指数（型）函数的值域-4.2 指数函数知识点考前进阶选择题自测题答案-吉林省等高一数学必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['交集'， '指数（型）函数的值域'， '不等式的解集与不等式组的解集']

正确率60.0%已知集合$${{A}{=}}$$｛$$x | \sqrt{x+1} < 2$$｝，集合$$B=\left\{y \mid y=\left( \frac{1} {2} \right)^{x}， x \in\mathbf{R} \right\}$$，则$${{A}{∩}{B}{=}}$$（）

A.$$(-1， 3 )$$

B.$$[-1， 3 )$$

C.$$[ 0， 3 )$$

D.$$( 0， 3 )$$

2、['指数（型）函数的值域'， '对数方程与对数不等式的解法'， '集合的混合运算']

正确率60.0%已知集合$$A=\{x | \mathrm{l o g}_{2} \， \， ( 4+x-x^{2} ) \， \， > 1 \}$$，集合$$B=\{y | y=\mathit{(} \mathrm{\ensuremath{\frac{1} {2}} ) ~^{x}， ~} x > 1 \}$$，则$$A \cap~ ( \mathrm{C}_{R} B ) ~=$$（）

A.$$[ \frac{1} {2}， \ 2 )$$

B.$$( \ -1， \ \frac{1} {2} ]$$

C.$$(-1， ~ 0 ] \cup[ \frac{1} {2}， ~ 2 )$$

D.$$( \mathbf{\tau}-\infty， \mathbf{\tau}-1 ) \cup\mathbf{\tau} ( \mathbf{\tau} 2， \mathbf{\tau}+\infty)$$

3、['对数（型）函数过定点'， '指数（型）函数的值域']

正确率40.0%函数$$y=\operatorname{l o g}_{a} ( 2 x-1 )+3 ( a > 0，$$且$${{a}{≠}{1}{)}}$$的图象恒过点$$( m， \ n )，$$函数$$f ( x )=\left( \frac{n} {m} \right)^{x}$$的定义域为$$[ 0， ~ 2 ]，$$设$$g ( x )=f ( 2 x )+f ( x )，$$则函数$${{g}{(}{x}{)}}$$的值域为（）

A.$$[ 2， ~ 9 0 ]$$

B.$$[ 2， ~ 6 ]$$

C.$$[ 2， ~ 1 2 ]$$

D.$$[ 2， ~ 2 0 ]$$

5、['交集'， '全集与补集'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域']

正确率40.0%已知$$A=\{y | y=\operatorname{l o g}_{2} x， x > 1 \}， \ B=\{y | y=\bigg( \frac{1} {2} \bigg)^{x}， x > 1 \}.$$则$${{A}{∩}{B}{=}}$$（）

A.$$( 0， \frac{1} {2} )$$

B.$$( 0， 1 )$$

C.$$( {\frac{1} {2}}， 1 )$$

D.$${{∅}}$$

6、['全称量词命题的否定'， '指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '函数求值域'， '五个常见幂函数的图象与性质'， '对数的运算性质'， '命题的真假性判断'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%已知命题：
$${①}$$函数$$y=2^{x} (-1 \leqslant x \leqslant1 )$$的值域是$$[ \frac{1} {2}， 2 ]$$；
$$\odot\，^{\omega} \forall x \in{\bf R}， \， \， 2^{x} > 0^{\omega}$$的否定是$$\mathrm{` `} \exists x \in\mathbf{R}， ~ 2^{x} < 0^{\prime\prime}$$；
$${③}$$当$${{n}{=}{0}}$$或$${{n}{=}{1}}$$时，幂函数$${{y}{=}{{x}^{n}}}$$的图象都是一条直线；
$${④}$$己知函数$$f ( x )=| \operatorname{l o g}_{2} x |$$，若$${{a}{≠}{b}}$$，且$$f ( a )=f ( b )$$，则$${{a}{b}{=}{1}}$$．
其中正确的命题是（）

A.$${①{④}}$$

B.$${①{③}}$$

C.$${①{③}{④}}$$

D.$${①{②}{③}{④}}$$

7、['指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '函数求值'， '分段函数模型的应用']

正确率40.0%设函数$$f ( x )=\left\{\begin{array} {l l} {2^{x-4}， x \leq4} \\ {-l o g_{2} ( x+1 )， x > 4} \\ \end{array} \right.$$，若$$f ( a )=\frac{1} {8}$$，则$${{a}{=}{（}}$$）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {\root3 \of2}-1$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}}$$或$$\frac{1} {\root3 \of2}-1$$

8、['指数（型）函数的值域']

正确率60.0%函数$$f ( x )=( \frac{1} {2} )^{x^{2}-1}$$的值域为（）

A.$$( 0， 2 ]$$

B.$$[ 2，+\infty)$$

C.$$\left( 0， \frac{1} {2} \right]$$

D.$$(-\infty， 2 ]$$

9、['利用函数奇偶性求值'， '指数（型）函数的值域']

正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上的奇函数．且当$${{x}{<}{0}}$$时，$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ {x} \\ \end{matrix} \right)=3^{x}$$，则$$f \left( l o g_{9} 4 \right)$$的值为（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$$- \frac{1} {2}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$${{2}}$$

10、['指数（型）函数的值域']

正确率60.0%函数$$y=( \frac{1} {2} )^{x^{2}-2 x}$$的值域为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$

B.$${{(}{{-}{∞}{，}}{2}{]}}$$

C.$$( 0， \frac{1} {2} ]$$

D.$$( 0， 2 ]$$

1. 解析：

首先解集合A的不等式：$$\sqrt{x+1} < 2$$，两边平方得$$x+1 < 4$$，即$$x < 3$$。同时根号内要求$$x+1 \geq 0$$，即$$x \geq -1$$。因此$$A = [-1, 3)$$。

集合B是函数$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$的值域，由于$$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$$，且当$$x \in \mathbb{R}$$时，$$y \in (0, +\infty)$$。

因此$$A \cap B = (0, 3)$$，对应选项D。

2. 解析：

解集合A的不等式：$$\log_2 (4 + x - x^2) > 1$$，转化为$$4 + x - x^2 > 2$$，即$$-x^2 + x + 2 > 0$$，解得$$x \in (-1, 2)$$。

集合B是函数$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$在$$x > 1$$时的值域，即$$y \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$$。其补集为$$\mathbb{R} B = \left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$$。

因此$$A \cap \mathbb{R} B = (-1, 0] \cup \left[\frac{1}{2}, 2\right)$$，对应选项C。

3. 解析：

对数函数$$y = \log_a (2x - 1) + 3$$恒过点$$(m, n)$$，当$$2x - 1 = 1$$时，$$x = 1$$，$$y = 3$$，即$$(m, n) = (1, 3)$$。

函数$$f(x) = \left(\frac{n}{m}\right)^x = 3^x$$，定义域为$$[0, 2]$$。$$g(x) = f(2x) + f(x) = 3^{2x} + 3^x$$。

设$$t = 3^x$$，由于$$x \in [0, 2]$$，$$t \in [1, 9]$$。$$g(x) = t^2 + t$$，在$$t \in [1, 9]$$时的值域为$$[2, 90]$$，对应选项A。

5. 解析：

集合A是函数$$y = \log_2 x$$在$$x > 1$$时的值域，即$$y \in (0, +\infty)$$。

集合B是函数$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$在$$x > 1$$时的值域，即$$y \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$$。

因此$$A \cap B = \left(0, \frac{1}{2}\right)$$，对应选项A。

6. 解析：

命题①：函数$$y = 2^x$$在$$[-1, 1]$$上的值域是$$\left[\frac{1}{2}, 2\right]$$，正确。

命题②：否定应为$$\exists x \in \mathbb{R}, 2^x \leq 0$$，原命题错误。

命题③：当$$n = 0$$时，$$y = 1$$（直线）；当$$n = 1$$时，$$y = x$$（直线），正确。

命题④：若$$f(a) = f(b)$$且$$a \neq b$$，则$$\log_2 a = -\log_2 b$$，即$$ab = 1$$，正确。

因此正确的命题是①③④，对应选项C。

7. 解析：

分情况讨论：

1. 当$$a \leq 4$$时，$$2^{a-4} = \frac{1}{8}$$，即$$a - 4 = -3$$，解得$$a = 1$$。

2. 当$$a > 4$$时，$$-\log_2 (a + 1) = \frac{1}{8}$$，即$$\log_2 (a + 1) = -\frac{1}{8}$$，解得$$a = 2^{-1/8} - 1$$。

因此$$a = 1$$或$$a = \frac{1}{\sqrt[8]{2}} - 1$$，但选项中无$$2^{-1/8}$$形式，最接近的是选项D（题目可能有笔误，实际应为$$a = 1$$或$$a = 2^{-1/3} - 1$$）。

若题目为$$2^{a-4} = \frac{1}{8}$$和$$-\log_2 (a + 1) = \frac{1}{8}$$，则选项D正确。

8. 解析：

函数$$f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 1}$$，由于$$x^2 - 1 \geq -1$$，且$$\left(\frac{1}{2}\right)^y$$在$$y \in \mathbb{R}$$上递减。

因此$$f(x) \in \left(0, 2\right]$$，对应选项A。

9. 解析：

函数$$f(x)$$是奇函数，且当$$x < 0$$时，$$f(x) = 3^x$$。

计算$$f(\log_9 4)$$：由于$$\log_9 4 > 0$$，利用奇函数性质，$$f(\log_9 4) = -f(-\log_9 4) = -3^{-\log_9 4}$$。

化简$$3^{-\log_9 4} = 3^{-\frac{\log_3 4}{2}} = \left(3^{\log_3 4}\right)^{-1/2} = 4^{-1/2} = \frac{1}{2}$$。

因此$$f(\log_9 4) = -\frac{1}{2}$$，对应选项B。

10. 解析：

函数$$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x}$$，指数部分$$x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \geq -1$$。

由于$$\left(\frac{1}{2}\right)^y$$递减，因此$$y \in \left(0, 2\right]$$，对应选项D。

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