指数（型）函数的定义域-4.2 指数函数知识点考前进阶单选题自测题解析-江西省等高一数学必修,平均正确率57.99999999999999%

1. 集合 $$A=\{x | 2^{x^{2}-4x-5} > 1\}$$，由于 $$2^{a} > 1$$ 等价于 $$a > 0$$，所以 $$x^{2}-4x-5 > 0$$，解得 $$x < -1$$ 或 $$x > 5$$，即 $$A=(-\infty,-1) \cup (5,+\infty)$$。

集合 $$B=\{x | y=\lg \frac{2-x}{2+x}\}$$，要求真数大于0，即 $$\frac{2-x}{2+x} > 0$$，解得 $$-2 < x < 2$$，即 $$B=(-2,2)$$。

所以 $$A \cap B = (-\infty,-1) \cap (-2,2) = (-2,-1)$$，对应选项 C。

2. 函数 $$F(x)=(2^{x}-4)+\sqrt{3-x}$$，定义域需满足：

对于 $$2^{x}-4$$，无限制；对于 $$\sqrt{3-x}$$，要求 $$3-x \geq 0$$，即 $$x \leq 3$$。

另外，题目说明 $$f(x)$$ 定义域为 $$(0,+\infty)$$，但 $$F(x)$$ 是独立函数，此处仅考虑自身定义域。

所以定义域为 $$(-\infty,3]$$，但选项中有 $$(-2,3]$$、$$[-2,3]$$ 等，需检查 $$2^{x}-4$$ 部分：若要求 $$2^{x}-4 \geq 0$$（常见于根号内），则 $$x \geq 2$$，但原式无根号，可能笔误？实际上 $$F(x)$$ 是求和，无额外限制。

但选项 B 为 $$(-2,3]$$，C 为 $$[-2,3]$$，D 为 $$(0,3]$$。结合 $$f(x)$$ 定义域提示，可能 $$2^{x}-4$$ 部分需 $$x>0$$？但原题未明确。重新审题：$$F(x)=(2^{x}-4)+\sqrt{3-x}$$，定义域为 $$x \leq 3$$ 且（若考虑 $$f$$ 定义域）$$x>0$$，所以为 $$(0,3]$$，对应选项 D。

3. 函数 $$f(x)=2^{x}$$ 是指数函数，定义域为所有实数，即 $$R$$，对应选项 D。

4. 函数 $$f(x)=\cos \pi x - (\frac{1}{2})^{x} + 1$$，在区间 $$[-1,2]$$ 上求零点个数。

令 $$f(x)=0$$，即 $$\cos \pi x = (\frac{1}{2})^{x} - 1$$。

分析右边：$$(\frac{1}{2})^{x} - 1$$，在 $$[-1,2]$$ 上，从 $$(\frac{1}{2})^{-1}-1=2-1=1$$ 到 $$(\frac{1}{2})^{2}-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$$，单调递减。

左边 $$\cos \pi x$$ 周期为2，在 $$[-1,2]$$ 上取值区间 $$[-1,1]$$。

通过图像或计算关键点：$$x=-1$$ 时，$$\cos(-\pi)=-1$$，右边为1，$$f(-1)=-1-1+1=-1$$；$$x=0$$ 时，$$\cos 0=1$$，右边为0，$$f(0)=1-0+1=2$$；$$x=0.5$$ 时，$$\cos(0.5\pi)=0$$，右边为 $$(\frac{1}{2})^{0.5}-1=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 \approx -0.292$$，$$f(0.5)=0+0.292+1=1.292$$；$$x=1$$ 时，$$\cos \pi=-1$$，右边为 $$0.5-1=-0.5$$，$$f(1)=-1+0.5+1=0.5$$；$$x=1.5$$ 时，$$\cos(1.5\pi)=0$$，右边为 $$(\frac{1}{2})^{1.5}-1 \approx 0.353-1=-0.647$$，$$f(1.5)=0+0.647+1=1.647$$；$$x=2$$ 时，$$\cos 2\pi=1$$，右边为 $$0.25-1=-0.75$$，$$f(2)=1+0.75+1=2.75$$。

发现 $$f(x)$$ 始终为正，无零点？但选项有2,3,4,5，可能计算错误。实际上 $$(\frac{1}{2})^{x}$$ 递减，从 $$x=-1$$ 到 $$x=2$$，$$f(x)$$ 值变化：$$f(-1)=-1$$，$$f(0)=2$$，所以存在一个零点 between -1 and 0；$$f(1)=0.5$$，$$f(2)=2.75$$，无零点；但在 $$x$$ 负半轴？区间为 $$[-1,2]$$，所以至少一个零点 near $$x=-1$$。精确计算：$$f(-1)=-1$$，$$f(-0.9)=\cos(-0.9\pi)-(\frac{1}{2})^{-0.9}+1 \approx \cos(162^{\circ}) - 1.866 + 1 \approx -0.951 -0.866= -1.817$$，仍负；$$f(0)=2$$，所以有一个零点 between -0.9 and 0。另外，$$f(1)=0.5$$，$$f(1.2)=\cos(1.2\pi)-(\frac{1}{2})^{1.2}+1 \approx \cos(216^{\circ}) - 0.435 + 1 \approx -0.809 -0.435+1=-0.244$$，所以另一个零点 between 1 and 1.2；$$f(1.5)=1.647$$，所以仅两个零点，对应选项 A。

6. 数列满足 $$2a_{n+1}+S_{n}=2$$，且 $$a_{1}=1$$。

当 $$n=1$$ 时，$$2a_{2}+S_{1}=2$$，即 $$2a_{2}+1=2$$，所以 $$a_{2}=\frac{1}{2}$$。

当 $$n \geq 2$$ 时，有 $$2a_{n}+S_{n-1}=2$$，与原式相减：$$(2a_{n+1}+S_{n}) - (2a_{n}+S_{n-1}) =0$$，即 $$2a_{n+1}-2a_{n}+a_{n}=0$$，所以 $$2a_{n+1}=a_{n}$$，即 $$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}$$ for $$n \geq 2$$。

但 $$a_{2}=\frac{1}{2}$$，所以 for $$n \geq 2$$, $$a_{n}=\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-2} = (\frac{1}{2})^{n-1}$$。

则 $$S_{n}=a_{1}+\sum_{k=2}^{n} a_{k} = 1 + \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{2})^{k-1} = 1 + \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n-1})}{1-\frac{1}{2}} = 1 + (1-(\frac{1}{2})^{n-1}) = 2 - (\frac{1}{2})^{n-1}$$。

所以 $$S_{2n}=2-(\frac{1}{2})^{2n-1}$$，$$\frac{S_{2n}}{S_{n}} = \frac{2-(\frac{1}{2})^{2n-1}}{2-(\frac{1}{2})^{n-1}}$$。

不等式 $$\frac{1001}{1000} < \frac{S_{2n}}{S_{n}} < \frac{11}{10}$$。

代入计算：对于 $$n=8$$，$$S_{8}=2-(\frac{1}{2})^{7}=2-\frac{1}{128}=\frac{255}{128}$$，$$S_{16}=2-(\frac{1}{2})^{15}=2-\frac{1}{32768}=\frac{65535}{32768}$$，$$\frac{S_{16}}{S_{8}}=\frac{65535/32768}{255/128}=\frac{65535}{32768} \cdot \frac{128}{255} = \frac{65535}{255} \cdot \frac{128}{32768} = 257 \cdot \frac{1}{256} = \frac{257}{256} = 1.00390625$$，而 $$\frac{1001}{1000}=1.001$$，$$\frac{11}{10}=1.1$$，满足。

对于 $$n=9$$，$$S_{9}=2-(\frac{1}{2})^{8}=2-\frac{1}{256}=\frac{511}{256}$$，$$S_{18}=2-(\frac{1}{2})^{17}=2-\frac{1}{131072}=\frac{262143}{131072}$$，$$\frac{S_{18}}{S_{9}}=\frac{262143/131072}{511/256}=\frac{262143}{131072} \cdot \frac{256}{511} = \frac{262143}{511} \cdot \frac{256}{131072} \approx 513.000 \cdot \frac{1}{512} = 1.001953125$$，仍满足。

对于 $$n=10$$，$$S_{10}=2-(\frac{1}{2})^{9}=2-\frac{1}{512}=\frac{1023}{512}$$，$$S_{20}=2-(\frac{1}{2})^{19}=2-\frac{1}{524288}=\frac{1048575}{524288}$$，$$\frac{S_{20}}{S_{10}}=\frac{1048575/524288}{1023/512}=\frac{1048575}{524288} \cdot \frac{512}{1023} = \frac{1048575}{1023} \cdot \frac{512}{524288} \approx 1025 \cdot \frac{1}{1024} = 1.0009765625$$，仍大于1.001。

对于 $$n=11$$，$$S_{11}=2-(\frac{1}{2})^{10}=2-\frac{1}{1024}=\frac{2047}{1024}$$，$$S_{22}=2-(\frac{1}{2})^{21}=2-\frac{1}{2097152}=\frac{4194303}{2097152}$$，$$\frac{S_{22}}{S_{11}}=\frac{4194303/2097152}{2047/1024}=\frac{4194303}{2097152} \cdot \frac{1024}{2047} = \frac{4194303}{2047} \cdot \frac{1024}{2097152} \approx 2049 \cdot \frac{1}{2048} = 1.00048828125$$，仍略大于1.001？实际上 $$\frac{1001}{1000}=1.001$$，而 $$1.000488 < 1.001$$，所以不满足左不等式。

因此最大 $$n=10$$，对应选项 C。

7. 集合 $$A=\{-2,-1,0,1\}$$，$$B=\{x | 2^{x} \leq 4, x \in N\}$$。

$$2^{x} \leq 4$$ 即 $$x \leq 2$$，又 $$x \in N$$，所以 $$B=\{0,1,2\}$$。

$$A \cap B = \{0,1\}$$，对应选项 D。

8. 集合 $$A=\{x | (\frac{1}{2})^{x} > \frac{1}{4}\}$$，由于 $$(\frac{1}{2})^{x}$$ 递减，且 $$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$，所以 $$x < 2$$，即 $$A=(-\infty,2)$$。

$$C_{R} A = [2,+\infty)$$。

集合 $$B=\{x | \ln x < 1\}$$，即 $$x < e$$，且 $$x>0$$（定义域），所以 $$B=(0,e)$$。

$$(C_{R} A) \cap B = [2,+\infty) \cap (0,e) = [2,e)$$，对应选项 D。

10. 函数 $$f(x)=\frac{2^{x}-2^{-x}}{2}$$。

检查奇偶性：$$f(-x)=\frac{2^{-x}-2^{x}}{2} = -f(x)$$，所以是奇函数。

导数：$$f'(x)=\frac{2^{x} \ln 2 + 2^{-x} \ln 2}{2} = \frac{\ln 2}{2}(2^{x}+2^{-x}) > 0$$，所以在 $$(0,+\infty)$$ 上是增函数。

对应选项 B。