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正确率60.0%已知集合$$A=\{x \in\mathbf{R} \mid-1 \leqslant x \leqslant3 \}$$，$$B=\{x \in\bf{N} \mid2^{x} < 4 \}$$，则集合$${{A}{∩}{B}}$$中元素的个数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['交集'， '并集'， '指数方程与指数不等式的解法']正确率60.0%已知集合$$A=\{x \in N | x < 1 \}， \， \， \， B \in\{x | 3^{x} < 1 \}$$，则（）
D
A.$$A \cap B=\{x | x < 0 \}$$
B.$$A \cup B=\{x | x < 0 \}$$
C.$$A \cup B=\{x | x < 1 \}$$
D.$$A \cap B=\emptyset$$
3、['对数方程与对数不等式的解法'， '指数方程与指数不等式的解法'， '函数零点的概念'， '分段函数的定义'， '分段函数的图象']正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{matrix} {2^{x}-1， x \leqslant1，} \\ {1+\operatorname{l o g}_{2} x， x > 1，} \\ \end{matrix} \right.$$则函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的零点为（）
D
A.$$- \frac{1} {2}， 0$$
B.$${{−}{2}{，}{0}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$${{0}}$$
4、['指数方程与指数不等式的解法']正确率60.0%若$$\left( \frac{1} {5} \right)^{2 x+1} < \left( \frac{1} {5} \right)^{3-2 x}$$，则实数$${{x}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 1，+\infty)$$
B.$$\left( \frac1 2，+\infty\right)$$
C.$$(-\infty， 1 )$$
D.$$\left(-\infty， \frac{1} {2} \right)$$
5、['平均变化率与函数的单调性'， '指数方程与指数不等式的解法'， '分段函数模型的应用']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\left\{\begin{aligned} {} & {{}-x^{2}+2 x-2 ( x \leqslant1 )} \\ {} & {{} 2^{-| 1-x |}-2 ( x > 1 )} \\ \end{aligned} \right.， \; g \ ( x ) \; \;=| a-1 | \operatorname{c o s} x \; ( x \in R )$$，若对任意的$$x_{1}， ~ x_{2} \in R$$，都有$$f ~ ( \boldsymbol{x}_{1} ) ~ \leq g ~ ( \boldsymbol{x}_{2} )$$，则实数$${{a}}$$的取值范围为（）
A
A.$$[ 0， \ 2 ]$$
B.$${{R}}$$
C.$$[-2， ~ 0 ]$$
D.$$( ~-\infty， ~-2 ] \cup[ 0， ~+\infty)$$
6、['交集'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '指数方程与指数不等式的解法']正确率40.0%已知集合$$A=\{y | y=\operatorname{s i n} x， ~ ~ x \in R \}， ~ ~ B=\{x | \frac{1} {9} < ~ ( \frac{1} {3} )^{~ ~ x} < 3 \}$$，则$${{A}{∩}{B}}$$等于（）
C
A.$$\{x |-1 \leqslant x \leqslant1 \}$$
B.$$\{x |-1 \leqslant x < 1 \}$$
C.$$\{x |-1 < x \leq1 \}$$
D.$$\{x |-1 \leqslant x < 2 \}$$
7、['利用函数单调性解不等式'， '分段函数与方程、不等式问题'， '指数方程与指数不等式的解法'， '分段函数的单调性']正确率40.0%已知函数$$f \left( x \right)=\left\{\begin{matrix} {2 e^{x-1}， x < 1} \\ {x^{3}+x， x \geq1} \\ \end{matrix} \right.$$，则$$f ( f ( x ) ) < 2$$的解集为$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 1-l n 2，+\infty)$$
B.$$(-\infty， 1-l n 2 )$$
C.$$( 1-l n 2， 1 )$$
D.$$( 1， 1+l n 2 )$$
8、['函数奇偶性的应用'， '函数的对称性'， '指数方程与指数不等式的解法'， '函数求解析式']正确率19.999999999999996%定义在$$(-2， 2 )$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}}$$满足$$f (-x )=-f ( x )， \; \; f ( 2-x )=f ( x )$$，且$$x \in(-1， 0 )$$时，$$f ( x )=2^{x}+\frac{1} {2}$$，则$$f ( x )+x < 0$$的解集为$${{(}{)}}$$
B
A.$$(-2，-1 ) \cup( 1， 2 )$$
B.$$(-2，-1 ) \cup( 0， 1 )$$
C.$$(-1， 0 ) \cup( 1， 2 )$$
D.$$(-1， 0 ) \cup( 0， 1 )$$
9、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较'， '指数方程与指数不等式的解法']正确率60.0%已知$$\operatorname{l o g}_{2} a=0. 5^{a}=0. 2^{b}$$，则（）
C
A.$$a < 1 < b$$
B.$$1 < a < b$$
C.$$b < 1 < a$$
D.$$1 < b < a$$
10、['对数方程与对数不等式的解法'， '指数方程与指数不等式的解法'， '函数求定义域']正确率40.0%函数$$f ( x )=\sqrt{\operatorname{l o g}_{0. 5} ( 4 x-3 )}+\sqrt{2^{x}-1}$$的定义域为$${{(}{)}}$$
A
A.$$( \frac{3} {4}， 1 ]$$
B.$$[ 1，+\infty)$$
C.$$( \frac{3} {4}， 1 )$$
D.$$[ 0， 1 ]$$
1. 解析：
集合 $$A = \{x \in \mathbf{R} \mid -1 \leq x \leq 3\}$$，集合 $$B = \{x \in \mathbf{N} \mid 2^x < 4\}$$。解 $$2^x < 4$$ 得 $$x < 2$$，因此 $$B = \{0, 1\}$$。交集 $$A \cap B = \{0, 1\}$$，元素个数为 2。
答案：B
2. 解析：
集合 $$A = \{x \in \mathbf{N} \mid x < 1\} = \{0\}$$，集合 $$B = \{x \mid 3^x < 1\} = \{x \mid x < 0\}$$。因此：
- $$A \cap B = \emptyset$$（因为 $$A$$ 中只有 0，而 $$B$$ 中无自然数）。
- $$A \cup B = \{x \mid x < 0 \text{ 或 } x = 0\} = \{x \mid x \leq 0\}$$。
选项 D 正确。
答案：D
3. 解析：
函数 $$f(x)$$ 的零点需分情况讨论：
- 当 $$x \leq 1$$ 时，$$2^x - 1 = 0$$ 解得 $$x = 0$$。
- 当 $$x > 1$$ 时，$$1 + \log_2 x = 0$$ 解得 $$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$，但 $$\frac{1}{2} \leq 1$$，不满足条件。
唯一零点为 $$x = 0$$。
答案：D
4. 解析：
不等式 $$\left( \frac{1}{5} \right)^{2x+1} < \left( \frac{1}{5} \right)^{3-2x}$$。由于底数 $$\frac{1}{5} < 1$$，指数函数单调递减，故 $$2x + 1 > 3 - 2x$$，解得 $$4x > 2$$，即 $$x > \frac{1}{2}$$。
答案：B
5. 解析：
题意要求 $$f(x_1) \leq g(x_2)$$ 对所有 $$x_1, x_2$$ 成立，即 $$f(x)$$ 的最大值不超过 $$g(x)$$ 的最小值。
- 求 $$f(x)$$ 的最大值：分段分析后，$$f(x)$$ 在 $$x \leq 1$$ 时最大值为 $$-1$$，在 $$x > 1$$ 时最大值为 $$-1$$，因此 $$\max f(x) = -1$$。
- 求 $$g(x) = |a - 1| \cos x$$ 的最小值：最小值为 $$-|a - 1|$$。
需满足 $$-1 \leq -|a - 1|$$，即 $$|a - 1| \leq 1$$，解得 $$0 \leq a \leq 2$$。
答案：A
6. 解析：
集合 $$A = \{y \mid y = \sin x, x \in \mathbf{R}\} = [-1, 1]$$。
集合 $$B = \{x \mid \frac{1}{9} < \left( \frac{1}{3} \right)^x < 3\}$$，解不等式：
- $$\left( \frac{1}{3} \right)^x < 3$$ 得 $$x > -1$$。
- $$\frac{1}{9} < \left( \frac{1}{3} \right)^x$$ 得 $$x < 2$$。
因此 $$B = (-1, 2)$$，交集 $$A \cap B = [-1, 1)$$。
答案：B
7. 解析：
解 $$f(f(x)) < 2$$ 需分情况：
- 若 $$f(x) < 1$$，则 $$2e^{f(x)-1} < 2$$ 恒成立，只需 $$f(x) < 1$$。
- 若 $$f(x) \geq 1$$，则 $$(f(x))^3 + f(x) < 2$$，解得 $$f(x) < 1$$，矛盾。
因此只需解 $$f(x) < 1$$：
- 当 $$x < 1$$ 时，$$2e^{x-1} < 1$$ 解得 $$x < 1 - \ln 2$$。
- 当 $$x \geq 1$$ 时，$$x^3 + x < 1$$ 无解。
解集为 $$(-\infty, 1 - \ln 2)$$。
答案：B
8. 解析：
函数 $$f(x)$$ 为奇函数且满足 $$f(2 - x) = f(x)$$。在 $$(-1, 0)$$ 上 $$f(x) = 2^x + \frac{1}{2}$$，由对称性和奇偶性可推导其他区间表达式。
解不等式 $$f(x) + x < 0$$：
- 在 $$(-1, 0)$$ 上，$$2^x + \frac{1}{2} + x < 0$$，解得 $$x \in (-1, 0)$$。
- 由对称性，在 $$(0, 1)$$ 上 $$f(x) = -f(-x)$$，解得 $$x \in (0, 1)$$。
解集为 $$(-1, 0) \cup (0, 1)$$。
答案：D
9. 解析：
设 $$\log_2 a = 0.5^a = 0.2^b = k$$：
- 若 $$k = 0$$，则 $$a = 1$$，但 $$0.5^1 \neq 0.2^b$$，矛盾。
- 由函数单调性分析：
- $$\log_2 a = k$$ 得 $$a = 2^k$$。
- $$0.5^a = k$$ 得 $$a = \log_{0.5} k$$。
- $$0.2^b = k$$ 得 $$b = \log_{0.2} k$$。
- 由于 $$0 < k < 1$$，且 $$0.5^x$$ 和 $$0.2^x$$ 递减，可得 $$a > 1$$ 且 $$b > a$$。
答案：B
10. 解析：
函数定义域需满足：
- $$\log_{0.5}(4x - 3) \geq 0$$ 解得 $$4x - 3 \leq 1$$ 且 $$4x - 3 > 0$$，即 $$\frac{3}{4} < x \leq 1$$。
- $$2^x - 1 \geq 0$$ 解得 $$x \geq 0$$。
交集为 $$\frac{3}{4} < x \leq 1$$。
答案：A