指数式的大小的比较-指数函数知识点教师选题进阶自测题解析-山东省等高一数学必修,平均正确率52.0%

1、['指数型复合函数的应用'， '指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}{{(}{a}{−}{x}{{)}^{k}}}}{(}{a}{∈}{R}{)}{，}}$$且$${{f}{(}{1}{)}{>}{f}{(}{3}{)}{，}{f}{(}{2}{)}{>}{f}{(}{3}{)}{，}}$$则下列说法正确的是（）

A.若$${{k}{=}{1}{，}}$$则$${{|}{a}{−}{1}{|}{<}{|}{a}{−}{2}{|}}$$

B.若$${{k}{=}{1}{，}}$$则$${{|}{a}{−}{1}{|}{>}{|}{a}{−}{2}{|}}$$

C.若$${{k}{=}{2}{，}}$$则$${{|}{a}{−}{1}{|}{<}{|}{a}{−}{2}{|}}$$

D.若$${{k}{=}{2}{，}}$$则$${{|}{a}{−}{1}{|}{>}{|}{a}{−}{2}{|}}$$

2、['指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较'， '幂指对综合比较大小']

正确率60.0%已知$${{a}{=}{{3}{{1}{.}{1}}}}$$，$${{b}{=}{{3}{{0}{.}{2}}}}$$，$${{c}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{0}{.}{3}}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系为（）

A.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

B.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

D.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$

3、['指数式的大小的比较'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率60.0%设$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{R}{，}{a}{>}{b}}$$则下列说法正确的是（）

A.$${{a}{c}{>}{b}{c}}$$

B.$${{a}^{2}{>}{{b}^{2}}}$$

C.$${{2}^{a}{>}{{2}^{b}}}$$

D.$${{\frac{1}{a}}{<}{{\frac{1}{b}}}}$$

4、['指数式的大小的比较'， '不等式比较大小'， '不等式的性质']

正确率40.0%设$${{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}}$$，且$${{a}{≠}{b}}$$，则$${{a}^{a}{{b}^{b}}}$$与$${{a}^{b}{{b}^{a}}}$$的大小关系$${{(}{)}}$$

A.$${{a}^{a}{{b}^{b}}{>}{{a}^{b}}{{b}^{a}}}$$

B.$${{a}^{a}{{b}^{b}}{<}{{a}^{b}}{{b}^{a}}}$$

C.$${{a}^{a}{{b}^{b}}{⩾}{{a}^{b}}{{b}^{a}}}$$

D.$${{a}^{a}{{b}^{b}}{⩽}{{a}^{b}}{{b}^{a}}}$$

5、['指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较'， '一般幂函数的图象和性质']

正确率40.0%已知$${{a}{=}{2}{{{\frac{4}{3}}}}{，}{b}{=}{3}{{{\frac{2}{3}}}}{，}{c}{=}{{2}{5}}{{{\frac{1}{3}}}}}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

B.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$

C.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

D.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

6、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较']

正确率60.0%设$${{a}{=}{l}{n}{2}{，}{b}{=}{{3}{{\frac{1}{{1}{0}}}}}{，}{c}{=}{l}{o}{{g}{{\frac{1}{5}}}}{6}}$$，则（）

A.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

B.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$

C.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

D.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$

7、['实数指数幂的运算性质'， '有理数指数幂的运算性质'， '对数的性质'， '指数式的大小的比较'， '对数的运算性质']

正确率60.0%三个数$${{(}{{0}{.}{3}}{)}^{2}{，}{{2}{{0}{.}{3}}}{，}{l}{o}{{g}_{2}}{{0}{.}{3}}}$$的大小顺序是（$${）}$$．

A.$${{(}{{0}{.}{3}}{)}^{2}{<}{{2}{{0}{.}{3}}}{<}{{l}{o}{g}_{2}}{{0}{.}{3}}}$$

B.$${{(}{{0}{.}{3}}{)}^{2}{<}{l}{o}{{g}_{2}}{{0}{.}{3}}{<}{{2}{{0}{.}{3}}}}$$

C.$${{l}{o}{{g}_{2}}{{0}{.}{3}}{<}{{(}{{0}{.}{3}}{)}^{2}}{<}{{2}{{0}{.}{3}}}}$$

D.$${{2}{{0}{.}{3}}{<}{l}{o}{{g}_{2}}{{0}{.}{3}}{<}{{(}{{0}{.}{3}}{)}^{2}}}$$

8、['对数式的大小的比较'， '指数式的大小的比较'， '函数单调性与奇偶性综合应用']

正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的偶函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足：当$${{x}{∈}{[}{0}{，}{+}{∞}{）}}$$时，$${{f}{（}{x}{）}{=}{{2}{0}{1}{8}^{x}}}$$，若$${{a}{=}{f}{（}{l}{n}{3}{e}{）}{，}{b}{=}{f}{（}{{0}{.}{2}{{0}{.}{3}}}{）}{，}{c}{=}{f}{(}{(}{−}{{\frac{2}{3}}}{{)}{{−}{1}}}{)}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系是（）

A.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$

B.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$

C.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$

D.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$

9、['指数（型）函数的单调性'， '指数式的大小的比较']

正确率60.0%若$${{a}{=}{{0}{.}{5}{{0}{.}{6}}}{，}{b}{=}{{0}{.}{6}{{0}{.}{5}}}{，}{c}{=}{{2}{{0}{.}{5}}}}$$，则下列结论正确的是（）

A.$${{b}{>}{c}{>}{a}}$$

B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$

C.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

D.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$

10、['指数式的大小的比较']

正确率60.0%已知$${{a}{=}{{4}{{0}{.}{1}}}{，}{b}{=}{{0}{.}{4}{{0}{.}{5}}}{，}{c}{=}{{0}{.}{4}{{0}{.}{8}}}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系正确的是（）

A.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$

B.$${{b}{>}{a}{>}{c}}$$

C.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$

D.$${{a}{>}{c}{>}{b}}$$

1. 对于函数 $$f(x) = 2(a - x)^k$$，根据题意 $$f(1) > f(3)$$ 和 $$f(2) > f(3)$$，即： $$2(a - 1)^k > 2(a - 3)^k$$ 和 $$2(a - 2)^k > 2(a - 3)^k$$。化简得 $$(a - 1)^k > (a - 3)^k$$ 和 $$(a - 2)^k > (a - 3)^k$$。当 $$k = 1$$ 时，不等式变为 $$a - 1 > a - 3$$ 和 $$a - 2 > a - 3$$，恒成立，无法确定 $$a$$ 的范围。当 $$k = 2$$ 时，不等式变为 $$(a - 1)^2 > (a - 3)^2$$ 和 $$(a - 2)^2 > (a - 3)^2$$。展开化简得 $$a > 2$$ 和 $$a > 2.5$$，综合得 $$a > 2.5$$。此时 $$|a - 1| > |a - 2|$$ 成立，因此选项 D 正确。

2. 比较 $$a = 3^{1.1}$$，$$b = 3^{0.2}$$，$$c = \log_2 0.3$$： - $$a = 3^{1.1} > 3^1 = 3$$； - $$b = 3^{0.2}$$，由于 $$3^0 = 1$$ 和 $$3^{0.5} \approx 1.732$$，故 $$1 < b < 1.732$$； - $$c = \log_2 0.3$$，由于 $$\log_2 1 = 0$$ 且 $$0.3 < 1$$，故 $$c < 0$$。因此大小关系为 $$c < b < a$$，选项 D 正确。

3. 对于 $$a, b, c \in \mathbb{R}$$ 且 $$a > b$$： - A 选项：若 $$c \leq 0$$，则 $$a c \leq b c$$，错误； - B 选项：若 $$a = 1$$，$$b = -2$$，则 $$a^2 = 1 < b^2 = 4$$，错误； - C 选项：由于 $$2^x$$ 是增函数，$$a > b$$ 时 $$2^a > 2^b$$，正确； - D 选项：若 $$a = 1$$，$$b = -1$$，则 $$\frac{1}{a} = 1 > \frac{1}{b} = -1$$，错误。因此选项 C 正确。

4. 比较 $$a^a b^b$$ 和 $$a^b b^a$$：考虑比值 $$\frac{a^a b^b}{a^b b^a} = a^{a - b} b^{b - a} = \left(\frac{a}{b}\right)^{a - b}$$。若 $$a > b > 0$$，则 $$\frac{a}{b} > 1$$ 且 $$a - b > 0$$，故 $$\left(\frac{a}{b}\right)^{a - b} > 1$$，即 $$a^a b^b > a^b b^a$$；若 $$b > a > 0$$，同理可得 $$a^a b^b > a^b b^a$$。因此 $$a^a b^b > a^b b^a$$，选项 A 正确。

5. 比较 $$a = 2^{4/3}$$，$$b = 3^{2/3}$$，$$c = 25^{1/3}$$： - $$a = 2^{4/3} = (2^4)^{1/3} = 16^{1/3} \approx 2.52$$； - $$b = 3^{2/3} = (3^2)^{1/3} = 9^{1/3} \approx 2.08$$； - $$c = 25^{1/3} \approx 2.92$$。因此大小关系为 $$b < a < c$$，选项 A 正确。

6. 比较 $$a = \ln 2$$，$$b = 3^{1/10}$$，$$c = \log_{\frac{1}{5}} 6$$： - $$a = \ln 2 \approx 0.693$$； - $$b = 3^{1/10}$$，由于 $$3^0 = 1$$ 且 $$3^{1/10} > 1$$，但具体值约为 $$1.116$$； - $$c = \log_{\frac{1}{5}} 6 = -\log_5 6 \approx -1.113$$。因此大小关系为 $$b > a > c$$，选项 D 正确。

7. 比较 $$(0.3)^2$$，$$2^{0.3}$$，$$\log_2 0.3$$： - $$(0.3)^2 = 0.09$$； - $$2^{0.3} \approx 1.231$$； - $$\log_2 0.3 \approx -1.737$$。因此大小关系为 $$\log_2 0.3 < (0.3)^2 < 2^{0.3}$$，选项 C 正确。

8. 函数 $$f(x)$$ 是偶函数且在 $$[0, +\infty)$$ 上为 $$f(x) = 2018^x$$（增函数）： - $$a = f(\ln 3e) = f(\ln 3 + 1)$$； - $$b = f(0.2^{0.3})$$，由于 $$0.2^{0.3} = (1/5)^{0.3} \approx 0.617$$； - $$c = f\left(-\frac{2}{3}\right)^{-1} = f\left(\frac{3}{2}\right)$$。比较自变量大小：$$0.617 < \frac{3}{2} < \ln 3 + 1 \approx 2.0986$$。由于 $$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上递增，故 $$b < c < a$$，选项 A 正确。

9. 比较 $$a = 0.5^{0.6}$$，$$b = 0.6^{0.5}$$，$$c = 2^{0.5}$$： - $$a = 0.5^{0.6} \approx 0.66$$； - $$b = 0.6^{0.5} \approx 0.7746$$； - $$c = 2^{0.5} \approx 1.414$$。因此大小关系为 $$c > b > a$$，选项 D 正确。

10. 比较 $$a = 4^{0.1}$$，$$b = 0.4^{0.5}$$，$$c = 0.4^{0.8}$$： - $$a = 4^{0.1} = 2^{0.2} \approx 1.1487$$； - $$b = 0.4^{0.5} = \sqrt{0.4} \approx 0.632$$； - $$c = 0.4^{0.8}$$，由于 $$0.4 < 1$$，指数越大值越小，故 $$c < b$$。因此大小关系为 $$a > b > c$$，选项 C 正确。

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