指数（型）函数的单调性-4.2 指数函数知识点月考进阶单选题自测题答案-江西省等高一数学必修,平均正确率54.0%

1、['指数（型）函数的单调性']

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=3^{x}-\left( \frac{1} {3} \right)^{x}+2.$$若$$f ( a^{2} )+f ( a-2 ) > 4，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， ~ 1 )$$

B.$$(-\infty， ~-2 ) \cup( 1， ~+\infty)$$

C.$$(-2， ~ 1 )$$

D.$$(-1， ~ 2 )$$

2、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '指数型复合函数的应用'， '指数（型）函数的单调性']

正确率60.0%已知函数$$f ( x )=\left( \frac{1} {2} \right)^{x^{2}+a x-1}$$在$$[ 1， 2 ]$$上单调递减，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[ 2， 4 ]$$

B.$$[-2，+\infty)$$

C.$$[-4，-2 ]$$

D.$$(-\infty，-4 ]$$

3、['指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较']

正确率40.0%当$$0 < a < b < 1$$时，下列结论正确的是（）

A.$$( 1-a )^{\frac{1} {b}} > ( 1-a )^{b}$$

B.$$( 1+a )^{a} > ( 1+b )^{b}$$

C.$$( 1-a )^{b} > ( 1-a )^{\frac{b} {2}}$$

D.$$( 1-a )^{a} > ( 1-b )^{b}$$

4、['指数（型）函数的单调性'， '不等式比较大小'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率60.0%若$$\frac{1} {2} < \left( \frac{1} {2} \right)^{a} < \left( \frac{1} {2} \right)^{b} < 1 ( a， b \in\mathbf{R} ).$$则（）

A.$$a^{a} < a^{b} < b^{a}$$

B.$$b^{a} < a^{a} < a^{b}$$

C.$$a^{b} < a^{a} < b^{a}$$

D.$$b^{a} < a^{b} < a^{a}$$

5、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '利用基本不等式求最值'， '幂指对综合比较大小']

正确率60.0%已知$$a=5^{l n 2}， \， \， \， b=\operatorname{l o g}_{3} 2， \， \， \， c=\operatorname{l o g}_{4} 3$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系为$${{(}{)}}$$

A.$$a > c > b$$

B.$$c > b > a$$

C.$$a > b > c$$

D.$$c > a > b$$

6、['指数（型）函数的单调性'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '函数单调性的判断'， '函数零点存在定理']

正确率40.0%函数$$f ( x )=2^{x}-\frac{3} {x}-m$$的一个零点在区间$$( 1， 3 )$$内，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$$(-1， 7 )$$

B.$$( 0， 5 )$$

C.$$(-7， 1 )$$

D.$$( 1， 5 )$$

7、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性']

正确率60.0%已知实数$${{a}{，}{b}}$$满足：$$1 < 2^{a} < 2^{b}$$，则（）

A.$$\frac{1} {a} < \frac{1} {b}$$

B.$$l o g_{2} a < l o g_{2} b$$

C.$$\sqrt{a} > \sqrt{b}$$

D.$$\operatorname{c o s} a > \operatorname{c o s} b$$

9、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性']

正确率60.0%设$$a=3^{0. 4}， \， \， \， b=0. 4^{3}， \， \， \， c=l o g_{0. 4} 3$$，则$$a， ~ b， ~ c$$的大小关系是（）

A.$$a < b < c$$

B.$$c < b < a$$

C.$$c < a < b$$

D.$$b < a < c$$

10、['指数（型）函数的单调性'， '对数（型）函数的单调性'， '幂指对综合比较大小']

正确率60.0%已知$$a=\operatorname{l g} 0. 5， ~ b=\mathrm{e}^{0. 5}，$$$$c=0. 5^{\mathrm{e}}， \， \， \mathrm{e}$$为自然对数的底数，则（）

A.$$a < b < c$$

B.$$a < c < b$$

C.$$c < a < b$$

D.$$b < c < a$$

1. 解析：首先分析函数$$f(x)=3^x - \left(\frac{1}{3}\right)^x + 2$$。注意到$$3^x$$和$$-\left(\frac{1}{3}\right)^x$$均为增函数，故$$f(x)$$为增函数。不等式$$f(a^2) + f(a-2) > 4$$可变形为$$f(a^2) > 4 - f(a-2)$$。由于$$f(0) = 1 - 1 + 2 = 2$$，且$$f(x)$$为增函数，因此$$4 - f(a-2) = f(0) + f(0) - f(a-2)$$。为了满足不等式，需$$a^2 > 0$$或$$a-2 > 0$$，即$$a^2 + a - 2 > 0$$。解得$$a < -2$$或$$a > 1$$。故选B。

2. 解析：函数$$f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 + a x - 1}$$的单调性由指数部分$$g(x)=x^2 + a x - 1$$决定。由于底数$$\frac{1}{2} < 1$$，$$f(x)$$在$$g(x)$$递增时递减。因此，$$g(x)$$需在$$[1, 2]$$上递增。求导得$$g'(x)=2x + a \geq 0$$在$$[1, 2]$$上恒成立，即$$a \geq -2x$$。由于$$x \in [1, 2]$$，$$-2x \in [-4, -2]$$，故$$a \geq -2$$。但还需保证$$g(x)$$在$$[1, 2]$$上递增，即$$g'(1)=2 + a \geq 0$$，即$$a \geq -2$$。故选B。

3. 解析：对于选项D，函数$$(1-x)^x$$在$$0 < x < 1$$时为减函数，因为$$0 < 1-a < 1-b < 1$$且$$a < b$$，故$$(1-a)^a > (1-b)^b$$成立。其他选项分析如下：A中$$(1-a)^{\frac{1}{b}}$$与$$(1-a)^b$$无法直接比较；B中$$(1+a)^a$$与$$(1+b)^b$$的单调性不明确；C中$$(1-a)^b > (1-a)^{\frac{b}{2}}$$不成立，因为$$0 < 1-a < 1$$且$$b > \frac{b}{2}$$。故选D。

4. 解析：由不等式$$\frac{1}{2} < \left(\frac{1}{2}\right)^a < \left(\frac{1}{2}\right)^b < 1$$，由于底数$$\frac{1}{2} < 1$$，指数函数递减，故$$0 < b < a < 1$$。比较选项：$$a^a$$与$$a^b$$，由于$$0 < a < 1$$且$$a > b$$，$$a^a < a^b$$；$$a^b$$与$$b^a$$，由于$$a > b$$且$$0 < a, b < 1$$，$$a^b > b^a$$。因此$$b^a < a^a < a^b$$。故选B。

5. 解析：计算各值：$$a=5^{\ln 2} \approx 5^{0.693} \approx 2.5$$；$$b=\log_3 2 \approx 0.631$$；$$c=\log_4 3 \approx 0.792$$。故$$a > c > b$$。故选A。

6. 解析：函数$$f(x)=2^x - \frac{3}{x} - m$$在$$(1, 3)$$内有零点，需$$f(1)f(3) < 0$$。计算得$$f(1)=2 - 3 - m = -1 - m$$，$$f(3)=8 - 1 - m = 7 - m$$。故$$(-1 - m)(7 - m) < 0$$，解得$$-1 < m < 7$$。故选A。

7. 解析：由$$1 < 2^a < 2^b$$，得$$0 < a < b$$。选项分析：A中$$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$；B中$$\log_2 a < \log_2 b$$成立；C中$$\sqrt{a} < \sqrt{b}$$；D中$$\cos a$$与$$\cos b$$无法直接比较。故选B。

9. 解析：比较$$a=3^{0.4} \approx 1.515$$，$$b=0.4^3 = 0.064$$，$$c=\log_{0.4} 3 \approx -0.834$$。故$$c < b < a$$。故选B。

10. 解析：计算各值：$$a=\lg 0.5 \approx -0.301$$；$$b=e^{0.5} \approx 1.649$$；$$c=0.5^e \approx 0.165$$。故$$a < c < b$$。故选B。

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