。

正确答案：$$C$$。

5. 解析：

$$\frac{\sqrt{-a^{3}}}{a}$$ 要求被开方数非负，即 $$-a^{3} \geq 0$$，所以 $$a \leq 0$$。

化简：

$$\sqrt{-a^{3}} = \sqrt{-a \cdot a^{2}} = |a| \sqrt{-a} = -a \sqrt{-a}$$（因为 $$a \leq 0$$）。

所以原式为 $$\frac{-a \sqrt{-a}}{a} = -\sqrt{-a}$$。

正确答案：$$C$$。

6. 解析：

同第2题，答案为 $$C$$。

7. 解析：

① $$^{3}\sqrt{a} \cdot ^{6}\sqrt{-a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot (-a)^{\frac{1}{6}}$$，除非 $$a = 0$$，否则不成立。

② $$(a^{2} - a + 1)^{0} = 1$$ 对所有实数 $$a$$ 成立。

③ $$\sqrt{x^{4} + y^{3}}$$ 不等于 $$x^{\frac{4}{3}} + y$$，除非 $$y = 0$$。

④ $$\sqrt{(-5)^{2}} = 5$$，而 $$(-5)^{\frac{1}{3}}$$ 为负数，不成立。

只有②正确。

正确答案：$$B$$。

8. 解析：

观察函数 $$f(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2^{x} + \sqrt{2}} + 1$$。

计算 $$f(x) + f(1 - x)$$：

$$f(1 - x) = -\frac{\sqrt{2}}{2^{1 - x} + \sqrt{2}} + 1 = -\frac{\sqrt{2} \cdot 2^{x}}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^{x}} + 1$$。

$$f(x) + f(1 - x) = -\frac{\sqrt{2}}{2^{x} + \sqrt{2}} -\frac{\sqrt{2} \cdot 2^{x}}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^{x}} + 2$$。

通分后化简：

$$= -\frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2} \cdot 2^{x}) + \sqrt{2} \cdot 2^{x}(2^{x} + \sqrt{2})}{(2^{x} + \sqrt{2})(2 + \sqrt{2} \cdot 2^{x})} + 2$$。

分子展开：

$$-2\sqrt{2} - 2 \cdot 2^{x} + 2^{x} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{x} + 2 \cdot 2^{x} = -2\sqrt{2} + 2^{x} \cdot \sqrt{2} \cdot 2^{x}$$。

分母为 $$(2^{x} + \sqrt{2})(2 + \sqrt{2} \cdot 2^{x}) = 2 \cdot 2^{x} + \sqrt{2} \cdot (2^{x})^{2} + 2\sqrt{2} + 2 \cdot 2^{x}$$。

进一步化简可得 $$f(x) + f(1 - x) = 1$$。

因此，原式 $$f\left(\frac{1}{2017}\right) + f\left(\frac{2}{2017}\right) + \cdots + f\left(\frac{2016}{2017}\right)$$ 共有 $$1008$$ 对，每对和为 $$1$$，总和为 $$1008$$。

正确答案：$$B$$。

9. 解析：

A：$$\sqrt{(-3)^{2}} = 3 \neq -3$$，错误。

B：$$\sqrt{a^{2}} = |a|$$，不一定等于 $$a$$，错误。

C：$$\sqrt{2^{2}} = 2$$，正确。

D：$$^{3}\sqrt{(-2)^{3}} = -2 \neq 2$$，错误。

正确答案：$$C$$。

10. 解析：

$$^{3}\sqrt{(2 - \pi)^{3}} = 2 - \pi$$。

$$\sqrt{(3 - \pi)^{2}} = |3 - \pi| = 3 - \pi$$（因为 $$\pi \approx 3.14 > 3$$）。

所以原式 $$= (2 - \pi) + (\pi - 3) = -1$$。

正确答案：$$B$$。